книги / Общие вопросы теории граничных задач

Г Л А В А I

ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

§ 0* Вводные замечания

Эта глава носит вводный характер. В ней собраны ос­ новные факты теории линейных операторов, важные для дальнейшего. Содержание главы с избытком покрывается стандартными руководствами, например перечисленными в списке литературы. В ряде случаев в тексте приведены точные ссылки.

Мотивы включения в книгу подобной главы очевидны: всегда полезно дать краткий перечень сведений, предпо­ лагаемых известными. Такой перечень должен устранить возможные терминологические разногласия и служить для недостаточно искушенного читателя компасом в пла­ вании среди океана' утверждений, составляющих содер­ жание порой устрашающих по объему курсов функцио­ нального анализа.

Несколько сложнее мотивировать наличие (или отсут­ ствие) доказательств. Тем более, что приводимые доказа­ тельства в некоторых случаях достаточно подробны, а в некоторых имеют характер кратких указаний. Очевид­ но, что наличие доказательств всегда делает картину бо­ лее полной. Кроме того, иногда доказательство позволя­ ет сделать замечания,, представляющиеся автору сущест­ венными, иногда — указать на полезный технический прием, а иногда цель доказательства — просто несколько облегчить задачу читателя, непременно желающего, что­ бы «все было доказано».

К числу упомянутых выше «существенных замечаний» относятся указания на специфичность выбранной точки зрения, диктуемой основным предметом изучения — гра­ ничной задачей. Не все перечисленные в данной главе факты используются в дальнейшем в равной степени. Не­ которые приведены лишь для полноты картины, которая должна служить общим фоном дальнейших построений.

Глава не содержит примеров. Набором примеров к ней служит все дальнейшее изложение.

12ЗГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

§1. Основные определения

1.0.Предварительные замечания. Естественным мес­ том действия «абстрактной» спектральной теории опера­ торов, т. е. теории, не конкретизирующей способов зада­ ния изучаемых операторов, является комплексное бана­ хово пространство. Хотя основные наши рассмотрения будут связаны с вполне определенным функциональным пространством, являющимся гильбертовым, некоторые факты естественно излагать в несколько более общей си­ туации. Тем более, что именно в такой ситуации они обыч­ но приводятся в стандартных руководствах.

Следует отметить, что, когда речь идет не о «спектраль­ ной теории операторов», а о «спектральной теории», в со­ временных руководствах основным объектом оказывается элемент некоторой банаховой алгебры. Тогда точка зре­ ния, принятая в данной хлаве, выглядит уже не как «абст­ рактная», а как «конкретная».

1.1. Основная структура. Если, отправляясь от ис­ ходных понятий «наивной теории множеств» — множест­ ва и соответствия, проследить цепочку аксиом, входящих

вопределение банахова пространства, то мы получим следующую картину.

Абелевой группой называется непустое множество G элементов а, Ь, с, . . ., в котором определена бинарная операция «+», сопоставляющая каждой паре а, b элемен­ тов из G единственный элемент с ЕВ G (а + Ъ = с). Опе­ рация «+» подчинена при этом следующим дополнитель­

Комплексным линейным пространством Ж называется абелева группа, в которой определено умножение элемен­ тов а, &, с, . . . на комплексные числа а, {$, у, . . ., при­ чем предполагаются выполненными следующие условия:

При замене комплексных чисел вещественными полут чим определение вещественного линейного пространства:

Ограничившись в приведенном определении числами а, р, у, . . мы подчеркнули, что смотрим на наши объ­ екты с позиций анализа. Алгебраист включил бы в опре^

Пространство Ж с введенной в нем нормой называют

нормированным линейным пространством (эцитет «комп­ лексное» или «вещественное» в дальнейшем, как правило, опускается).

Последовательность {хп} элементов Ж называется по­ следовательностью Коши, если для любого е 0 сущест­ вует N (е) такое, что условие т, ?f> N влечет || хп — хт|К < е. Пространство Ж полно, если для любой последова­ тельности Коши существует элемент х ЕЕ Ж, к которому эта последовательность (в очевидном смысле) сходится.

Полное линейное нормированное пространство назы­ вается пространством Банаха (^-пространством).

В линейном пространстве обычным образом определено понятие линейной зависимости элементов и, следовательно, понятие размерности: максимального числа линейно неза­ висимых элементов. Хотя интересующие нас пространства будут, как правило, бесконечномерными, мы не включаем бесконечномерность в определение ^-пространства. Таким образом, множество комплексных чисел с нормой-моду­ лем является примером одномерного ^-пространства.

Нормированное линейное пространство, не являющееся полным, будем называть предбанаховым. Всякое предбанахово пространство может быть превращено в банахово путем абстрактной процедуры присоединения к нему пределов сходящихся последовательностей ([10], гл. И, § 3.4).

Всякое 5-пространство является одновременно и мет­ рическим, и топологическим пространством, но эта сторо­ на вопроса не будет нас интересовать.

*Комплексное линейное пространство Ж называется предгильбертовым9если каждой упорядоченной паре эле­

14 ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

ментов а, Ъсопоставлено комплексное число (а, Ь) — ска­ лярное произведение, удовлетворяющее следующим тре­ бованиям:

1) (я, а ) > 0 и (я, а) = 0 влечет я — О,

является нормой и, таким образом, предгильбертово прост­ ранство автоматически является предбанаховым.

Скалярное произведение непрерывно: lim (я*, b) =

к

= (lim аку b).

к

Предгильбертово пространство, являющееся полным, называется гильбертовым. Всякое гильбертово простран­ ство является ^-пространством. Чтобы в банаховом прост­ ранстве можно было ввести скалярное произведение, по­ рождающее норму, эта норма должна удовлетворять не­

нормы в 53. Мы будем называть такие подмножества ли­ нейными многообразиями.

Простейший способ образования линейных многооб­ разий в 53 — рассмотрение линейной оболочки некоторого фиксированного подмножества J f (Z 53, т. е. всех конеч­ ных линейных комбинаций элементов «//. Если при этом в 53' включаются---и все предельные элементы, т. е. пре­

делы сходящихся (в норме 33) последовательностей эле­ ментов J/t, то соответствующая замкнутая линейная обо­ лочка будет подпространством в 33. Различие возникает, естественно, лишь при наличии в Л бесконечного числа линейно независимых элементов.

Подмножество ©, d 33 плотно в 33, если его замыка­ ние совпадает со всем 33. Множество элементов Л полно и 33Уесли линейная оболочка Л плотна. Полное множест­ во {е*} элементов 33 (конечное или счетное) образует базис,

если в представлении произвольного элемента х = 2 xkek

к

числа хк определены однозначно. Хотя имеется ряд

важных примеров ^-пространств, не имеющих счетного бааиси, нам таковые не встретятся.

Переходя теперь к более специальному интересующему лас случаю гильбертова пространства, отметим прежде всего следующее важное утверждение.

Л е м м а (об о р т о г о н а л ь н о м р а з л о ж е ­ нии) . Пусть Л ' — линейное многообразие в гильберто­ вом пространстве Ж и Л* — множество элементов <р ее Ж таких, что (ф, у) = 0 для любого у (ЕЕ Л*. Тогда Л* — подпространство Ж и для любого х ЕЕ Ж существует един­ ственное представление вида

тогональным дополнением к Л (к Л '), а равенство (1) — ортогональным разложением элемента х. Знак @ имеет соответствующий смысл и используется также в записи

ж= .// © ж .

До к а з а т е л ь с т в о л е м м ы . Заслуживает рас­ смотрения, очевидно, лишь случай бесконечномерного Ж.

'Го, что Ж — подпространство, немедленно следует из свойств скалярного произведения.

Если х ЕЕ Л , то утверждение тривиально. Пусть х ф

у €Е J*. Воспользовавшись определением нормы в Ж через

скалярный квадрат, получаем

dm+ dl=\\x —ym||2+ \\Х —Уп\\2=

вещественного параметра t:

F ( t ) = \ \ x - y + tz\r

при произвольном фиксированном элементе z ЕЕ «Ждолж­ на иметь минимум при t = О, т. е. F' (0) = 0. Отсюда (рас­ смотрев пару векторов z , iz) заключаем, что (х — у, z) = = 0 для любого z ЕЕ «Ж. Полагая = у, = х — у, получаем представление (1). Единственность такого пред­ ставления очевидна. Щ

Приведенное доказательство поучительно своей «гео­ метричностью» (особенно наглядной в вещественном гиль­ бертовом пространстве). Как нетрудно заметить, прове­ денное рассуждение сохраняет силу при замене подпрост­ ранства на произвольное замкнутое выпуклое множество

из х на Jf; в цепочке равенств (2) использовано классиче­ ское соотношение между диагоналями и сторонами парал­ лелограмма. Наличие такого соотношения — характерис­ тическое свойство гильбертовой нормы, упоминавшееся выше. Нетривиальная проверка существования элемента у, на котором достигается нижняя грань,—- следствие бес-

К произвольному счетному базису\г{<р*} в гильберто­ вом пространстве применим классический процесс ортогонализации, позволяющий перейти к ортонормирован,- ному базису {ек}, удовлетворяющему условиям (ек, е$) = = 6^ (символ Кронекера). В этом случае коэффициенты

разложения х = 2 хкек произвольного элемента х ЕЕ Ж

к

определяются равенствами а* = (х , ек). Произвольная ортонормированная система элементов {ек} образует базис тогда и только тогда, когда для любого х ЕЕ Ж

счетного ортонормированного базиса, можно получить бол^е короткое (но менее поучительное) доказательство леммы об ортогональном разложении.

Если {ф*} — базис в Ж, то существует однозначно определенная система элементов {%} такая, что (<р*, t|)j) = 6*j. Система {%} также является базисом, называе­ мым биортогоналъным к базису {ф*}. В случае биортогонально сопряженных базисов коэффициенты разложений

У = ^Ук^рк определяются формулами хк =

кк

=(*, Ъ ), Ук = (у, Ф*)-

Базис {ф*} в Ж называется базисом Рисса, если сущест­ вуют постоянные ci, с2 такие, что для любого x E f ,

представленного в виде a: = 2 а:*Ф*, справедливы нера-

к

венства

Неравенства (4) служат некоторой «заменой» равенства

(3) в случаях, когда последнее не имеет места.

-1.3. Операторы. Функцию Т, определенную на некото­

18ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

Вдальнейшем будут рассматриваться только линейные операторы Т, т. е. операторы, удовлетворяющие требо­

ванию

для любых чисел а, р и элементов х, у ЕЕ ©(Т).

Вместе с © (Т), SR(Т) важнейшим связанным с Т мно­

видно, требование N (Т) = 0 (определенный вышеуказан­ ным образом оператор Т"1 называют иногда левым обрат­ ным).

Т ограничен, если его норма конечна (|| Т || < оо). Важным следствием линейности Т является следующий факт.

Л е м м а . Оператор Т ограничен тогда и только тог­ да, когда он непрерывен, т. е. для любой последовательности

Рассматриваемый в рамках теории линейных нормиро­ ванных пространств линейный оператор Т, являющийся неограниченным, есть объект в некотором смысле «патоло­ гический»: его определение «плохо согласовано» с элемен­ том основной структуры — нормой. Трудности, связанные с изучением операторов, порождаемых дифференциро­ ванием, тесно связаны с тем, что это изучение в наибо­ лее «удобных» функциональных пространствах неизбеж­ но приводит к рассмотрению неограниченных операторов. Основные способы преодоления упомянутой трудности связаны с использованием ограниченности обратного к за­ данному оператора и с введением понятия замкнутости, более слабого, чем ограниченность (непрерывность).

Оператор Т: ->• замкнут, если сходимость хп ->

— х и Та;п -> / влечет х ЕЕ © (Т), Та; = /.

Ограниченный оператор (естественным образом рас­ ширенный по непрерывности; см. ниже) всегда замкнут. Обратное, вообще говоря, неверно. Тем не менее справед­

Эта теорема, являясь одной из форм так называемой теоремы о замкнутом графике, имеет много обличий. Чи­ тателю предоставляется привести ее формулировку к ука­ занному виду, в котором она будет нами использоваться.

При переформулировке граничных задач на языке тео­ рии операторов неизбежно использование тех или иных обобщенных решений изучаемого уравнения, определяе­ мых путем расширения области определения операции дифференцирования. Приведем абстрактный эквивалент подобной процедуры.

Оператор Т называется расширением оператора Т,

Т: S i ->■ S 2, если 0 (Т) С Э (Т) и на S (Т) оба оператора совпадают.

Стандартными примерами использования расширений* являются расширение по непрерывности на все простран­ ство ограниченного оператора с плотной областью опре­ деления и «замыкание» заданного оператора Т, т. е. по­

строение минимального замкнутого расширения Т Ц) Т (если такое расширение существует). Как уже отмечалось выше, мы будем широко использовать тот факт, что опе­ раторы, порождаемые операцией дифференцирования, об­ ладают замкнутыми расширениями.

Последнее из интересующих нас в этом пункте опреде­ лений приведем для случая гильбертовых пространств Жг, Ж2 - Пусть Т: Жг Ж2 и элемент у ЕЕ Ж2 обладает тем свойством, что существует элемент НееЖI такой, что для любого а; Е 0 (Т) выполнено равенство

(Та;, у)г = (х, h)1

(скалярные произведения в Ж2, Жг соответственно). Оп­ ределим тогда оператор Т* (сопряженный кТ), Т*: Ж%-> Ж\, полагая (при выполнении приведенных выше ус­ ловий) у Ег £ (Т*), Т*у = h. Определение корректно тогда и только тогда, когда выполнено условие: множество

20ГЛ. I. ЭЛЕМЕНТЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ

©(Т) плотно в Жх- Действительно, это обеспечивает одно-1 значную определенность элемента h; оператор Т*, как| очевидно, линеен, и © (Т*) содержит по крайней мере нулевой элемент.

Весьма полезно следующее очевидное следствие вве­ денных определений.

ного произведения можно перейти к пределу. Щ Еще одно полезное утверждение удобно сформулиро­

вать, пользуясь «алгебраическим» языком. Начертим схему (так называемую диаграмму)

вкоторой горизонтальные стрелки обозначают переход

ксопряженному оператору, а вертикальные — к обрат­ ному.

Ут в е р ж д е н и е 2. Если для заданного оператора Т: Жг -^ Ж 2 определены операции, изображенные на диа­ грамме сплошными стрелками, то пунктирная стрелка дополняет диаграмму до коммутативной, т. е. оператор

Т*-1 существует и Т*-1 = Т-1*.

До к а з а т е л ь с т в о . Оператор Т*-1 существует. Действительно, если равенство (Ти, v) = (Ти, w) выпол­