книги / Общие вопросы теории граничных задач

«Патологическим» случаем, в котором условие (2) на­ рушается в бесконечном числе точек, мы интересоваться не будем. При р, = 0, оо (прямая и обратная задачи Коши) уравнение (3) всегда однозначно разрешимо.

Второй из интересующих нас примеров показывает, что уже для операции вида

L (D) = Dt — Ф (t) А,

где А — П-оператор, а <p (t) — гладкая функция, ут­ верждение о возможности всегда задать соответствующий правильный оператор L с помощью некоторых условий по t (при t = О, Ъ) становится неверным (в отличие от утвер­ ждений 2—4, § 2).

З а м е ч а н и е . Операция (5) соответствует, очевид­ но, «обратной теплопроводности» при t = 0 и «прямой теплопроводности» при t = b, что и определяет природу рассматриваемого примера.

Напомним, что ^-минимальным оператором, порож­ даемым операцией L (D) рассматриваемого типа, мы на­ звали оператор, задаваемый условиями

и |f=e = u ! <=ь = 0.

Для доказательства несуществования правильного опе­ ратора, порождаемого операцией (5), достаточно проверить следующее утверждение (ср. утверждение 2, § 2).

У т в е р ж д е н и е 2. Для t-минимального оператора

ным представлением для / (t, х), то для решений уравне­ ния (3) с оператором L, определяемым операцией (5), бу­

142 гл. V. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Соответствующими решениями уравнения (3) будут, как это следует из (6), функции и(к) вида

U(k) = [e*“lb-t>— 1]ея*

ляет изучить модель простейших задач сопряжения. Пусть

тым при г = ±6) добавить условие непрерывности и (t, х) при t — 0, то свойства соответствующим образом

Рассмотрения такого типа допускают, очевидно, боль­ шое число вариантов.

§ 7. Заключительные замечания

Как отмечалось во введении, настоящая глава является в некотором смысле центральной во всем изложении, и естественно дополнить ее рядом замечаний, относя­ щихся к структуре наших построений в целом.

Проведенные рассмотрения операторных уравнений 1-го порядка показывают, что предложенный подход поз­ воляет изучать модели разнообразных ситуаций, возни­ кающих при исследовании граничных задач для линейных дифференциальных операций с частными производными, рассматриваемых в ограниченной области. Параграфы 1—3 и 5 были посвящены .«основному случаю», а §| 4, 6 — за­ дачам специального характера, число которых можно бы­ ло бы значительно умножить (рассмотрев, например, уравнения с малым параметром, с вырождающимися ко­ эффициентами, с подвижной границей и т. п.). Нам, од­ нако, хотелось сосредоточить внимание на принципиаль­ ной схеме’ исследования.

В следующей главе эта схема будет применена к опе­ раторным уравнениям 2-го порядка (причем мы ограни­

замечания об использовании ее при рассмотрении урав­ нения произвольного порядка.

Глава VII посвящена изучению (в выбранном круге идей) общего вопроса о существовании правильного опе­ ратора, порождаемого произвольной дифференциальной операцией с частными производными и постоянными ко­ эффициентами в ограниченной области.

С общей точки зрения (п. 2.2 гл. I) проведенные нами построения сводились к изучению свойств оператора 1т1 (определявшегося задачей L — Г), заданного как неко­ торая функция оператора А (или коммутирующих опе­ раторов А0, А2), зависящая от дополнительного пара­ метра t ЕЕ (О, Ъ). Изучение облегчалось тем, что А пред­ полагался М-оператором. .

При отказе от последнего предположения построение разрешающего оператора Lr1 (в аналогичной ситуации) неизбежно связано с использованием резольвенты А, которая должна быть подчинена при этом специальным дополнительным требованиям, заменяющим соответст­ вующие требования на спектр, нами использовавшиеся. Как нетрудно догадаться, построения, использующие ре­ зольвенту А, значительно уступают по простоте случаю, рассмотренному в данной главе.

Конструкции, пригодные для осуществления указан­ ного перехода в рамках нашей схемы, будут изложены в гл. VIII. Тогда мы сможем убедиться, что для операции

L (D) = Dt + aDx, t е [0, 6], х е [0, 2я],

где а > 0 — вещественное число, условия Коши по t: и |*=0 = О

определяют правильный оператор не только при условиях периодичности (или регулярных) по я, но и при условии

U 1эс=0 ==

Г Л А В А VI

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

§ 0. Вводные замечания

Сохраняя предположения и обозначения вводного па­ раграфа гл. V, общее дифференциально-операторное урав­ нение то-го порядка можем записать в виде

менима непосредственно и к уравнению (1), ряд моментов технического характера вынуждает существенно изме­

решений вспомогательного обыкновенного уравнения (1) (в котором А* — те или иные числа), возникающего в ходе наших рассмотрений. Кроме того, граничные условия об­ щего вида, определяющие правильные операторы, порож­ даемые обыкновенными дифференциальными операциями (1), содержат по крайней мере тп2 существенных парамет­ ров (§§ 2, 3 гл. III), и достаточно прозрачной характери­ зации свойств спектра соответствующих операторов при всех возможных выборах граничных условий получить не удается.

Естественно поэтому, что при рассмотрении уравне­ ний вида (1) приходится ограничиваться специальными типами операторов и специальными классами граничных условий (при t = 0, Ь). В данной главе мы рассмотрим случай тп = 2, ввиду его сравнительной простоты и непо­

средственной связи с классическими объектами теории граничных задач для уравнений математической физики, и некоторые специальные классы граничных задач для частных случаев уравнения (1).

Отметим еще, что рассмотрение связанного с (1) ха­ рактеристического уравнения вида (2), в котором А к — операторы, естественно приводит к понятию операторного пучка — одного из популярных объектов классической спектральной теории (см. [С 13 ]).

§1. Операторные уравнения второго порядка

1.0.Предварительные замечания. При изучении опе­ раторного уравнения вида (1) § 0 при т <= 2 основное внимание, как и в гл. V, можно сосредоточить на случае Ао = 1. Переход к общему случаю может быть проведен так же, как в § 4 гл. V.

Сохраняя предположения § 0 гл. V, запишем интере­

техническим средством при изучении (1) служат формулы, дающие решение соответствующего обыкновенного диффе­ ренциального уравнения, в котором А, В — постоянные. Существенным отличием от гл. V является то обстоятель­ ство (уже отмечавшееся выше), что граничные условия общего вида, определяющие правильный оператор, порож­ даемый обыкновенной дифференциальной операцией (1), содержат по крайней мере четыре существенных пара­ метра (§ 3, гл. III) и достаточно прозрачной характери­ зации свойств спектра соответствующего оператора при всех возможных способах выбора граничных условий по­ лучить не удается.'

Отметим еще, что, поскольку в данной главе § 1 соот­ ветствует целой гл. V, пункты настоящего параграфа от­ вечают приблизительно параграфам предыдущей главы.

есть характеристическое уравнение для (1), к ъ kz — его

146 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

о

а общее решение уравнения (1) может быть представлено формулой

kt-*kjF=k

1.2. Общая схема. Основные рассмотрения настоящей главы будут относиться (как и в гл. V) к случаю, когда А, В в (1) суть П-операторы, и мы сохраним все ранее вве­ денные обозначения. Для изучения свойств уравнения

Правильные операторы, порождаемые в сделанных предположениях операцией L (D), будут определяться теми или иными дополнительными условиями, позволяющими

будет (как и в гл. V) автоматически давать теорему су­ ществования и единственности соответствующего обоб­ щенного решения уравнения (1), в котором оператор ле­ вой части понимается снова как замыкание дифференци­ альной операции, заданной первоначально на гладких функциях, принадлежащих тому или иному специальному линейному многообразию.

В приводимых ниже рассмотрениях мы будем, как пра­ вило, ограничиваться анализом «общего случая»: кг Ф кг, т. е. формулами (5), (6), дающими семейства решений us (t). Дополнительное изучение случая кратных корней не представляет труда.

1.3. Задача Коши. Предполагая, что А, В в (1) — П операторы, рассмотрим прежде всего классическую за­

соответствующая последовательность корней k (s(J)) *= k t уравнения (2), удовлетворяющая требованию: Re кг-*- -|-оо при i оо, то для оператора L: И Н, порождаемого операцией (1) и условиями Коши (4), непрерывный спектр

то pL «= С, т. е. все точки комплексной плоскости при­ надлежат резольвентному множеству указанного опера­ тора'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть для заданных A (s), В (s) выполнены предположения первой части утвержде­ ния теоремы и {s*} а 9* — соответствующая последова­ тельность. Взяв последовательность правых частей fay *= е= еЧгУ* (для которой, очевидно, || /(,-) || = const), не­ медленно получаем, что для соответствующих решений ц(1) уравнения (1), получающихся из формул (5) или (5') при / (т) = 1, справедливо утверждение:

Иu(i) II о° при i-*-oo

(это очевидно для формулы (5'); для формульГ(5) надо до­ полнительно заметить, что, например, при Refet > М ]> О

148 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

.При выполнении для заданных А ($), В (s) предполо­ жений второй части теоремы опять-таки из (5), (5') полу­ чаем для решений цепочки соответствующих обыкновен­ ных дифференциальных уравнений оценку (Ф8), равно­ мерную по S G ^ - Это, как отмечено выше, немедленно дает теорему существования и единственности решения соответствующего операторного уравнения при любой правой части из IH.

Остается заметить, что если предположения теоремы выполняются при некотором полиноме A (s), то они ав­

(s(i)} CZ S’ такая, что при соответствующем выборе корней Щ s= k (s(ft) уравнения (2) можно удовлетворить требо­ ванию Re ki :-+- —со при i -> оо, то для оператора (L) —

— (7) будем иметь С oL *= С. Если же при любых s G ^

зультат о «некорректности» задачи Коши для эллиптиче­

для уравнений 2-го порядка всегда можно считать вы­ полненным предположение В <= 0, из (3) немедленно сле­ дует, что прямая (4) или обратная (7) задача Коши всегда одновременно либо «корректны», либо «некорректны». Как показывает пример операции

L(P) = Dl — 2DlDt + Bl — Dl; В = s\, А = — sf — & Re hi ^ 0, Re k%^ 0, .

в общем случае это далеко не всегда так,

Согласно теоремам 1, 1' оператор, определяемый ус­ ловиями Коши и являющийся правильным, необходимо будет gC-оператором (н. 3.5 гл. I). При этом, однако, опять-таки в отличие от «классического» случая диффе­ ренциальных операций математической физики, он не обязан быть С-оператором (например, при А — — +

+s2)2, В - 0 ) .

1.4.Существование правильных операторов. В каче стве следующего шага при изучении уравнения (1) дока­ жем утверждение, аналогичное утверждению 4, § 2 гл. V: покажем, что даже в случае, когда спектр П-операторов А, В заполняет всю комплексную плоскость, существуют

правильные операторы, порождаемые (1) и задаваемые некоторыми граничными условиями при t — О, Ъ. В про­ цессе доказательства этого утверждения отчетливо вы­ рисовывается принципиальное отличие случая те — 2 от те — 1. Соответственно меняется план доказательства.

Л е м м а . Существует постоянная М ]> 0 такая, что для любой пары комплексных чисел А, В правильный опе­ ратор L:| IH4 —> Н4, порождаемый операцией (1), может быть определен {соответствующими граничными усло­ виями при t = О, Ь) так, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . В качестве граничных усло­ вий, определяющих искомый правильный оператор, возь­ мем условия вида

(другими словами, будем рассматривать D f как квадрат оператора Dt, определяемого первым из условий (9)) и бу­ дем решать уравнение

разлагая и, / по собственным функциям оператора Dt, имеющим в этом случае вид

150 ГЛ. VI. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

Бели и = I,upe%pt, то для решения и уравнения (10) коэффициенты ир определяются из равенств

UP ( 4 Ч- 2ВА,р — A) /р, р — 0, ± 1 , rfc2, •••

Для доказательства леммы достаточно теперь проверить,

мой Rez s= Ь~Чп | р |, очевидна возможность выбора р, обладающего требуемыми свойствами (даже при произ­ вольном наперед заданном М 0). Ш

З а м е ч а н и е . Мы занимаемся по существу изу­ чением операторной функции z2 + 2Bz — А комплекс­ ного параметра z. Как было отмечено в § 0, такая функция дает пример так называемого пучка операторов.

Отмеченное выше принципиальное отличие от рас­ смотрений гл. V заключается в невозможности ограни­ читься в (9 ) выбором значений р = 0 или р = оо (усло­ виями Коши). Невозможность следует из формулы (5) и соответствующей формулы для обратной задачи Коши: при &!-»-+ о о , fc2—>- — о о норма оператора L-1, определяе­ мого любой из этих формул, неограниченно растет.

р *= р8 в граничных’ условиях) (9) для us (г) (определяемой

тая теперь заданным некоторый набор {р#}, s €= <S^, в ко­ тором все' ps обладают указанным свойством, положим (для заданной / е Н ) L-1/ «= и, где и задается представ» лением (12), в котором (в очевидных обозначениях) и*

= LS“78. Определенный таким образом оператор L-1 _ ограниченный оператор, заданный на всем Н.