книги / Механика композитных материалов. 1980, т. 16, 2

ции возникает состояние, характеризуемое вектором аД£). Выход состав­ ляющих вектора оД£) из допустимых областей Qj приводит в каждом элементе к одному из перечисленных выше способов изменения вектора параметров качества элемента Vj(£), что вызывает перераспределение напряжений между элементами, возникновение в них нового состояния, которое приводит к новым изменениям параметров качества элементов п системы в целом. Этот процесс продолжается вплоть до выхода вектора v0 (0 из допустимой области Со­

процесс изменения параметров качества системы отождествляется с процессом разрушения. Таким образом, разрушение оболочки описыва­ ется векторным случайным процессом v0(£)> который управляется век­ торными случайными процессами Vj(t). Аналитически процесс v0(£) дол­ жен находиться из кинетического уравнения

_dv^jt)_ = Xir[Vo(/); v .(/)>j=1>2....n ; q (t) ]

с начальным условием v0(0) = l, где ЧД-) = {Чга(,)>Чгр(,)>Чгар(')} — не­ который векторный оператор; q(£) — вектор нагрузок. Однако аналити­ ческое построение оператора Ч^-) затруднительно. Поэтому реализация предложенной модели разрушения проводилась при помощи математи­ ческого моделирования на ЭВМ.

2. При вычислении напряжений в монослоях применяется подход, предложенный в работе [2]. Напряжения в у-м монослое находятся по формулам

an(j) = £i(j)[ea (cos2 cpj-b|ii2(j) sin2 qpj) + ep(sin2 cpj+ pi2(j) cos2 cpj) +

+ -^ eap sin 2<ру(1 - p i 2(j)) ] ;

a22U) = E2{i) Jea (sin2 cpj+ p2i(j) cos2 cpj) +ep(cos2 (pj+ p,2i(j) sin2 cpj) —

Здесь ea — деформация оболочки в осевом направлении; ер — деформа­ ция оболочки в окружном направлении; еар — деформация сдвига в сре­ динной поверхности. Деформации выражаются через усилия при помощи матричного соотношения

где В = [£гл] (£,£=1,2,3) — матрица обобщенных жесткостей, а векторы

где А= В-1 — матрица обобщенных податливостей. Матрица В приве­ дена в работе [2].

В том случае, когда оболочка нагружена осевой силой N и внутрен­ ним давлением р , из уравнений равновесия находим, что вектор N имеет

где R — радиус срединной поверхности оболочки. Из (4) и (5) дует, что

Ea= AnN-\- Л\4pR\ 6р=Л21Л/+A22PR', 6ар=^31^+Лз2pR.

Заметим, что соотношения (2) — (6) справедливы для произвол структуры пакета, т. е. требований симметрии не предъявляется. Эт< стоятельство является существенным для рассматриваемой модели рушения, так как даже при симметричной укладке нитей монослои гут отличаться друг от друга упругими и прочностными xapaicrepi ками, что приведет к нарушению симметрии как в исходном состоу так и в процессе разрушения.

3. Моделирование процесса разрушения проводилось следующт разом. Сначала задавалась конкретная оболочка, а затем рассмг вался процесс ее разрушения по описанному выше алгоритму.

Оболочка считается заданной, если заданы ее геометрические меры, схема армирования (количество и углы намотки слоев), темг турное поле, прочностные и упругие характеристики каждого моно< Геометрические размеры и схема армирования являются констру! ными параметрами и считаются одинаковыми для всех однотипных лочек. Температурное поле также считается известным.

Прочностные и упругие характеристики задавались путем выбор из соответствующих генеральных совокупностей с известными с[ циями распределения при помощи программы-датчика случайных ч Функции распределения прочностных и упругих характеристик строп путем аппроксимации выборочных функций распределения, получе] при испытаниях однонаправленных образцов.

Функции распределения прочностных характеристик (компе вектора o*j) аппроксимировались функцией распределения Вейбул. функции распределения упругих характеристик — функцией расп] ления усеченного нормального распределения.

После того, как оболочка была задана, рассматривался проце< разрушения, фиксировались нагрузки — осевая сила N (t) и внутре давление p{t), при которых произошло нарушение условия v0(Oe ! осуществлялся переход к рассмотрению следующей оболочки. Пре жая этот процесс выбора оболочек, получим выборку для разрушак нагрузки, на основании которой может быть построена выборочная cj ция распределения разрушающей нагрузки, стремящаяся по ве| ности к функции распределения при стремлении объема выборки к б нечности.

Удобной формой представления результатов являются диагрг прочности, с которыми обычно имеют дело при экспериментально]' следовании условий прочности. Диаграммы прочности строят следук образом: зная разрушающие нагрузки и считая упругие характерно монослоев детерминированными и равными их средним значениям ходят напряжения аа, ар и аар, усредненные по толщине пакета, каждой серии одинаково нагруженных оболочек получается серия п в пространстве параметров ста, ар, аарЗатем меняют путь нагруж и находят следующую группу точек. Количество точек в группе р числу испытанных оболочек, а количество групп точек равно числу г нагружения.

Каждой группе точек ставится в соответствие точка с координа аа, ар, аарПоверхность, проведенная через эти точки, называется по ностыо или диаграммой прочности, где да, ар, аар — средние по числ пытанных оболочек.

4. Результаты вычислений представлены на рисунках 2—6. Дл поставления теоретических и экспериментальных результатов рас» ренная математическая модель разрушения была использована

расчета замкнутой цилиндрической оболочки, находящейся под воздейст­ вием внутреннего давления.

На рис. 2 ступенчатые линии 1 — реализации компоненты va случай­ ного вектора v0. Видно, что при нагрузке, составляющей 20—25% от разрушающей, происходит некоторое падение жесткости в осевом на­ правлении. Аналогичный вид имеют также реализации vp и иар. Иссле­ дование напряженного состояния по слоям в процессе нагружения пока­ зывает, что первое падение жесткости вызвано разрушениями, проис­ шедшими в направлении, перпендикулярном направлению армирования в спиральных слоях. Это явление обнаруживалось также эксперимен­ тально [2]. При дальнейшем нагружении аналогичные разрушения про­ исходят и в тангенциальных слоях, что также выражается в виде сниже­ ния жесткости.

Разрушение в направлении армирования хотя бы в одном слое при­ водит к практически мгновенному исчерпанию несущей способности оболочки.

Рассматриваемая оболочка была спроектирована так, чтобы при действии внутреннего давления она была близка к равнонапряженной. Это позволяет сделать вывод, что по крайней мере для оболочек, близ­ ких к равнонапряженным, должна хорошо работать модель разрушения, основанная на концепции слабейшего звена в сочетании с условием проч­ ности для монослоя которая пренебрегает растрескиванием связующего, предшествующим разрушению [4].

Ступенчатая линия 2 на рис. 2 представляет собой выборочную функ­ цию распределения разрушающего давления, полученную при натурных испытаниях оболочек. Плавная линия 3 — функция распределения, по­ лученная при численной реализации рассмотренной модели разрушения. Темными точками показаны отдельные реализации разрушающего дав­ ления, полученные при моделировании. Для построения функции рас­ пределения (линия 3) было получено 500 реализаций.

Проверка по критерию Вилкоксона [5] показала, что гипотеза о при­ надлежности результатов моделирования и результатов натурных испы­ таний модельных оболочек одной и той же генеральной совокупности не отвергается. Это говорит о том, что предложенная модель вполне удов­ летворительно описывает процесс разрушения. На рисунках 3 и 4 пока­ заны результаты моделирования процесса разрушения для различных путей пропорционального нагружения, т. е. для случая, когда внутреннее

б| .-г

Рис. 2. Реализации случайного процесса и функция распределения разрушающего дав­ ления для замкнутой оболочки под внутренним давлением.

Рис. 3. Диаграммы прочности для оболочек, состоящих из слоев одного типа: ср=±л/3 и ф = ± л/6.

оболочках, полученных продольно-поперечной намоткой, при действии осевой силы и внутреннего давления не возникает касательных напряже­ ний, т. е. даже превратившись в механизм, оболочка продолжает оста­ ваться в равновесии под действием осевой силы и внутреннего давления. Однако такое положение равновесия будет неустойчивым. Даже как угодно малый крутящий момент выведет систему из равновесия. Это об­ стоятельство следует иметь в виду при истолковании результатов испы­ таний, так как может реализоваться как сдвиговая форма потери несу­ щей способности, так и разрушение в направлении армирования. На рис. 5—г сплошными линиями даны диаграммы прочности для случая, когда допустимая область определяется соотношением Qo={v0:t;a>> > 0 Д и р > 0 }, т. е. когда превращение оболочки в механизм при иар = 0 не рассматривается как отказ.

Обращает на себя внимание наличие провала на диаграмме, соответ­ ствующей температуре 50° С, и его отсутствие на диаграммах, соответст­ вующих более высоким температурам. Это можно объяснить тем, что с повышением температуры жесткостные характеристики в направлении, перпендикулярном направлению армирования, падают быстрее, чем прочностные. Поскольку напряжения пропорциональны жесткости в соответствующем направлении, то оболочка может превратиться в ме­ ханизм при более высоких значениях <та и сгр. Вообще говоря, момент превращения оболочки в механизм сложным образом зависит от соотно­ шения прочностных и упругих характеристик в направлении перпенди­ кулярно направлению армирования, а также от их изменения при изме­ нении температуры.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности

врасчетах сооружений. М., 1971. 256 с.

2.Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование обо­

лочек вращения из композиционных материалов. М., 1977. 144 с.

3. Зиновьев П. А., Тараканов А. И. Условие разрушения слоистых композицион­ ных материалов. — В кн.: Применение пластмасс в машиностроении, 1976, № 15.

с.31—35 (М.).

4.Протасов В. Д., Ермоленко А. Ф„ Филипенко А. А., Димитриенко И. П. Проч­

ность и надежность цилиндрических оболочек, полученных методом непрерывной ни­ тяной намотки. — Механика полимеров, 1978, № 3, с. 443—451.

5. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М., 1965. 524 с.

Поступило в редакцию 20.07.79

УДК 539.4:678.067.5:624.074.4

Н. П. Ершов

ПРОЕКТИРОВАНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ КОНСТРУКЦИЙ: РАСЧ1 ОПТИМИЗАЦИЯ И ИСПЫТАНИЯ

Высоконагруженные конструкции современной техники являют как правило, анизотропными. При этом анизотропия бывает техноло ческой и конструктивной, что реализовано, например, в гладких обол ках из композитных материалов (КМ) и подкрепленных оболочках изотропных материалов или КМ [1].

Возможность изменения анизотропии свойств конструкционных ма риалов открывает широкие перспективы совершенствования и создан новых эффективных технических средств. Проблема проектирован анизотропных конструкций трактуется в настоящее время достато1 широко и включает задачи расчета, оптимизации и испытаний [2].

1. При создании конструкций ответственного назначения широ] применение находит метод расчета по разрушающим нагрузкам. В со ветствии с этим методом конструкция рассчитывается на нагрузку, п вышающую эксплуатационную в величину коэффициента безопасное Эта нагрузка называется расчетной, точность ее определения подтве{ дается натурными испытаниями и оценивается запасом прочности. 3ai прочности принимается равным отношению разрушающей нагруз определенной при испытаниях конструкций, к расчетной нагрузке.

Метод расчета по разрушающим нагрузкам содержит ряд недост ков. Во-первых, в рамках этого метода невозможно оценить точность пользуемых расчетных формул и их влияние на величину коэффицие] безопасности. Во-вторых, при использовании метода расчета по раз шающим нагрузкам затрудняется применение статистических мето, (из-за ограниченного числа испытаний натурных конструкций), то как их необходимость обусловлена случайным разбросом разрушают и (в ряде случаев) эксплуатационной нагрузки. Указанные недоста1 имеют методический характер, и их устранение требует совершенство ния самого подхода к проектированию ответственных конструкций.

Для решения проблемы проектирования анизотропных конструк] в работах [3—5] предложен метод расчета по предельному состоян предполагающий последовательное проведение испытаний образе мелкомасштабных моделей, натурных конструкций и статистичеа анализ опытных данных.

Условие неразрушаемости моделей в случае использования мет расчета по предельному состоянию имеет вид:

k^V(й\, «2, , rin)tn ^ S 0f.

Сущность условия (1) заключается в том, что все случайные свойс моделей (начальные несовершенства, разброс разрушающих натру: их расхождение с расчетными значениями) сведены к одному обобц ному параметру k0, принятому в виде отношения разрушающей нагру: определенной при испытаниях моделей, к ее расчетной величине, вьп ленной по зависимости V (йь нг,. . . , йп) от средних значений геометр1 ских параметров и прочностных (упругих) свойств, определенных при питаниях образцов. Влияние некоторой физической среды оценивас

вия среды, ki — среднее значение параметра нагрузки в i-й момент вре­ мени воздействия среды. Влияние случайных свойств моделей оценива-

квантиль надежности; vo, \ч — коэффициенты вариации параметров на­ грузки k0, ki.

При переходе от модели к натурной конструкции проверке подлежат лишь среднее значение параметра нагрузки kQи коэффициент его вариа­ ции vo, поскольку в случае использования конструктивно и технологи­ чески подобных моделей свойств их материала и материала натурных конструкций принимаются одинаковыми, а геометрические параметры и эксплуатационная нагрузка пересчитываются- в соответствии с крите­ риями подобия. Сравнение результатов испытаний моделей и натурных конструкций осуществляется с использованием последовательного крите­ рия Вальда [6], при котором достигается более высокая, чем при других методах, точность определения параметров ko, vo натурных конструкций при ограниченном числе их испытаний. В работе [7], например, предло­ жены соответствующие условия перехода от модели к натурной конст­ рукции.

Так, равенство параметров k0, vo для модели и натурной конструкции принимается при выполнении условий

Здесь области принятия ф(а, р,£м), ф(а, р, ом2) вычисляются по зависи­ мостям Вальда при заданных погрешностях а и р, известных среднем зна­ чении параметра нагрузки и дисперсии этого параметра ам2 для мо­ дели; kuj, £iij — текущее и текущее среднее значения параметра нагрузки натурной конструкции.

В рамках условия неразрушаемости (1) удобно оценить точность ис­ пользуемой расчетной зависимости по критерию

который означает, что максимальная величина коэффициента однород­ ности параметра нагрузки ко, вычисленного при использовании одной и той же выборки испытаний моделей, соответствует наименьшему расхож­ дению расчетных и опытных нагрузок, т. е. наиболее точной расчетной зависимости.

Справедливость критерия (3) является очевидной, поскольку произ­ ведение среднего значения параметра нагрузки k0 на расчетную формулу V(й\, й2, - - -, йп) является постоянным и не зависит от вида этой фор­ мулы. Использование в расчетах более точной зависимости позволяет уменьшить коэффициент безопасности и, тем самым, снизить массу кон­

струкции.

Оптимизация анизотропных конструкций связана с варьированием гео­ метрических и прочностных (упругих) свойств. Цель такого варьирова­ ния заключается в создании конструкции, отвечающей некоторому кри­ терию оптимальности. При использовании условия неразрушаемости (1) в качестве такого критерия удобно принять условие максимума предель­ ной нагрузки V(й\,й2, ... ,й п) , т. е. разрушающей (при оценке проч­ ности) или критической нагрузки (при оценке устойчивости) [8, 9], при постоянной массе конструкции.

Учитывая, что условие неразрушаемости (1) и соответствующие терии (2) и (3) имеют статистический характер, предложенный м расчета по предельному состоянию следует .рассматривать более со шейным, с точки зрения применения статистических методов, по сра нию с методом расчета по разрушающим нагрузкам.

2. Для первого предельного состояния, когда разрушение конст цнй происходит от исчерпания прочности, в качестве расчетной зав мости V(й\, «2, •••, йп) будем использовать решения, основанные на терии Гольденблата—Копнова [10].

Если предположить, что оси симметрии свойств материала не со дают с главными осями напряжений (при этом оболочка состоит из числа слоев и направление армирования от слоя к слою меняется) критерий прочности запишем в виде:

Здесь Прд°, TLpqrs0 — компоненты тензоров прочности в основной сис' координат; аиК опт? — компоненты тензоров напряжений для /-го с

— направляющие косинусы углов между осями основной и расче: систем координат для /-го слоя.

Используя решения для нормальных и касательных напряжени! безмоментной теории оболочек и теории наибольших касательных на жений и сводя компоненты тензоров напряжений последовательно к мальным напряжениям в кольцевом и осевом направлениях цилиндр ской оболочки, расчетные зависимости для разрушающих нагрузок (в реннего (внешнего) давления и осевой растягивающей (сжимаюи силы) можно записать в виде:

Здесь напряжения сгп^, (j22j вычисляются из критерия (4), формулы этих напряжений приведены в работе [7].

Зависимости для напряжений оп^, допускают варьирование лами армирования, поэтому оптимизация и связана с варьированием лов армирования каждого слоя с тем, чтобы при неизменной толи оболочки достигнуть максимальных значений нагрузок q и Т. Учить совместное действие нагрузок, нужно также обеспечить некоторое с ветствие отношений напряжений an3', 022j и расчетных нагрузок q?

Подставляя в (5) вместо разрушающих нагрузок q, Т расчетные грузки qp, Гр, запишем основное условие реализации критерия оптим ности:

^ oiiJ' 2nr2qv

“ a22j _ Т Г

и дополнительные условия

Записанные условия можно трактовать в целом как критерий равноп ности, поскольку их реализация соответствует одновременному исче нию прочности материала конструкции в кольцевом и осевом нап лениях.

Определив в соответствии с условиями (6) и (7) на ЭВМ некот< семейство рациональных углов армирования, по формулам (5) вы ляем необходимую толщину оболочки. Последующие уточнения, свя ные с проведением испытаний моделей и статистическим анализом oi ных данных, позволяют уменьшить возможные погрешности определ<

Ei + £ 2 = const, т. e. свойства матрицы не учитываются. Вводя отношение tiiJn\ = E\IE2 и выражая через это отношение соответствующие модули упругости, условия (10) запишем в виде (для полимерных КМ):

Проведя необходимые вычисления, определим рациональное отношение числа слоев волокон цилиндрической оболочки, нагруженной внешним давлением и осевой сжимающей силой, т. е. /ZI//22=1/3; п\1п2=\. Введя отношение е = П \ / п 2 и выразив через это отношение соответствующие числа слоев, условия (10) для металлических КМ запишем в виде:

где с= 1/4, d = 3/4 — для случая нагружения внешним давлением; c = d = = 1/2 — для случая нагружения осевой сжимающей силой. В результате вычислений на ЭВМ определено рациональное отношение числа слоев волокон цилиндрической оболочки при рассматриваемых видах нагру­ жения, т. е. п1jn2= 0; n\jn2=\. Сопоставление результатов рационального армирования оболочек из полимерных и металлических КМ показывает, что влияние типа матрицы является существенным.

При усилении цилиндрических оболочек ребрами жесткости исполь­ зуем принцип приведения их к условной гладкой оболочке с эквивалент­ ными жесткостями на растяжение—сжатие и изгиб в осевом и кольцевом направлениях. В этом случае в формулах (8) и (9) необходимо ввести замену:

где кп — толщина обшивки между ребрами жесткости; 1и 12 — шаг осе­ вых и кольцевых ребер; F\, /2 — площадь сечения осевого ребра и момент инерции сечения кольцевого ребра с присоединенной обшивкой.

В подкрепленных оболочках наряду с общей возможна местная по­ теря устойчивости. В соответствии с работой [12] расчетные критические нагрузки, связанные с местной потерей устойчивости, запишем в виде:

Здесь 1п — размер обшивки; поправочные коэффициенты k'q, k'r опре­ деляются в результате статистического анализа опытных данных по ме­ тоду наименьших квадратов.

Рациональное проектирование подкрепленных оболочек из КМ реша­ ется в два этапа. На первом этапе определяется рациональное отноше­ ние числа слоев волокон в обшивке. Поскольку структура формул при общей и местной потере устойчивости совпадает, то результаты реализа­ ции критерия оптимальности для оболочек, теряющих общую устойчи­ вость, можно перенести на обшивку. На втором этапе задача проектиро­ вания связана с перераспределением материала продольных и коль­ цевых ребер. При этом в качестве критерия оптимальности удобнее принять минимум массы конструкции (массовой толщины) при