книги / Прогноз осадок сооружений с учётом совместной работы основания, фундамента и надземных конструкций
..pdf3JV У '; |
{ dN. У*'1 |
|
|
|
— L и |
— L в выражениях (2.27) и (2.28) вычисляются по формуле |
|
||
дх ) |
{ ду ) |
|
|
|
|
д ы А е> |
м А е) |
|
|
|
дх j |
d d |
|
(2.32) |
|
'd N .Y * |
V / л |
I |
|
|
|
|
|
|
|
ду j |
\дт} j |
j |
|
где [Je>] - матрица Якоби. Матрица преобразования координат (матрица Якоби)
ци элемента [Уе)] запишется так:
дх |
ду |
У dNj ) |
(е) |
у»_a v f€) |
,(•> |
|
а ? |
ы; |
к д£ |
1 |
к |
д4 |
■У) |
[J<e) ] =дх |
ду |
Л dN(,e> |
|
^dN<e> (е) |
||
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
дт} |
дт]_ |
д7] |
<!‘J |
S - |
дт] -■у, |
|
огда инверсия [Jc)\ оценивается выражением |
|
|
|
|||
~дА |
дг[ |
1 |
дт] |
ду' |
|
|
[ J ^ r = дх |
дх |
д{ |
(2.34) |
|||
|
дх |
|||||
А |
dij " det J M |
дх |
|
|||
.ду |
|
|
дт] |
d f . |
|
|
Элементарный объем
dVM = A(e)d et[J<e>] ^ 7 7 , |
(2.35) |
где h(e)z=1 для случая плоской деформации и h(e)= 2крт я осевой симметрии.
Поскольку мы рассматриваем линейную зависимость между
напряжениями и деформациями, то, подставив в выражение (2.9) выражение для
деформации е из (2.26), получим
{ a (e)} = [z )(e)] f l] f i;e)f/;e) |
(236) |
Подставим (2.36) в левую часть выражения (2.5) и получим
|[fi(e)]r [D (0/ |
\ d |
V |
= Y KT UT , |
(2.37Ц |
v |
\ v=i |
J |
У-1 |
|
где Ki/e) - субматрица матрицы жесткости элемента [Kfe)]. Подставив в (2.37)
выражение для элементарного объема dV из (2.35) и проведя численное
интегрирование в естественной системе координат (£, т]\ получим матриц}
жесткости элемента [К!е)] в виде
[*<‘>] = |
[£>(',][fi<‘)] • W ,W j det[J(,)] |
(2.38)| |
/-1 >1
где Wu Wj - весовые коэффициенты точек интегрирования. Количество точек
интегрирования рхр. Первый член в правой части выражения (2.5) представляет
объемные силы {Fr}, второй - поверхностные {F^}, тогда глобальный вектор
нагрузки в (2.6) запишется:
{*} = {F,} + {Ff}. |
(2.39) |
Объемные силы, направленные по оси У, при численном интегрировании
для четырехстороннего элемента с рхр числом точек интегрирования
определяются как
{F <y', } = - p g t c o s 0 ± f jNl(4l>Tll)WlWJdet[J<‘>] |
(2.40) |
|
/=1 7=1 |
|
|
где pg = у - удельный вес; t - толщина элемента; 0 |
- угол между осью У и |
|
направлением действия силы тяжести; (£„7у) |
координаты |
точек |
интегрирования; N ^ r jj) - функции формы.
Для изопараметрических элементов эквивалентные узловые силы от
распределенных сил qx и qy (составляющие вдоль осей X и У) при численном
интегрировании по координатам £ и т]записываются так:
( K V = |
ijJW'Wj det[J(e>] |
(2.41а) |
/=1 ;= 1 |
|
|
(F% } = 4 y i i N |
ia i,rlj)WlWJ det[J(t>] |
(2.416) |
i=l 7=1
Мы рассмотрели основные выражения для плоского 8-узлового
изопараметрического элемента из Серендипова семейства. Теперь рассмотрим
те же выражения для пространственной 20-узловой призмы с изогнутыми
сторонами (рис. 2.4).
Рис.2.4. Пространственная 20-узловая модель из Серендипова семейства
Функции формы представляются в виде:
для узла в вершине
лг, = 1(1+& Х1+члЖ +К.т , +чч,+СС -2 ); |
(2.42) |
О |
|
для типичного узла на середине стороны:
Инверсия [Je>]оценивается так:
|
А |
дт] |
К |
|
дх |
дх |
дх |
U (t)r = |
А |
дт] |
А |
ду |
а |
ду |
|
|
А |
Лд |
А |
|
.dz |
dz |
dz _ |
Элементарный объем преобразуется следующим образом:
dV(c>= dxdydz = det[J(eJ ]d%dTjd<;
Матрица деформации В)’] представляется в виде
' т У * |
О |
О |
|
дх j |
|
||
|
|
|
|
0 |
ГалгЛ |
О |
|
|
|
||
0 |
0 |
Щ |
(') |
|
|||
dz |
|
||
В(‘} = |
|
|
|
Г а л о |
|
|
|
|
О |
|
|
к Оу ) |
1 дх J |
|
|
|
|
||
|
( t r |
д у ) |
|
|
|
д ы У ’ |
|
1Л dz |
|
дх |
|
(2.46)
(2.47)
(2.48)
Матрица жесткости элемента [К<е>~\записывается так:
г
[К<‘>] = ± ± ± [ В (^ ] [ D % ][В % ]WnWJVk det[J<‘>] (2.49) л=1 m=l*=1
Объемные силы для соответствующего /-го узла элемента задаются:
|
COS0X |
*IIIN,(Z,.Vm.CkW jrjrk det[JM ] (2.50) |
■р* -=pg- cos ©у |
||
л . |
- c o s 0 z |
л=1 m=i*=1 |
|
|
|
Так поэлементным суммированием [Kfe)] и {R(e)} составляются глобальная
матрица жесткости и глобальный вектор нагрузки, а затем решается уравнение
(2.6).
2.4. Пластичность и вязкопластичность
при реализации МКЭ
Ранее нами была рассмотрена упругопластическая модель грунта. При
этом деформационное упрочнение учитывалось только для грунта в
сформировавшемся ядре активной зоны фундамента. Запишем теперь основные
выражения для приращения напряжений и деформаций с целью их последующей
компьютерной реализации в программе “PLAST”. Возможности программы
будутрассмотрены ниже, а описание дано в работе [5]. Для более простой записи
формул опустим символы, обозначающие матрицы и векторы. Так, приращение
напряжений da, в соответствии с законом Гука, зависит от приращения упругих
