книги / Прогноз осадок сооружений с учётом совместной работы основания, фундамента и надземных конструкций
..pdfучитывает и историю предшествующего нагружения, и действующие
напряжения [14].
При непрерывном нагружении, начиная с момента времени т=0, на
момент времени f=0 полная деформация e(t) определится в виде
e(t) = ^ ~ - + \(t- T )a ( t) d T . |
(1.10) |
Е0 о |
|
Первый член правой части выражения (1.10) отражает мгновенную деформацию,
подчиняющуюся закону Гука. Эту деформацию можно считать квазиупругой.
Деформация ползучести определяется как
ev = \K (t-r)d (T )d T . |
( I l l ) |
о |
|
Решая уравнение (1.10) относительно напряжений, можно получить |
|
уравнение релаксации |
|
t |
|
cr(t) = E e(t)- $ R (t-z)e(z)d z. |
(1.12) |
о |
|
Ядро R(t-z) интегрального уравнения (1.12) является резольвентой ядра |
|
K(t-z) уравнения (1.11). Функции K(t-z) и R(t-z) инвариантны |
относительно |
отсчета времени, так как являются функциями разности (t-z). Вид функций
R могут быть степенными, дробно-линейными, экспоненциальными и др.
При учете нелинейной ползучести грунтов связь между напряжениями и
деформациями в уравнении (1.10) устанавливается в виде уравнения теории
нелинейной наследственной ползучести:
(1.13)
Теория наследственной ползучести позволяет учесть многие факторы
(историю предшествующего нагружения, сложное напряженно-
деформированное состояние на данный момент времени, последующую
разгрузку, упрочнение и т.д.), в этом её неоспоримое преимущество перед
другими теориями. Но сложный вид уравнений, функций ядер, большое
количество параметров вызывают трудности при практическом применении
теории.
1.2.Упругопластическая модель
Для случаев, когда грунты не обладают ярко выраженным свойством
ползучести и осадки сооружений затухают сравнительно быстро, оправдано
использование упругопластической модели грунта. В данном случае грунтам
присущи упругие (обратимые) и пластические (необратимые) деформации,
которые не имеют временной зависимости и могут происходить только после
достижения определенного уровня напряжений.
Рассмотрим упругопластическую модель грунта с упрочнением,
основанную на ассоциированном законе течения. Основные принципы модели
сформулированы в работе [55]. В данной модели пластическое течение
материала начинается после достижения какого-то уровня напряжений. После
начала течения в грунте (бетоне) будут иметь место как упругие, так и
пластические деформации. Тогда приращение общей деформации
deu = del+del' |
(1.14) |
Упругое приращение деформации deey связано с приращением
напряжения, которое можно разложить на гидростатическую и девиаторную
составляющие:
dee = а |
2i/J с J |
, d a ' |
(1.15) |
— |
— |
||
у |
|
2ц |
|
|
|
|
где Е - модуль упругости; v - коэффициент Пуассона; ц - постоянная Ламе; StJ -
символ Кронеккера.
Приращение пластической деформации можно записать в виде закона
ечения Кб]:
del = dX 3Q_ |
(1.16) |
da, |
’ |
где dX - коэффициент пластичности, Q - пластический потенциал. Закон течения
(1.16) определяет пластическое течение после начала текучести. В случае
ассоциированного закона функция текучести / и пластический потенциал Q
совпадают, это позволяет сформулировать определенные вариационные
принципы и теоремы однозначности [59]. Выражение (1.16) принимает вид
deff = d X ^ - |
(1.17) |
|
0 |
да, |
|
Выражение (1.17) называется условием нормальности, так как —;— да„
является вектором, направленным перпендикулярно к поверхности течения в
данной точке напряжения (рис. 1.7).
Рис.1.7. Иллюстрация ассоциированного закона течения
(А - поверхность нагружения)
Тогда приращение полной деформации с учетом (1.15) и (1.17) запишется
как
, |
(1 -2 v K , |
da[ |
J L |
|
detJ=— - — <V/o-u + |
------- hc/Л- |
( 1.18) |
||
2fi |
9<j„ |
|||
Согласно модели идеально упругопластического тела, пластические
деформации материала возникают после достижения напряжениями какого-то
предела текучести. Деформирование идеально упругопластического тела
показано на рис. 1.8. Для грунтов и твердых сред (бетон, горные породы)
наиболее часто используется критерий текучести Мора - Кулона.
Рис.1.8. Деформирование идеально упругопластического тела
Ш. Кулоном в 1773 г. был выведен закон фрикционного разрушения:
\r\ = e-crntgg>, |
(1.19) |
где Ы - величина напряжения сдвига, сгп нормальная составляющая
напряжения (растягивающее напряжение положительно), с - сцепление, (р- угол внугреннего трения. Графически выражение (1.19) представляет прямую линию,
касательную к наибольшим |
главным напряжениям (рис. 1.9). |
Принимая |
<7, > сг2 > сг3 , выражение (1.19) можно записать так: |
|
|
cos ^7 = с - |
(о-.+о-з) ( (сг, - q , ) =i |
(1.20) |
sin ^ 4 9 - |
||
Преобразуем (1.20) и представим в виде
l + sin0> ^ l-sin^?
(1.20а)
1 2c-cos0? 3 Ic-zoscp
Полная поверхность течения может быть получена при учете всех
остальных комбинаций напряжения, которые могут привести к течению
материала. В пространстве главных напряжений это дает коническую
поверхность течения, перпендикулярные сечения которой в любой точке
представляют собой неправильные шестиугольники (рис. 1.10).
Рис. 1.9. Круговое представление Мора
Рис. 1.10. Двумерное, плоское представление критерия текучести Мора - Кулона
Коническая, а не цилиндрическая, форма поверхности течения является следствием того, что гидростатические напряжения влияют на течение материала. При 07= 02=03 из (1.20) мы получаем, что среднее гидростатическое напряжение am-cxctg(p и, следовательно, вершина шестиугольной пирамиды лежат на пространственной диагонали в точке 07= 02= 03= cxctgcp ( рис. 1.11) [55].
Рис. 1.11. Геометрическое представление критерия текучести Мора - Кулона
Если после начала течения материала уровень напряжения, при котором
имеет место дальнейшая пластическая деформация, зависит от степени
пластического деформирования на данный момент, то у материала наблюдается
деформационное упрочнение. Для грунтов деформационное упрочнение
происходит в сформировавшихся ядрах активной зоны фундаментов (свайных,
выштампованных, обычных при нагрузках, близких к предельной).
Рассмотрим одноосное упругопластическое деформирование материала.
При деформационном упрочнении кривая напряжение деформация будет
выглядеть как на рис. 1.12. Начальный участок кривой характеризуется упругим
поведением материала с модулем упругости Е. При достижении напряжений
предела текучести От материал приобретает упругопластичные свойства и
коэффициент пропорциональности между напряжением й деформацией
изменяется в зависимости от локального наклона касательной к !фивой
деформирования. Такой модуль называется тангенциальным упругопластичным
Ет.
Рис. 1.12. Упругопластическое поведение деформационного упрочняемого материала
Закон упрочнения в приращениях напряжения и пластической деформации
записывается в виде [65]
da |
(1.21) |
|
d i7 # ' ( о , |
||
|
где Я ’ - параметр упрочнения,
Н /(ер) = — |
da |
1 |
( 1.22) |
|
de dee |
||
dep d e -d ee |
|
||
da da