книги / Оптимизация подкрепленных цилиндрических оболочек

Решение системы (1.44) будем искать с помощью метода Буб- нова-Галеркина, представив u Qf V0, W0 в виде

u 0 = M ,c ° s n e -M g s in rt0 )c O 5 d m ^ ,

Здесь A it /4 j, В4, fig, Cif Cg - неизвестные постоянные. После при­ менения процедуры Бубнова-Галеркина задача сводится к двум однородным системам алгебраических уравнений третьего поряд­ ка, в которые в качестве неизвестных входят соответственно А ,, Az, Q), В 2, С%,.Нетривиальное решение этих систем можно получить лишь в случае, когда обращаются в нуль их определите­

линейных алгебраических уравнений, полученных после исполь­ зования процедуры метода Бубнова-Галеркина, сводим задачу к кубическому уравнению относительно со* Поскольку для реше­ ния задач оптимизации основной интерес представляют собствен­ ные частоты изгибных колебаний, которые существенно ниже собственных частот продольных и крутильных колебаний, это уравнение можно линеаризировать и получить простую расчет­ ную формулу для вычисления квадрата собственных частот изгиб­ ных колебаний:

Анализируя (1,45), можно убедиться, что в зависимости от со­ отношения чисел полуволн и чисел ребер в соответствующих на­ правлениях ( т и 2л и * ) возможен ряд специфических форм колебаний (случаев деформации - по терминологии работ [2; 4]), для которых частоты зависят лишь от части параметров жесткости ребер. Для оболочек с равномерной расстановкой шпангоутов принимается такал классификация случаев деформации:

четвертый - стрингеры работают на растяжение-сжатие, изгиб

= $ ' * , m = 5 “ ( ^ + D , S3 = 2;

Для удобства пользования результаты вычисления сумм 6’1П, сведены в табл. 1.

Далее формула (1.45) будет использована при формулировке

получаем из условия равенства нулю определителя системы ли­ нейных алгебраических уравнений, полученной после применения

Формулы (1.46) и. (1.47) используются для решения задач опти­ мизации при ограничениях на критические напряженияч. Посколь­ ку эти формулы получены для упругой оболочки, то к ним необхо­ димо добавить ограничения на уровень напряжений в оболочке и ребрах, которые можно, например, записать в виде

вх*вх}>sy< ffy3<

где £ v и Gy - заданный уровень напряжений (далее принимает­ ся, что3(?Хз и Tty равны бг - пределу текучести материала).

В последующих главах широко рассматриваются различные задачи оптимизации конструкций из изотропных однослойных ма­

£, i>, p - модуль упругости, коэффициент Пуассона и плотность материала оболочки.

Глава 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

И АЛГОРИТМЫ ИХ РЕАЛИЗАЦИИ НА ЭВМ

Постановка задач оптимального проектирования конструкций (ОПК) состоит в формулировке основных определяющих уравне­ ний для расчета характеристик конструкции, -задании критерия (критериев) оптимизации и ограничений на функции состояния и переменные проектирования. В настоящей главе обсуждаются постановки задач оптимального проектирования подкрепленных цилиндрических оболочек как задач многопараметрической оптимизации. Основное внимание уделяется вопросам выбора крите­ риев качества и обоснования эффективных методик, нахождения оптимальных значений параметров проектирования с учетом осо­ бенностей рассматриваемых конструкций. Изучаются возможно­ сти совершенствования конструкций на основе исследования про­ ектов, оптимальных с точки зрения нескольких критериев качест­ ва. Предполагается, что читатель знаком с основными положения­ ми теории оптимизации;

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

В дальнейшем задача оптимизации подкрепленных цилиндри­ ческих оболочек формулируется в терминах нелинейного матема­ тического программирования (НЛП). Математическое содержание методов НЛП изложено, например, в работах [23; 34], а также в ря­ де других работ, указанных в списках литературы к ним. Приме­ нению методов нелинейного программирования к проектированию ребристых оболочек посвящено значительное число публикаций (12; 36; 32]. Эти, а также другие исследования свидетельствуют о достаточной общности подхода НЛП и возможности получения на его основе эффективных решений для различных условий про­ ектирования [23; 32; 21], вариантов постановок задач ОПК [12; 32], состава критериев [12; 13] и т. п. Важным является и то обсто­ ятельство, что проекты оболочек, найденные из решений задач па­ раметрической оптимизации, как правило, достаточно просто можно реализовать на практике, не предъявляя дополнительных технологических требований к процессу их создания [12; 13; 32].

Общая постановка задачи проектирования ребристых цилин­ дрических оболочек как многокритериальной задачи нелинейного программирования имеет следующий вид.

для которого

допустимых решений, определяющая условия нормального функ­ ционирования оболочки, конструктивно-технологические требова­

ектного решения, установленное в задаче. Показатели fy (£ ), дол­ жны обеспечивать возможность получения количественной оценки эффективности реш ениях В частности, при t = 1 имеем тради­ ционную однокритериальную постановку задачи ОПК. Оператор opt^F(X)J раскрывает содержание категории оптимальности_как компромисса частных критериев F- (X ) векторного критерия F (J). Выбор оператора o p t } связан с условиями конкретных задач проектирования и будет обоснован в 2.4,3.10.

В модели (2.2) применительно к рассматриваемому классу кон­ струкций, методам расчета ребристых оболочек и типам реша­

где В[Х) является матрицей характеристик поведения конструк­ ции, а <р[*] - некоторый оператор. Оператор ^ [ - ] формирует тре­ бования к показателям прочности, устойчивости, динамическим характеристикам оболочки и т. п. в виде, соответствующем усло­ виям проектирования и типу постановка задач ОПК. В качестве ip[•] могут быть, например, математическое ожидание (см. 3.10.2), опе­

требованиями; Ff, F**- константы.

Специфику задачи'параметрического синтеза ребристых цилин­ дрических оболочек составляют ограничения (2.6) - (2.7), для фор­ мулировки которых используют расчетные соотношения гл. 1, а также работ (2; 4]. В зависимости от вида внешних воздействий выбирают ограничения (2.6) или (2.7). Рассматривая для опреде­ ленности статическое нагружение, систему ограничений (2.6) с учетом существования как общего, так и частных случаев дефор­ мации (см. гл. 1) ребристой оболочки [2; 4] можно представить следующим образом:

Q (B>- Q j{ X ) s O , j = 0 , 1 , . . . , 8,

или

конструкции; (/77#/7) - значения параметров волнообразования из (2.8), а Сс® определяется в зависимости от вида внешней нагруз­ ки, действующей на ребристую оболочку.

Отличительной особенностью рассматриваемого класса задач ОПК являются также геометрические-ограничения (2.5) и ограни­ чения { 2)т л } (2.8), устанавливающие область значений парамет­ ров волнообразования. Первые из них (2.5) должны обеспечить соблюдение принятых допущений методики расчета [2; 3], а вто­ рые (2.8) ограничивают перебор (т ,п ) при решении задачи мини­ мизации в (2.11). Задание Dmn априори, например, в виде

<П?2, п ^ п ^ п г , где { т ^ т г , п ^ п г} - константы, затруднено даже в простейших задачах расчета рассматриваемых конструк­ ций. Этот вопрос становится особенно важным в задачах опти­ мального проектирования, когда по необходимости рассчитыва­ ется класс конструкций. Узкая область значений параметров (ш,д) не позгаяяет выполнить расчет согласно (2.11), а назначение ши-

рокого диапазона Цпп ведет к чрезмерным вычислительным за­ тратам. Подход к формированию ^ т п в процессе оптимизации будет рассмотрен в 2.3.

Ограничения (2.5) для однослойных конструкций'включают, на­

поперечных сечений стрингеров и шпангоутов при изгибе в ра­ диальной плоскости соответственно; Ь0 - толщина обшивки;

- ограничения толщины оболочки, а также отношений толщины Ьр к высоте hp ребер, ре. (С, ш 6f , Д - некоторые константы [4; 27]. Ограничения для многослойных конструкций подобны соот­ ношениям (2.12) - (2.14) и приводятся далее в конкретных задачах проектирования (см., например, 3.10.1).

Постановка задачи оптимального прооектирования ребристых цилиндрических оболочек, таким образом, сводится к анализу це­ лей и условий проектирования и задания, во-первых, набора пока­ зателей эффективности или одного показателя (например, вес оболочки, стоимость, надежность функционирования, значение критических нагрузок) и формирования соответствующих целевых

означает операции поиска условного экстремума целевой функ­ ции; в-третьих, ограничений типа (2:3)-(214), накладываемых на значения управляемых параметров.

- В связи с тем что в состав вектора параметров проектирования X (2,1) в рассматриваемых задачах входят как дискретные (ко­ личество стрингеров и шпангоутов), так и непрерывные величины, а область 2)^. (2.4}-(2.10) многоэкстремальная, имеет „подвиж­ ные” границы при варьировании значениями параметров Щ п ) для фиксированных X , решение задачи оптимизации подкреплен­ ных оболочек как задачи НЛП связано с весьма значительными трудностями. Реализация постановок в форме соотношений (2.1)- (2,14) требует выявления и учета всех особенностей исследуемо­ го класса задач ОПК и применения универсальных алгоритмов и программ оптимизации. Такими, как известно, являются алго­ ритмы случайного поиска [12; 31].

2.2 ПОИСКОВЫЕ АЛГОРИТМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ

2 .2 .1 . Особенности задач параметрической оптимизации при .учете дискретного характера подкрепления

Рассмотрим требования, предъявляемые к алгоритмам пара­ метрического синтеза исследуемого класса конструкций. Только на основе их анализа возможен обоснованный выбор существу­ ющих или разработка новых методов оптимизации конструкций, адекватных моделям объектов.

Современный арсенал методов решения задач оптимизации конструкций, представленных моделями НЛП, достаточно широк и разнообразен [ 12; 34]. Это, в свою очередь, свидетельствует об отсутствии единственного универсального метода оптимального проектирования, применение которого гарантировало бы решение задач НЛП любого класса на практике при приемлемых затратах. Выбор метода оптимизации опирается на анализ математических свойств и особенностей моделей ОПК [23; 31; 34]. Наибольшие трудности возникают при решении невыпуклых многоэкстремапьных задач НПП, при наличии в них переменных проектирования не­ прерывного и дискретного типа, а также если в моделях имеются функции с неопределенными значениями параметров [23; 31; 32]. Именно с последними из названных проблем встречается проек­ тировщик при решении задач параметрической оптимизации под­ крепленных оболочек с учетом дискретного размещения ребер жесткости.

Характерные черты рассматриваемых моделей ОПК состоят в следующем.

1.Недифференцируемость целевых и ограничительных функций (обусловлена как наличием дискретных и непрерывных управля­ емых параметров, так и формой расчетных соотношений для опре­ деления критических напряжений типа (2.11). Один из путей пре­ одоления возникающих здесь проблем состоит в применении пря­ мых методов оптимизации [31], использующих только значения функций из зависимостей (2.2), (2.4)-(2.11).

2.Наличие дискретных параметров с неопределенной областью значений: (mtn) € # т л * Расчет критических напряжений-(2.11) опи­ рается на перебор всех сочетаний значений {ЩП)€ £>m/7 и вычисление минимумов функций, что вполне соответствует подхо­ дам к учету неопределенных факторов в задачах исследования операций [14]. Вместе с тем известные трудности вызывает само априорное задание области ЪтТу (2.8). При некоторых видах воз