книги / Начертательная геометрия

Вобщем виде поверхность переноса может быть задана производя­ щей линией а в начальном ее положении и направляющей (кривой линией т)(рис. 200). Определитель такой поверхности имеет вид Ф(а, т) [Л].

Вгеометрическую часть определителя входят образующая а и на­ правляющая т. Алгоритмическая часть состоит из условия параллельного перемещения точек образующей (|| £).

Графические и топографические поверхности

Нелинейчатая поверхность, кривая образующая а которой в процессе образования поверхности произвольно изменяет свой вид, называется гра­ фической (рис. 201).

Форму графической поверхности имеют корпуса агрегатов, судов, двигательных аппаратов. Графическая поверхность задается некоторым числом линий, принадлежащих этой поверхности. К разряду графических относится топографическая (Topos (греч.) - местность, место) поверхность, т.е. земная поверхность с точки зрения ее изображений. Рельеф земной по­ верхности передается линиями - горизонталями а, получаемыми при пере­ сечении этой поверхности горизонтальными плоскостями (рис. 202).

VII. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ И ПРЯМОЙ, ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Задачи на нахождение общих точек у прямой и поверхности, по­ строение линии пересечения плоскости с поверхностью, двух поверхно­ стей определяют взаимное положение геометрических образов и относятся

кклассу позиционных.

1.ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ ПЛОСКОСТЬЮ

Линия пересечения поверхности с плоскостью представляет собой, в общем случае, плоскую кривую или ломаную линию, все точки кото­ рой одновременно принадлежат поверхности и секущей плоскости.

Аналитически для определения уравнения линии пересечения плоскости с поверхностью необходимо решить следующую систему уравнений:

где V - пространственная область.

Для графического построения точек линии пересечения поверхно­ сти с плоскостью используется общий способ нахождения точек, при­ надлежащих двум геометрическим образам - способ вспомогательных секущих поверхностей. В качестве секущих поверхностей используют вспомогательные плоскости.

На рис. 203 показана поверхность Ф и плоскость X, ее пересекаю­ щая. Для определения точек искомой линии пересечения данных гео­ метрических образов используют следующий алгоритм решения:

1) заданные геометрические образы рассекают вспомогательной секущей плоскостью £2, которую выбирают так, чтобы она пересекла по­ верхность по графически простым линиям (прямым или окружностям);

2)находят линии / и MN пересечения вспомогательной секущей плоскости £2 с поверхностью Ф и плоскостью X соответственно;

3)определяют точки А и В взаимного пересечения линий / и MN, лег жащих в секущей плоскости £2. Точки А и В принадлежат обоим геометри­ ческим образам, т.е. искомой линии пересечения т;

4)последовательно выбирают ряд секущих плоскостей, построения при этом остаются теми же;

5)полученные точки искомой линии пересечения соединяют с уче­ том видимости.

До начала построения необходимо сделать анализ взаимного распо­ ложения геометрических образов и искомой линии их пересечения, рацио­ нально выбрать вспомогательные секущие плоскости.

При анализе искомой линии пересечения и данных геометрических образов пользуются следующими основными положениями:

1.Плоскость, пересекающая поверхность, может занимать как общее, так и частное положение относительно плоскостей проекций.

2.Линия пересечения криволинейной поверхности с секущей

плоскостью в общем случае - кривая линия.

.3. При пересечении сферы любой плоскостыр в сечении всегда получается окружность.

4. Сечение поверхности вращения плоскостью всегда будет фи­ гурой симметричной, ось симметрии которой располагается в общей плоркости симметрии двух пересекающихся образов. Плоскостью симмет­ рии секущей плоскости является любая плоскость, перпендикулярная ей. Плоскость симметрии поверхности вращения всегда проходит через ее ось. Таким образом, общая плоскость симметрии должна удовлетворять обоим условиям - проходить через ось вращения i оверхности и быть перпенди­ кулярной секущей плоскости.

5. При пересечении линейчатой поверхности плоскостью точки искомой кривой находятся как точки пересечения образующих поверхно­ сти с данной секущей плоскостью.

6. Линия пересечения многогранной поверхности с секущей плоскостью в общем случае - ломаная линия, вершинами которой служат точки пересечения ребер многогранной поверхности с секущей плоско­ стью, а сторонами - отрезки прямых пересечения граней поверхности с той же плоскостью.

7. При пересечении прямого кругового конуса получается семей­ ство различных кривых второго порядка (конические сечения) или прямые линии (образующие).

8. При пересечении прямого кругового цилиндра могут получать­ ся окружности, образующие или эллипсы.

9.У цилиндрических, конических и призматических поверхно­ стей выделяются так называемые нормальные сечения. Нормальным назы­ вается сечение цилиндра или призмы, перпендикулярное образующим. Нормальное сечение конуса - это сечение, перпендикулярное его оси сим­ метрии.

10.При пересечении поверхности открытого тора (кругового кольца) с плоскостью получаются алгебраические кривые четвертого по­ рядка. Их общее название - кривые Персея. На рис. 204 показаны сечения поверхности открытого тора различными плоскостями, которые располо­ жены на расстоянии / от оси тора.

Взависимости от величин /, R и г кривые имеют различную форму:

-две окружности (см. рис. 204 а);

-овалы с одной осью симметрии (см. рис. 204 б);

-двухлепестковая кривая с узловой точкой в начале координат (см. рис. 204 в);

-волнообразная кривая (см. рис. 204 г);

-овал с двумя осями симметрии (см. рис. 204 д).

Построение линии пересечения следует начинать с опорных точек кривой. Опорными точками кривой называют такие, которые выделяются особым расположением по отношению к плоскостям проекций или зани­ мают особое место на кривой.

Опорными точками являются.

- точки линии пересечения, лежащие на очерках поверхности и назы­ ваемые точками изменения видимости. Проекции этих точек делят проек­ цию линии пересечения на видимую и невидимую части. Видимость линии пересечения определяется по видимости поверхности, на которой она ле­ жит. Видима всегда та часть поверхности, которая ближе к наблюдателю;

экстремальные точки линии пересечения, позволяющие судить, в каких пределах следует строить линию пересечения. К экстремальным от­ носятся самая дальняя и самая ближняя точки, самая левая и самая правая, наивысшая и наинизшая точки линии пересечения, которые всегда распо­ лагаются в общей плоскости симметрии двух пересекающихся геометри­ ческих образов;

Построение сечения наклонного эллиптического конуса с к р уго в ы м основанием горизонтально-пооецируюшей плоскостью Е (ТА показано на рис. 206.

Горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальным сле­ дом плоскости £]. Для построения фронтальной проекции сечения следует найти точки пересечения образующих конуса с заданной плоскостью. На­ чинать построения следует с опорных точек.

Точки изменения видимости располагаются на образующих, дающих фронтальный очерк поверхности - это образующие SA и SB. На пересече­ нии SiAi со следом Ei отмечается горизонтальная проекция точки 1 фрон­ тальная проекция 12 точки 1 принадлежит фронтальной проекции S2A2 об­ разующей SA. Образующая SB не пересекается с плоскостью в пределах заданного конуса, поэтому линия пересечения не имеет общих точек с фронтальной очерковой образующей S2B2.

Самые низкие точки кривой располагаются на основании конуса. На горизонтальной проекции отмечаются точки 2 , и 3i на пересечении окруж­ ности основания со следом Еь На фронтальной проекции основания кону­ са по линиям связи строятся фронтальные проекции 22, 32 точек 2 и 3. На горизонтальной проекции точка 2 - видимая, а 3 - невидимая, так как на­ ходится на нижней части конуса. На фронтальной проекции точка 2 нахо­ дится на передней части конуса и будет видимой, а точка 3 - на задней и будет невидимой.

Наивысшая точка искомой кривой находится в общей плоскости симметрии двух пересекающихся г.о. Эта плоскость общего положения проходит через центровую линию SO конуса перпендикулярно заданной плоскости Е. На эпюре общая плоскость симметрии задана двумя пересе­ кающимися прямыми SO и СО, горизонтальная проекция которой С\0\ перпендикулярна Еь Общая плоскость симметрии пересекает конус по об­ разующей SC, на горизонтальной проекции S\C\ которой находится точка 4( в пересечении со следом Ej. .По линии связи определяется фронтальная проекция 42 точки 4 на проекции образующей S2C2. Точка 4 - наивысшая точка линии пересечения.

Горизонтальная проекция крайней правой точки 51 находится на сле­ де Ei и образующей S\D\. Фронтальная проекция 52 строится по линии свя­ зи на S2D2.

Для получения плавной кривой строится ряд промежуточных точек, таких как точка 6. Истинная величина сечения находится проецированием на дополнительную плоскость П41| Ej.

Рис. 206