книги / Начертательная геометрия

Коноиды

Отличие поверхности коноида от цилиндроида состоит только в том, что одна из направляющих линий коноида - прямая. На рис. 182 даны на­ глядное изображение и эпюр Монжа коноида. Здесь т и п - направляю­ щие, причем т - прямая, п - кривая линии; Е - горизонтальнопроецирующая плоскость, которой параллельны все образующие коноида. Точка К, принадлежащая поверхности коноида, построена при помощи проходящей через нее прямолинейной образующей а.

Рис. 182

Косая плоскость (гиперболический параболоид)

Косая плоскость образуется непрерывным перемещением прямоли­ нейной образующей а по двум направляющим - скрещивающимся прямым т и п - параллельно некоторой плоскости параллелизма Е. Эту же поверх­ ность называют гиперболическим параболоидом, так как плоские сечения поверхности в одном из направлений дают гиперболы, а в другом - пара­ болы (это положение доказано в аналитической геометрии).

На рис. 183 а дан пример косой плоскости с плоскостью параллелиз­ ма Е, перпендикулярной Пь и направляющими прямыми т и п. На рис. 183 б приведен эпюр Монжа этой поверхности. Для наглядности проекционно­ го чертежа построены проекции ряда образующих (аналогично рис.181 б и 182 б).

Для построения точки К этой поверхности по заданной горизонталь­ ной проекции К\ использована образующая прямая а (см. рис. 183 б). Для построения же точки М по заданной фронтальной ее проекции М2 может быть использована произвольная линия на поверхности косой плоскости,

Впрактике чаще всего встречаются винтовые линейчатые поверхно­ сти с постоянным углом наклона образующей к оси и с постоянным шагом направляющей винтовой линии. Эти поверхности называют еще геликоида­ ми (от слова «гелиса»- цилиндрическая винтовая линия постоянного шага).

Взависимости от величины угла наклона образующей к оси гели­ коиды бывают прямыми, если этот угол равен 90° (рис. 185 а), и косыми (наклонными), если угол - произвольный, отличный от 0 и 90° (рис. 185 б).

Рис. 185

В свою очередь прямые и косые геликоиды подразделяются на за­ крытые и открытые. Признаком для такого деления служит взаимное рас­ положение оси геликоида и его образующей. Если образующая и ось пере­ секаются, геликоид называют закрытым, если скрещивается - открытым.

Аналитическое уравнение винтовой поверхности постоянного шага можно представить в следующем виде:

где р - винтовой параметр.

Определитель винтовой поверхности Ф(я, т) [А], где а - образую­ щая; т - направляющая винтовая линия; [А] - дополнительные данные о характере движения образующей.

Как неоднократно отмечалось ранее, для получения наглядного изо­ бражения винтовой поверхности ее задание на эпюре Монжа проекциями геометрической части определителя следует расширить до задания карка­ сом, составленным из последовательных положений прямолинейных обра­ зующих.

Например, на рис. 186 показан косой геликоид. Он задан правой вин­ товой линией т с диаметром Д осью винтов^ поверхности i и образую­ щей а, наклонной к оси под углом <р. Построен один виток винтовой ли­ нии, начиная от точки 1. Для этого окружность разделена на 12 частей. Точка 1, перемещаясь по винтовой линии, переходит последовательно в положения 2, 3, 12. Соответствующие образующие будут перемещаться параллельно образующим направляющего конуса вращения с углом ф при вершине. Построив ряд образующих, получим дискретный каркас отсека винтовой поверхности.

У прямого геликоида образующие всегда параллельны плоскости, перпендикулярной оси поверхности (рис. 187). По своему образованию прямой геликоид является коноидом. Действительно, образующая - пря­ мая линия; она во всех положениях параллельна некоторой плоскости (в данном случае перпендикулярной к оси цилиндра); образующая пересе­ кает две направляющие линии, кривую и прямую (ось цилиндра). Так как кривая направляющая представляет собой винтовую линию, то такая по­ верхность называется винтовым коноидом.

Для построения точки К этой поверхности по заданной фронтальной проекции К2использована образующая прямая я, у которой сначала стро­ ится фронтальная проекция а2перпендикулярно к оси винтовой линии. По точке пересечения (а2 П т2) строится горизонтальная проекция ах обра­ зующей и на ней точка К\.

Поверхности вращения

Широкое применение поверхностей вращения в технике, машино­ строении объясняется распространенностью вращательного движения и простотой обработки, (образования) деталей на станках. Особенно распро­ странены поверхности, имеющие в меридиональном сечении (см. ниже) кривые второго порядка или прямые.

Поверхность, образованная вращением линии (плоской или про­ странственной кривой) вокруг неподвижной прямой - оси, называется по­ верхностью общего вида (рис. 188 а). Определитель поверхности может быть записан следующим образом: Q.(a, i)[a вращается вокруг г], где а - образующая, / - прямая (ось вращения). При вращении каждая точка обра­ зующей описывает окружность с центром на оси плоскость окружности перпендикулярна оси вращения.

Окружности, описываемые точками образующей, называются парал­ лелями. Наибольшая из параллелей - экватором, наименьшая - горлом или горловиной.

Плоскости, проходящие через ось вращения, называются меридио­ нальными, а линии, по которым плоскости пересекают поверхность, - ме­ ридианами. Меридиональная плоскость, параллельная плоскости проек­ ций, называется главной, а линия пересечения ее с поверхностью - глав­ ным меридианом. Поверхность вращения считают закрытой, если мери­ диональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пере­ секающей ось поверхности в двух точках.

На эпюре Монжа поверхности вращения удобнее задавать очерками. Если ось поверхности занимает горизонтально-проецирующее положение, то горизонтальным очерком поверхности является горизонтальная проек­ ция экватора /[ (рис. 188 б), а фронтальным очерком - фронтальная проек­ ция главного меридиана ai. Для построения точек, расположенных на по­ верхности, рационально использовать параллели. Видимость точек на по­ верхности определяется очерковыми линиями, ограничивающими види­ мость самой поверхности относительно плоскостей проекций.

Такие поверхности имеют в меридиональном сечении кривую второ­ го порядка или две прямые, на которые распадаются кривые второго по­ рядка.. По виду главного меридиана и расположению оси вращения по­ верхности вращения имеют разные названия; На рис. 189 представлена группа поверхностей, имеющих в качестве образующей кривую второго порядка, а в качестве оси вращения - проецирующую прямую т.

Рассмотрим подробнее эти поверхности.

Сфера. Это поверхность, образованная вращением окружности во­ круг одного из своих диаметров. Ось вращения проходит через центр ок­ ружности. Уравнение поверхности: х2 + у2 + z2 = г2.

На рис. 190 дан комплексный чертеж сферы, заданной очерками. Пусть ось вращения - горизонтально-проецирующая прямая, тогда фрон­ тальным очерком сферы будет фронтальная проекция главного меридиана а2, а горизонтальным очерком - горизонтальная проекция экватора Ь\. Для построения недостающих проекций К\ и fC\ точек К и К расположенных на поверхности, используют параллель. Видимость точек на поверхности определяют на фронтальной плоскости проекций П2 меридианом, а на П1 - экватором сферы. Невидимыми будут точки за меридианом и под экватором.

Тор открытый (или круговое кольцо). Ось вращения не пересекает образующую окружность, но лежит вееплоскости. Уравнение поверхности:

(х2 + у2 + z2 + а 2 - Ь2)2= 4 а 2(х2 +у2), где а > Ь.

На рис. 191а дана геометрическая часть определителя кругового кольца. Зная, что каждая точка линии а описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси г, а центр расположен на оси, можно по­ строить очерки поверхности. На рис. 1916 заданы очерки этой поверхно­ сти. По фронтальной проекции точки К, расположенной на поверхности, строят горизонтальные проекции ее. Если известно, на видимой части по­ верхности расположена точка К или на невидимой, то можно проводить ее возможные параллели. В данном случае возможны две параллели, пересе­ кающие образующую в двух точках 1 и 2, следовательно, при положении К2на поверхности возможны четыре положения точек К\.

Тор закрытый. Ось вращения пересекает образующую окружность, но не проходит через ее центр (см. рис. 189). Уравнение поверхности:

(х2 + у2 + Z2 + а2 - Ь2)2= 4а2(д:2 + у2), где а < Ь.

Эллипсоид вращения. Поверхность, образованная вращением эллипса вокруг своей оси. Поверхность, образованная вращением вокруг малой оси, называется сжатым эллипсоидом вращения (рис. 192 а), а вращением вокруг большой оси —вытянутым эллипсоидом вращения (рис. 192 б).

Уравнение сжатого эллипсоида: а2(х2 +у2) + b?z2 = а2Ь2 Уравнение вытянутого эллипсоида: Ь2(х2 +у2) + a2z2= а2Ь2