книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

управления технологическими процессами намотки и навивки. Наибольшими возможностями для повыше­ ния быстродействия и точности обладают частотные методы измерения. Несмотря на большое количество литературы, посвященной анализу этих методов, до сих пор не решены вопросы оценки в динамических режимах точности воспроизведения непрерывных диф­ ференцируемых функций натяжения упругого мате­ риала.

движущаяся струна

движущаяся в упругой среде струна

где у — поперечное смещение струны; х — координа­ та точки в продольном движении струны; т — масса

21

Натяжение Т может изменяться как под воздей­ ствием случайных величин, так и параметров движе­ ния упругого материала (ускорения, частоты, ампли­ туды продольных колебаний, неточности изготовле­ ния механических узлов технологической системы намотки), и в общем случае описывается некоторой непрерывной функцией Т (0. которую можно разло­ жить в ряд Фурье,

и его параметрами необходимо воспроизвести эту функцию в виде частоты поперечных колебаний упру­ гого материала. Частота колебаний и параметр Т в простейшем случае, описываемом уравнением (2 1)» связаны зависимостью, которую и используют в час­ тотном методе измерения параметра Т в вибропреобра­ зователях

0min и frmin — любые, наперед заданные минимальные амплитуды i-й гармоники функции Т (t), величины ко­ торых выбираются из заданной точности воспроизве­ дения функции Т ({).

Для динамических режимов, при которых частоты /о и fn соизмеримы (но /0 > fn)> частотный метод, бази-

22

руюшийся на уравнении (2.5), неприменим вследствие низкой точности. В этом случае необходимо иметь информацию о поперечных колебаниях упругого мате­ риала, т. е. знать меру достоверности информации о предельной величине отношения f0/fnt при которой от­ сутствует потеря информации, а также длительность минимального информативного временного интервала. Поскольку частота колебаний является переменной при Т — = Т (/), то можно измерить лишь ее усредненную величи­ ну (Лф) за определенный ин­ тервал времени (4, 4+0» на­ пример за период (рис. 1).

Этот интервал времени опре­ деляет усредненную частоту поперечных колебаний

/ср = l/(4+i — 40*

а следовательно, усредненное значение функции Т (t) на этом интервале. Очевидно, что чем меньше этот интер­ вал, тем точнее определяется

(воспроизводится, восстанавливается) функция Т (t). Временные интервалы (4, 4-и) можно формировать за полный периохц_тогда У Т = fcp (функция иг), или за

полпериода К Г = 2/ср (функция и2). Эти интервалы соответствуют нулям функции у (t) (поперечных коле­ баний упругого материала). Для увеличения точности определения функции Г (0 интервал (4, 4+i) можно сократить за счет формирования его в экстремальных точках функции у (0 и ее производных, т.. е. в нулях производных функции у (0 (функция «,). Из рис. 1 видно, как уменьшается временной интервал (4, 4+0 и, как следствие, увеличивается точность определения

23

функции Т (i). Например, при использовании эк­ стремальных точек самой функции y (f), т. е. при значе­

тельно, во столько же раз увеличится точность вос­ произведения функции Т (0- Однако вопрос о выборе минимального интервала, соответствующего неиска­ женной информации о частоте поперечных колебаний упругого материала, так же, как и вопрос о достовер­ ности получаемой информации в теории колебаний, не решен. Исследования частотного метода, основан­ ного на применении формулы (2.5), не содержат оцен­ ки точности воспроизведения исходной непрерывной функции Т {t) в динамических режимах (при соизме­ римых частотах fn и /ср). Это объясняется отсутствием

методов воспроизведения функции Т (f) возникают следующие задачи: общая задача об информативности поперечных колебаний упругой системы, которая сводится к определению информативности функции

ния Т {f) в зависимости от отношения /ср//„; частные задачи 1) определения минимального информативно­ го временного интервала функции колебаний у (/), величина которого однозначно связана с параметром колебаний Т; 2) повышения точности воспроизведения функции Т (/) при соизмеримых fn и /ср за счет допол­ нительной информации колебаний упругой системы, возникающей в динамических режимах.

Для решения этих задач необходимо: доказать информативность интервалов времени (tk, 4+i), обра­ зованных нулями функции поперечных колебаний

24

материала у (О, и информативность (зависимость от параметра Т) интервалов времени (4, 4 + 0 , образо­ ванных нулями производных функции у (f) для всех упругих колебательных систем, описываемыхуравне­ ниями (2.1) — (2.4); определить погрешность восстанов­ ления функции Т (t) и минимальный информативный интервал (4, 4-j-i)- Эти задачи являются актуальными для исследования движения не только упругого ма­ териала, но и обширного класса виброчастотных преобразователей, работающих в динамических ре­ жимах.

2.2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Простейшая колебательная система. Свободные по­ перечные колебания ограниченной струны с закреп­ ленными концами описываются уравнением

Считая, что при t <z 0 натяжение постоянно и стру­ на колеблется с постоянной частотой, можно задать начальные условия в следующем виде:

Уравнение (2.6) с краевыми условиями (2.7) и началь­ ными условиями (2.8) решим методом разделения пе­ ременных. Найдем решение уравнения (2.6) в виде

25

Из выражения (2.9) и краевых условий (2.7) полу­ чаем следующую краевую задачу для определения

Х(х):

Обозначим через Ф„ (/) (i = 1, 2) решение уравне­ ния (2.11), удовлетворяющее следующим краевым условиям:

где Ап, Вп — неизвестные постоянные.

26

Учитывая начальные условия (2.8) и условия (2.12), получаем следующие равенства:

Частота колебаний струны совпадает с частотой функции и (t) = Ф| (t). Функция и (t) удовлетворяет следующему уравнению:

материала). Пусть t0 и tx два последовательных нуля функции u(t). Положим / = 1/[2 (^ — /0)]. ‘ Тогда на интервале t0 < t с tx существует точка ? такая, что / = а

27

уравнениям (2.13) и (2.14). Между любыми последо­

лученное противоречие показывает, что наше пред­

£а (0

/----- щ - принимает как положительные, так и от­

рицательные значения, то по теореме Вейерштрасса

28

Рассмотрим функцию г (?) = sin 2nf (t — ?0). Тог­ да г" (?) -f 4л2/2z (?) = 0.

Умножив это равенство на и (?) и вычтя из него равенство (2.13), умноженное на г (?), получим

z" (?) и (?) -|- 4л2/2г (?) и (?) — z (?) и" (?) —

— л2//2а2 (?) z (?) и (?) = 0.

Откуда

-А . (г' (t) u(t) — z (t) и’ (t)) = г" (0 и (t) — z (t) и" (<) =

= 4я2 (/2 — а2 (<)/(4/2)) «(*) г (<).

Интегрируя это равенство в пределах от ?0 до ?lf записываем

г' (У и (У — г (У и' (У — г' (У и (У +

Из неотрицательности функции z (?) на интервале [?0, ?J, знакопостоянства функции « (?) на этом интер­ вале и полученного выше равенства находим, что функция f — а (?)/(21) не может быть на интервале [?0, tj] знакопостоянной. Поэтому по теореме Вейер-

и (?) является нулем функции и" (?), и каждый нуль функции и" (?) является нулем функции и (?).

29

Доказательство. Пусть и (У = 0. Подставив в уравнение (2.13) вместо Означение /0, получим а" (У = = 0. Пусть и" ( у = 0. Подставляя в уравнение (2.13) значение t = У находим

(я//)2 a2(*i) ы(У = 0.

Но а (У ^ 0, поэтому w (У = 0. Следовательно, теорема доказана.

Докажем теперь, что нули функции и(п) при п > 2 неинформативны. Покажем вначале, что нули функ­

= . . . = ( - l ) kabku'(t).

Поскольку a0 Ф 0, то из этих равенств видно, что

нули и(п) (0 при л > 2 совпадают с нулями и (t) или и' (f) в зависимости от четности я, и поэтому дополни­ тельной информации о Т (t) по сравнению с нулями и (t) или и' (t) не несут, если Т (t) является посто­ янным.

30