книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

летворяющие этому уравнению, называются собственными векторами мат­ рицы А .

Уравнения (4.11) образуют систему п однородных линейных уравнений относительно составляющих JCJ ,...,JC;I собственного вектора je, которая опре­ деляет их с точностью до скалярного множителя. Физический смысл этих соотношений состоит в том, что однозначно определенным является только направление собственного вектора, а нс его модуль. Будучи однородными, уравнения (4.11) могут иметь нетривиальные (ненулевые) решения только тогда, когда детерминант, составленный из их коэффициентов, равен нулю. Таким образом, получаем уравнение относительно Л:

Уравнение (4.12) известно под названием характеристического уравне­ ния матрицы Аукорнями его являются собственные значения А матрицы.

Составляющие собственных векторов можно записать в виде хд, где первый индекс означает номер составляющей собственного вектора, а вто­ рой — номер самого собственного вектора. С учетом этих обозначений каждое из уравнений (4.11) можно представить в видеI

Л — диагональная матрица, по главной диагонали которой стоят собствен-

Умножив обе части уравнения (4.13) слева на Х ~*, получим

Х_1ЛХ = Л.

Левая часть этого уравнения записана в форме матрицы, подобной мат­ рице Л.

Таким образом, задачу о нахождении собственных значений матрицы можно свести к поиску такой матрицы X , которая подобным преобразова­ нием сводит матрицу Л к диагональной. Элементы полученной диагональ­ ной матрицы будут искомыми собственными значениями.

4.2. Задание ориентации твердого тела

Рассмотрим твердое тело в трехмерном евклидовом векторном простран­ стве. Пусть хyz — неподвижная система координат, а Е — соответствующее ей евклидово векторное пространство. Система координат ÇTJÇ — подвиж­ ная, жестко скрепленная с телом, а / — соответствующее ей евклидово векторное пространство (см. рис. 4.1).

Оператором преобразования координат от пространства / к пространству Е, соответствующим данной ориентации твердого тела, назовем следую­

Вектор rely т.е. радиус-вектор некоторой точки тела рассматривается в пространстве /, ему соответствует вектор ТеЕ ус которым он “совпадает1' в пространстве Е .

Равенство (4.14) можно записать иначе, имея в виду, что г= [Ç,T7,Ç ]7, 7= [х, у, z]T — вектор-столбцы в системах и xyz соответственно.

Элементами матрицы т служат направляющие косинусы осей Ç, т), Ç. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, например, преобразование координат на плоскости (рис. 4.3). Из геометрических соображений следуют уравне­ ния преобразования координат:

X - COS<р£> Sin#>7), у = S Ï t U p Ç + COS^)7).

Эти же уравнения в векторах пространства Е и / представлены в виде (4.14). Отсюда следует, что элемен­ тами матрицы т служат направляю­ щие косинусы осей Ç, т? относитель­ но осей л*, у. Это справедливо и для трехмерного пространства.

Рис. 4.4. Последовательность трех поворотов твердого тела вокруг осей, связанных с ним

матрица оператора преобразования координат. Эту матрицу используют для задания ориентации тела в пространстве, открывая таким образом возможность использования формализованного аппарата матричного ис­ числения.

Пусть с твердым телом, которое для большей наглядности представим в виде параллелепипеда, оси ix, i2, i3 связаны таким образом, что совпадают с ребрами а, Ь, с (рис. 4.4). В начальном положении тела оси ilf i2,i3совпа­ дают с одноименными неподвижными осями ех, е2уе3. Повернем тело вокруг ребра а на угол <рх — это первый поворот. В новом положении тела ребра д, by с определяют новое положение связанной системы — базис 1Х. Произве­ дем второй поворот — вокруг ребра b на угол <р2. В новом положении ребра а, Ь, с определяют базис / 2. Осуществим третий поворот — вокруг ребра с на угол <р3. Координаты некоторой точки М, принадлежащей твердому телу, для каждой пары систем связаны уравнениями

откуда следует 7М = Т х Т2Тъгм , т = Т{ Т2Т3.

Последовательные повороты дают по­ следовательные линейные преобразования координат. Их можно представить в виде одного линейного преобразования с матри­ цей, равной произведению матриц после­ довательных преобразований, причем матрицы расставляются слева направо в порядке следования поворотов. Как будет показано в дальнейшем, три последовате­ льных поворота вокруг различных осей за­ дают произвольную ориентацию тела.

Вычислим матрицы операторов преоб- Рис. 4.5. Элементарный поворот вокруг разования координат, соответствующие оси х ("д-поворот") поворотам тела вокруг координатных осей. Такие повороты будем называть элементарными. Итак, пусть системы xyz

и— прямоугольные, одинаково ориентированные системы координат

сначалом в одной и той же точке О. Соответствующие им координатные пространства обозначим через Е й 1.3а положительное направление при­ мем вращение против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси поворота.

Предположим, что система получена из системы xyz поворотом на угол ф в положительном направлении вокруг оси OÇ s Ох (рис. 4.5). Соот­

жительном направлении на угол 0 вокруг оси От) = Оу, для соответствую­ щего оператора преобразования координат У(0 ) находим матрицу

том в положительном направлении на угол <рвокруг оси Oz= OÇ, для мат­

4.3.Углы Эйлера и Крылова

Вряде случаев способ задания ориентации с помощью направляющих косинусов неудобен, так как число параметров ориентации равно девяти, а независимых среди них только три. Таким образом, девять элементов мат­ рицы т удовлетворяют шести условиям ортогональности (4.8), (4.9). Неза­ висимыми параметрами, определяющими ориентацию твердого тела, могут служить три угла Эйлера. Направляющие косинусы являются функциями этих углов.

Пусть xyz — неподвижная система координат, a ÇTJÇ—подвижная, жес­ тко скрепленная с телом. Обе они прямоугольные декартовы, правые (рис. 4.6). Линию ON пересечения плоскостей Оху и OÇy назовем линией узлов. Углами Эйлера называются следующие три угла <р\,ф,<Р2>определяющие положение системы координат ÇTJÇ, жестко скрепленной с телом.

1.Угол прецессии <рх - zxON отсчитывается в положительном направле­ нии в плоскости Оху от оси Ох до линии узлов ON.

2.Угол нутации ф = ^zOÇ отсчитывается в плоскости OzÇ от оси Oz до оси OÇ. Положительное направление отсчета — против часовой стрелки, если смотреть с конца орта п.

3.Угол ротации или чистого (собственного) вращения <p2=^NOfi отсчи­ тывается в положительном направлении в плоскости OÇу от линии узлов (Ж дооси OÇ.

Введенные углы Эйлера <Р\,ф,<р2 независимы: любые два из них.можно произвольно закрепить, а третий изменять,получая при этом некоторые

положения тела в пространстве.

Проводя последовательные повороты тела вокруг осей Oz, ONf OÇ, на­ ходим, что переменные ср1? ф, <р2 есть введенные выше углы Эйлера. Тем самым подтверждается, что последовательность трех поворотов вокруг

ложения, в котором она совмещена с системой xyz путем трех последовательных элементарных поворотов тела вокруг осей Oz, ON, OÇ на углы<рj , ф> (р2 соответствен­ но. Введем промежуточные системы коор­ динат xyz(1\ xyzW жестко скрепленные с телом, после его первого и второго поворо­

тов. Операторы преобразования координат рИС( 4,5, Задание ориентации твердого расставляются В соответствии СО схемой тела с помощью углов Эйлера

Оператор Л(3) — кососимметрический. Для доказательства продиффе­ ренцируем операторное тождество т т 7 = 1 :

i x r = .XX7 = -(XT7 ) 7' откуда

А(б) = -А ( б ) 7

т.е. оператор А (с5) кососиммстрический.

Как было показано в § 4.1, операторное умножение с кососимметриче­ ской матрицей эквивалентно векторному умножению, т.е.

А ф ) т = 5 х г .

Оператор А (со) = т т 7 называется оператором угловой скорости твер­ дого тела в момент времени /, а соответствующий ему вектор й е Е — век­ тором угловой скорости тела в момент времени или угловой скоростью тела. Вектор и является сопутствующим вектором матрицы A (со). Если со= [о> v, ü)y, Wç ]т , то матрица А (Q) в этом же базисе будет (см. формулу (4.7))

Итак, вектор скорости v точки М тела с радиусом-вектором ТеЕ, прове­ денным из неподвижной точки А , — образ вектора г при действии линейного кососимметрического оператора А (О), называемого оператором угловой скорости, т.е.

9 = А (0 )Г = S х г .

Полученное соотношение называется формулой Эйлера для скорости точки М тела.

Скорость тела характеризуется производной d x / d t оператора поворота т . Оператору т соответствует оператор А(3) - т т 7, а оператору А(3) — угловая скорость тела to.

Указанные соотношения относятся к пространству Е. Рассмотрим зави­ симости, имеющие место в пространстве /, определенном системой коорди­ нат ÇTJÇ, жестко связанной с телом. Пусть т —оператор преобразования коорди­ натпространства /в пространство£. С помощью операторат 7запишем оператор угловой скорости А ( СУ) и соответствующую ему угловую скорость (У в ба­ зисе пространства /, т.е. осуществим подобное преобразование (см. § 4.1):

где А(С>) — оператор угловой скорости точки М тела; ТЬ-соответствующий ему вектор угловой^скорости тела.

Оператор А(е) = и называется оператором углового ускорения твердого тела. Очевидно, что оператор углового ускорения, так же как оператор угловой скорости, кососимметрический. Соответствующий оператору А (?) вектор с называется угловым ускорением твердого тела. Оператор А (£)= = т 7А(е)т,т.е. оператор А (в), преобразованный к пространству /, и соот­ ветствующий ему вектор с = ттё называются оператором углового ускоре­ ния и угловым ускорением тела. Очевидно, что операторы угловой скорости и ускорения, а также угловая скорость и ускорение нс зависят от выбора положения полюса А. Это объясняется тем, что они определяются операто­ ром т, который не зависит от выбора полюса.

Рассмотрим общий случай движения твердого тела, который задается векторным равенством (рис. 4.8):

Дифференцируя равенство (4.21) по времени, находим, что скорость

(4.22) где VA — скорость полюса А; А (ш) = х х т—кососимметрический оператор,

характеризующий вращательное движение.

Формулу (4.22) можно записать в эквивалентном виде в векторах про­ странства:

v = VA + W х ( Г Тл ) .

Это формула Эйлера для скорости произвольной точки А/тела в общем случае его движения.

Выведем формулу для определения ускорения S e Е произвольно вы­ бранной точки М тела. Дифференцируя для этого соотношение (4.22), находим для искомого ускорения точки М в неподвижном пространстве

Введем символическое обозначение А (5)А (5) =А (б)2, тогда (4.23) пред­ ставится в виде

Здесь Яд = VA — ускорение полюса А тела. Вектор А (?) (г - ?А) называется

Рис. 4.8. Общий случай движения твердого I ела

люса А. Вектор Л(щ)2(г‘- ГА) называется осестрсмительным ускорением точки Л/тела. Вращательное и осестремительное ускорение можно рассмат­ ривать как результат действия линейного оператора А (ё + 5 2) на радиусвектор точки М , проведенный из полюса А и отнесенный к неподвижному пространству Е.

Рассмотрим случай сложного движения: точка М находится на подвиж­ ном теле и сама движется относительно него. В этом случае мы имеем модель, состоящую из двух тел — несущего и бесконечно малого (точки М ). Результирующее абсолютное движение точки М складывается из перенос­ ного вместе с телом и относительного. Радиус-вектор точки М в системе xyz

В этих формулах можно выделить элементы, зависящие только от пара­ метров переносного движения:

и получившие название переносной скорости и переносного ускорения, а также элементы, зависящие от параметров относительного движения: тг и тг, они получили название относительной скорости и относительного уско-