книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом
..pdfшей”. Система уравнений (4.43) определяет т переменных как неявные функции от остальных п-т переменных. Эти v = n - т переменных служат независимыми обобщенными координатами кинематической цепи. Задавая их в области существования функций Fk, получим систему т уравнений с т неизвестными. Такая замкнутая система имеет определенное решение и представляет математическую модель механизма как системы, обладаю щей определенностью движения. В случае замкнутой цепи все уравнения (4.43) взаимосвязаны. Для открытой цепи система распадается на т неза висимых уравнений, что упрощает задачу.
Выясним вид уравнений Fk = 0 для различных кинематических пар. На рис. 4.12 представлен двухзвенный отрезок кинематической цепи с шаро вым шарниром. Выберем точки М х и М2, принадлежащие телам У и 2, совпадающие с центром шарнира. Условие связи, налагаемое шаровым шарниром, запишется в виде
7М2 = Гм1
или с учетом уравнения преобразования координат (4.42)
r А + Т 2 Р М2 |
7 М 1 |
или, наконец, в виде
(4.44)
Из уравнения (4.44) следуют три скалярные уравнения. Следовательно, из шести обобщенных координат, определяющих положение тела 2, только три — независимые. Число уравнений связи определяет класс пары: это пара 3-го класса.
Для шаровой пары с пальцем (рис. 4.13) имеется еще одно дополнитель ное условие, состоящее в том, что ось пальца должна находиться в плоско сти прорези. Пусть направление оси пальца в связанной системе первого
2
Рис. 4.13. Связи в шаровом шарнире с пальцем
звена определено единичным вектором êi , а направление плоскости прорези в связанной системе второго звена — единичным вектором ё2• Условие расположения вектора ёхв плоскости про
рез и равносильно |
ортогональности |
|
векторов |
и т 2ё2 и, следовательно, |
|
их скалярное произведение равно ну |
||
лю: |
|
|
(т1е1) тт2ё 2 = 0 . |
|
|
Отсюда |
следует |
одно скалярное |
уравнение относительно направляю щих косинусов. Таким образом, шаро вая с пальцем пара дает четыре ура
внения связей и является парой 4-го
Рис. 4.14. Связи во вращательной паре класса
Во вращательной кинематической паре (рис. 4.14) условие связи выра жается в том, что при любом относительном положении звеньев точки М х и М2, лежащие на оси шарнира, но принадлежащие различным звеньям, совпадают. Кроме того, совпадают единичные векторы, определяющие по ложение оси шарнира в связанных системах.
Из условия совпадения векторов следует уравнение
т 1* 1 |
т |
' 2 * 2 1 |
где êl и ё2 — единичные векторы (орты) оси шарнира, их компонентами служат направляющие косинусы оси шарнира в связанных системах коор динат первого и второго звена.
В этих уравнениях направляющие косинусы играют роль свободно зада ваемых параметров. Произвольно можно задать только два из них, третий определяется из условия нормированное™ единичного вектора. Таким образом, цилиндрический шарнир дает пять уравнений связей и является парой 5-го класса.
Поступательная пара (рис. 4.15) налагает два условия: принуждает дви гаться тело 2 относительно тела 1 вдоль оси пары; сохраняет их относитель ную ориентацию. Первое условие выражается в том, что координаты точки М 2 должны удовлетворять двум скалярным уравнениям, определяющим прямую в пространстве Е. Второе условие выражается уравнением
т 2 = 5 т j ,
где S — некоторая постоянная матрица, при надлежащем выборе связанных систем S - 1; 1 — единичная матрица.
Из этого матричного уравнения следуют девять скалярных уравнений, однако из них независимые только три, остальные связаны условиями ор-
Рис. 4.16. Открытая кинематическая цепь общего вида
Система уравнений (4.45) дает рекуррентный алгоритм расчета конфигу рации кинематической цепи, основанный на последовательности примене ния одного уравнения — уравнения преобразования координат. Эту систему можно представить одним уравнением
+ 1 - r At |
т . р . |
N. |
(4.46) |
Уравнение (4.46) следует рассматривать совместно с уравнениями свя зей кинематических пар. Однако удобнее воспользоваться общей формой условий связей, налагаемых на ориентацию звеньев, в виде уравнения
т ; + 1 = т . Г . , |
(4.47) |
где Т-х— матрица, определяющая относительную ориентацию; будем назы вать ее матрицей кинематической пары.
Уравнения (4.46) и (4.47) образуют систему уравнений, необходимую и достаточную для отыскания всех обобщенных координат, а также декарто вых координат произвольных точек системы.
Уравнения (4.46) и (4.47) носят название основных уравнений геомет рии механизма. Дифференцируя их по времени, найдем скорости и ускоре ния. Отсюда следует, что уравнения (4.46) и (4.47) полностью определяют кинематику механизма.
4.7. Матрицы и операторы кинематических пар
Пусть звенья с номерами i - 1 и i соединены вращательной кинематической парой В дальнейшем для упрощения обозначений будем считать i - 1 = =1, i = 2. Введем связанные системы звеньев, руководствуясь следующими правилами. Начало координат связанной системы второго звена поместим
вточку пересечения общего перпендикуляра п —л, проведенного к осям предыдущей и последующей кинематических пар второго звена. Эту точку
вдальнейшем будем называть центром вращательной кинематической па ры А2. Ось z(2) направим параллельно оси пары Л3, а ось х (2) — по общему перпендикуляру п —п. Если оси А2 и Л3 пересекаются, общий перпендику ляр восстанавливается к плоскости их расположения. Аналогичным обра зом вводятся системы координат первого и третьего звеньев (рис. 4.17).
Для совмещения связанных систем первого и второго звеньев следует произвести параллельный перенос осей xyz(1) вдоль вектора р { в точку Л2 и повороты сначала вокруг оси z(1) на угол (р2, а затем вокруг оси х(2) на
угол ф2. В результате первого поворота совмещаются оси и х(2), после второго поворота совмещаются оси у(1) и z(1) с осями у*2) и z(2) соответст венно. Матрица результирующего поворота (она же искомая матрица ки нематической пары), согласно правилу сложения поворотов, получит вид
Т = ZX, |
(4.48) |
где Z и X — матрицы элементарных поворотов (4.16) и (4.15); матрица X — постоянная, a Z — переменная.
Для определения ориентации i-ro звена кинематической цепи с враща тельными парами достаточно перемножить матрицы Тк (к = 1,..., i). Если оси кинематических пар параллельны (т.е. фк =0), совокупность поворота эквивалентна одному повороту на угол <р%= I#)*. Это очевидно из физиче ских представлений и легко проверяется вычислениями.
В случае соединения звеньев поступательной парой остаются в силе
у (!)
1
Г,
Рис. 4.17. Кинематическая цепь с |
Ï |
вращательными парами |
О |
5 |
Рис. 4.18. Основные модификации звеньев
приведенные выше правила введения связанных систем звеньев. В качестве иллюстрации можно использовать рис. 4.17. Рассматривая при этом пару
А2 как поступательную, нетрудно убедиться, что матрица поступательной пары также определяется выражением (4.48),'причем матрицы Z и X — постоянные. Переменным в этом случае является вектор звена р, раскла дывающийся на связанные оси по компонентам /, Л так, что р = [/, О,А]7. Будем называть / длиной звена, А — плечом звена. Переменное плечо звена
А— обобщенная координата поступательной кинематической пары.
Наибольшее применение в манипуляторах находят кинематические це пи с вращательными и поступательными парами, оси которых коллинеарны или ортогональны. Манипуляторы этого типа называются ортогональными, поскольку их обобщенные координаты образуют ортогональные системы координат: прямоугольную, цилиндрическую, сферическую, ангулярную. Частные модификации звеньев с их характеристиками представлены на рис. 4.18, а—г.
Шаровые и шаровые с пальцем пары применяются ограниченно из-за сложности изготовления и трудности обеспечения их точности. На практи ке они заменяются кинематическими соединениями на основе вращатель ных пар, которые более технологичны, допускают использование стан дартных элементов в виде подшипников и направляющих качения.
На рис. 4.19 представлена шаровая с пальцем пара. Пусть палец принад лежит первому звену, а прорезь—второму. Свяжем со вторым звеном сис тему x y z ,направив ось у(2> перпендикулярно к плоскости прорези. Тогда оси х (2) г (2)окажутся в плоскости прорези. Зафиксируем их положение в
Рис. 4.19. Шаровой шарнир с пальцем
Рис. 4.20. Универсальный шарнир (шар* |
В |
нир Гука) |
|
этой плоскости по какому-либо конструктивному признаку, например по оси симметрии звена. С первым звеном свяжем оси jtyz(1), направив ось z(1Параллельно оси пальца, остальные оси свяжем с каким-либо элементом звена. Совместим оси x y z ^ с осями jcyz(2), для чего перенесем их вдолд> вектора Pj в точку Л2 и повернем сначала на угол <р2 вокруг оси z(1) до совмещения оси у(1) с осью у(2), а затем на угол 02 вокруг оси у(2> до совмещения осей z(1) с z<2) и с JC(2). Отсюда следует, что матрица шаровой с пальцем кинематической пары
т = z y .
На рис. 4.20 представлено кинематическое соединение — двухосный шарнир, соответствующий шаровой паре с пальцем и находящий практиче ское применение. Это широко известное устройство носит название универ сального шарнира (шарнира Гука). Шарнир Л выполняет функции пальца, а шарнир В — прорези.
Шаровая пара представляет физическую модель закрепления твердого тела в одной точке. Она реализуется в форме трехосного шарнира, образо ванного на основе вращательных пар, с пересекающимися в одной точке осями. Варианты исполнения такого шарнира показаны на рис. 4.21, а, б.
Общей моделью для матрицы ориентации всех рассмотренных кинема
тических пар может служить матрица |
|
T = ZXY |
(4.49) |
Она определяется тремя углами: качания <р, ротации ф, сгиба 0 . Для шаро вого шарнира все три угла служат независимыми обобщенными координа тами. Матрица шаровой пары с пальцем получается из уравнения (4.49) при ф=0. Тогда X = \ n T = Z Y . y глы (ри 0 представляют независимые обобщенные координаты, равенство^ = 0 есть уравнение связи шаровой с пальцем пары в его простейшем виде. Матрица вращательной пары получается из уравне ния (4.49) при 0 = 0 ,^ = const; угол (р служит независимой обобщенной координатой. Матрица поступательной пары получается при ср= const, 0 = =0, ф = const. Эти равенства являются уравнениями связей. Введенные указанным способом углы (р, ф, 0 представляют рассмотренный в § 4.3 вариант эйлеровых углов.
Полный шаровой шарнир моделирует закрепление тела в одной точке, поэтому для него справедливы установленные в § 4.5 кинематические соот ношения:
матрица ориентации |
|
|
Т = ZXY ; |
|
(4.50) |
оператор угловой скорости в теле |
|
|
А (й) = ф(ХУ)т\ ( 1 )ХУ + фУтМ х ) У |
+ 0A (j!) ; |
(4.51) |
оператор углового ускорения в теле |
|
|
А (ё)= ip(XY)T\ ( z ) X Y + фУт\ ( х ) У + |
в М у ) + фф<,ХУ)т\ ф Х У + |
|
+ £ é c o s 0y r A (х )У + ф<ЗУт\ ( г ) У |
|
(4.52) |
Операторам Л(со) и Л(е) соответствуют векторы угловой скорости й) и углового ускорения ё.Согласно установленным в § 4.5 соотношениям,
й) |
= <р(ХУ)т1 |
+ фУтх |
+ è |
ÿ , |
(4.53) |
€ |
= <p(Xy)Tz |
+ фУтх |
+ è ÿ |
+ <рф(ХУ)ту |
<рвсоъфУтх +$ByTz. |
|
|
|
|
г |
(4.54) |
а
Рис. 4.21. Трехосный шарнир
Векторы Ô3 и с определяют относительную угловую скорость и относи тельное угловое ускорение звена в кинематической паре и отнесены к связанной системе тела.
Соответствующие формулы для шарового с пальцем шарнира и цилин дрического шарнира получаются как частные случаи уравнений (4.50)—
(4.54): |
|
|
|
|
T = Z Y , |
|
|
|
|
A(ü>)=<pYTA ( z ) Y |
+ è \ ( ÿ ) , |
Më)=!pYTA (z ) Y + 9 М у )+ <pêYTA (x )Y , |
||
й — 4>YTz |
+ è ÿ , |
£ = <pYTz + Qÿ + <pQYTx' |
||
Для вращательной пары (цилиндрического шарнира) имеем: |
||||
Т = ZX, |
|
|
|
|
А(О) |
= |
фХтМ Т ) Х , А(ё) |
= 'фХтA(z)X, |
|
XS = |
<pXTz , £ |
= <рХт1 . |
|
|
|
|
4.8. |
Прямая задача кинематики манипулятора |
|
Прямая задача кинематики манипулятора состоит в следующем. Заданы обобщенные координаты кинематической цепи манипулятора и их первые и вторые производные. Требуется определить координаты, скорости и уско рения звеньев и характерных точек манипулятора.
Используя схему манипулятора, представленную на рис. 4.16, введем основную систему, связанную со стойкой таким образом, чтобы т 0 = 1, где 1 — единичная матрица, а гло = 0. Ориентация /-го звена, согласно выраже нию (4.47), определяется матрицей
т . = |
П Т . |
, |
1 |
к—1 * |
ш |
а радиус-вектор координаты центра кинематической пары Ар согласно уравнениям (4.45), выраженный с применением сигма-символики, имеет
вид
(
= j î W k ' P i -
Формулы приобретают большую наглядность, если представить их в блочной матричной записи:
|
\ |
Т 0 |
|
|
0 |
|
■ |
? |
1 |
' |
Г А 2 |
= |
то |
Т 0Т |
1 |
|
|
|
р |
2 |
|
r A i + 1. |
[ Т 0 |
Т 0Т |
1 |
Т 1Т 2 |
T i |
. |
P |
Î * . |
||
Абсолютная угловая скорость /-го звена w,- равна сумме относительных
угловых скоростей в кинематических парах, приведенных к неподвижному пространству Е. Ее можно представить в следующей блочной матричной записи:
[Ei 1 |
Гтх |
Т1Т2 |
0 |
О. 1 |
= |
тi |
|
n2 |
|
|
. Г 1 |
Т1Т2 |
Т1Т2‘ ■ Ti . |
. ° ï‘. |
где Çlfrik = 1,..., О — относительные угловые скорости в теле.
Для вычислений на ЭВМ удобен другой путь, основанный на использо вании рекуррентного уравнения (4.46). Последовательно применяя его к звеньям от первого до z-ro, находим координаты центров кинематических пар. Координаты прочих точек звеньев, например центров масс, находятся таким же путем, достаточно задать соответствующие векторы p s этих то чек.
Скорости и ускорения получают, дифференцируя уравнения (4.46). Ес ли пара Aj вращательная,то
[ A t + \ = * А 1 + Х<" / ) Т / Р / *
(4.55)
' л и -1 " “ ü i + A ( g i + S ? ) T / P/ - - ' для поступательной пары
7 A i + 1
r A i + 1
= t A i |
+ А( &. ) т . р . + т i p i , |
= -fAi |
+ A<6. + s p x . p . + T tp t + 2A (S . )T .p . ). |
a ^ (4.56) Здесь A (wj), A (c t ) — операторы абсолютной угловой скорости и ускорения
i-го звена в неподвижной системе.
Формулы (4.28) и (4.30) позволяют составить рекуррентный алгоритм
их вычисления: |
|
|
||
А(Э . ) |
= |
A ( S . _ 1) |
+ |
А ( Й . ) , |
M ’S . ) |
= |
A (êif _, ) |
+ |
A ( f f ) + Л ( 0 ( . 1)Л(П| ) - A( S / ) A( S - . . j) . • |
(4.57) Угловые скорости и угловые ускорения находят аналогичным образом:
i + |
(4.58) |
|
= r . . j + |
||
s t + А ( 8 . . , ) Й . . |
Уравнения (4.55) и (4.56) можно объединить в одно, при этом в него следует ввести символ, определяющий вид пары — вращательная или по ступательная. Уравнения (4.55)— (4.58) совместно с уравнениями (4.46), (4.47) составляют основу универсального алгоритма решения прямой зада-