МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, Л§ 1, с. 29—33

УДК 539.2.001:539.4:678.067

Л. П. Исупов

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИИ В ВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ

В [1] показано, что задача неоднородной теории упругости для волокнистого компо­ зита может быть сведена к задаче моментной теории упругости для однородного ани­ зотропного тела. В [2, 3] решены некоторые плоские задачи в рамках предложенной теории. Решения оказываются существенно зависящими от характерного линейного раз­ мера материала / [2, 3], который определяется отношением модулей Юнга волокна Е* и матрицы Е т и поперечным размером армирующего элемента d (размер структурной неоднородности)

l=1E*IE™d.

Коэффициент k зависит от объемного содержания волокна и коэффициента Пуассона полимерной матрицы. В настоящей работе предложен метод построения приближенного решения для областей с гладким контуром, решена задача о концентрации напряжений у кругового отверстия, показана зависимость коэффициента концентрации напряжений от размера концентратора.

1. Запишем основные уравнения в случае плоской деформации [2, 3}. Уравнения равновесия

Здесь 6x2 — символы Кронекера; Стп ( т ,п = 1, 2, 6) — обычные модули упругости; I — характерный линейный размер материала; tij — компо­ ненты единичного вектора нормали к внешнему контуру; U, т , u*и ф — заданные на внешнем контуре функции; N — оператор нормальной про­ изводной.

Система уравнений в перемещениях

—12CQQU2,U\\ + C22U2t22 + CGQU2}\\ + {С\2 + CQQ) U\t\2 = 0.

В случае обобщенного плоского напряженного состояния необходимо

Ь2= —(Cndi2 + C66d22), где — символ частной производной по соответ­ ствующей переменной. Тогда первое из уравнений (1.3) удовлетворится тождественно, а второе даст разрешающее уравнение для функции Ф:

Напряжения выражаются через функцию Ф следующим образом:

оц = Ьц(Ф); v = l2L( Ф).

где Lih L — дифференциальные операторы третьего и четвертого по­ рядка, которые несложно выписать с помощью (1.1), (1.2). Граничные условия для функции Ф на части контура S a-

где L0=[diL-dj(ninjL)]ni+di{niL)\ m °=m //W . Граничные условия на части контура S u:

Уравнение (1.4) является уравнением с малым параметром /2 при операторе старших производных Q\. При / = 0 получим для функции Ф уравнение и граничные условия, соответствующие плоской задаче клас­ сической теории упругости анизотропного тела,

туром без угловых точек. Выберем в окрестности контура криволиней­ ную систему координат а, р таким образом, чтобы уравнение контура было а = 0:

Запишем оператор (1.4), разлагая его коэффициенты в ряд по степе­ ням а в окрестности границы области ос = 0, и выделим главную часть со старшими производными по а:

Qo(ф) - l2Q\ (ф) = Pi ( Р ) даАФ - РР2(Р ) <Эа6Ф +

где

Р\ (Р) = (1Д о)4[^11У,Р4+ ^оУ1р2^ 1р2+ ^22^,р4]а - 0 ;

Отличные от нуля корни характеристического уравнения имеют вид s,,2= ± tf(P )//; R = (Pi/P2) 1/2; К(Р)=7^ 0. При Р2(р *)= 0 дифференциаль­ ный оператор (1.4) вырождается в окрестности границы в оператор чет­ вертого порядка. Такие точки р* исключим из рассмотрения (они опре­ деляются уравнением <Эрг/(0, р) = 0). Дополнительное характеристическое уравнение (2.2) имеет один отрицательный вещественный корень. Столько же граничных условий выпадает при переходе от задачи А\ к А0. Следовательно, имеет место регулярное вырождение А\ в А0 при /-И) [4], и для построения приближенного решения можно воспользо­ ваться методом работы [4]. Решение будем искать в виде

где Фо — решение задачи классической теории упругости, т. е. задачи Аоу а Ф2 — функция типа погранслоя &-го порядка

где с(р) — неизвестная функция; k — определяется порядком дифферен­ циального оператора в выпадающем граничном условии (1.6) или (1.8). Из результатов работы [4] следует, что в этом случае Qo(<Di) —/2Q i(6i) =

= /0 ( 1).

1. Пусть на всем контуре заданы усилия. Граничные условия в этом случае имеют вид (1.5), (1.6). В качестве Ф2 возьмем функцию типа погранслоя четвертого порядка (в (2.4) k = 4 ). Неизвестную функцию с(р) найдем из граничного условия (1.6). Выделив старшие производные по нормали к контуру, получим при а = 0

ГДе |.10 (Р) =^(Фо)/а=о=Обб^2,х*л:0/а=о; ^з(Р) = Обб2 ( 1До)4[А/цУ,р4 + У,р2^,р2}а=0.

Потребовав выполнения (2.5) с точностью до ,/0(1), получим

Рассмотрим граничное условие (1.5). Решение классической задачи Ф0 удовлетворяет точно первому граничному условию (1.10) и, кроме того, Ф0 не зависит от /. Отсюда ясно, что Ф0 удовлетворяет (1.5) с по­ грешностью /20(1). Функция Ф2 имеет вид (2.4) при k= 4. Каждое диф­ ференцирование по а вызывает появление множителя R/L Вследствие того, что входящие в (1.5) операторы Ьц — третьего, a L — пятого по­ рядка, имеем

ЩЬц (Фа) — l2Si2L (Ф2) = /0 (1 ).

Следовательно,

(ФО - l4 i2L (ФО = и + ю (1).

Таким образом, построенная функция Ф 1= Ф о+Ф 2 (2.3), (2.6) удовлет­ воряет всем условиям задачи А\ в первом приближеции.

2. Рассмотрим вторую краевую задачу. Пусть на всем контуре за­ даны кинематические граничные условия (1.7), (1.8). В качестве Ф2 возьмем функцию типа погранслоя (2.4) третьего порядка (й= 3). Из граничного условия (1.8) аналогично предыдущему найдем

где ф° = Л^2(Ф0); Р4(Р) =Сбб(1/7о)21^11«/,р2+ ^ э 2}а=о. При этом функция Ф, = Ф0+ Ф 2 удовлетворяет граничным условиям (1.7) в первом прибли­ жении, как и остальным условиям задачи А\.

Таким образом, приближенное решение задачи для области с глад­ ким контуром имеет вид

Ui= ui°+Li (Ф2) ; or,j = <Jij°+La (Ф2) ,

где щ0, on0— решение задачи классической теории упругости анизотроп­ ного тела, а функция Ф2 определяется (2.4), (2.6) и (2.4), (2.7) в слу­ чае первой и второй краевых задач соответственно.

3. В качестве примера рассмотрим задачу о концентрации напряже­ ний у кругового отверстия в поле одноосного растяжения вдоль оси Оу напряжением р. Решение этой задачи в классической теории упругости хорошо известно [5]:

Ui°=2Re [гхф(zi) + г2-ф(г2)]; ы2° = 2 Re [<7i<p(2i)i+ Р г ф Ы ], (3.1)

где z \= x + v xy\ z2= x + v 2y, n = anvi2+ a i2; r2 = anv22 + ai2; P i= (a ,2vi2+ + a22)/vj; q2= (ai2v22+ a 22)/v2. Здесь ai} — коэффициенты матрицы упру­ гих постоянных, обратной матрице модулей упругости Сц; vi, v2 — корни характеристического уравнения