книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования
..pdf
|
1 |
m |
|
s(1) |
|
y(i). |
(5.6) |
|
|||
|
m i 1 |
|
|
Как правило, m выбирают в пределах от 3 до 6 (на «вкус» исследователя).
ПРИМЕР 5.1. Рассчитать наилучший сглаживающий коэффициент из 0.3 и 0.4 для заданного временного ряда:
Исходные данные
y |
83.12 |
86.23 |
79.34 |
73.55 |
83.84 |
79.05 |
84.76 |
80.676 |
75.26 |
79.48 |
Начальный прогноз выбирается как усреднение по m 3. При 0.3 расчет прогноза осуществляется по формуле
s(1) y(1) 83.12,
s(2) y(2) (1 )s(1) 0.3 86.23 (1 0.3) 83.12 84.05,
s(9) y(9) (1 )s(8) 0.3 75.26 (1 0.3) 81.72 79.78.
Расчеты сведены в табл. 5.1 и представлены на рис. 5.1.
Таблица 5.1
Исходные данные, модели экспоненциального сглаживания при 0.3 и 0.4
Период y
183.12
286.23
379.34
4 73.55
583.84
s(i), |
s(i), |
0.3 |
0.4 |
83.1283.12
84.0584.36
82.6482.35
81.1180.43
Период |
y |
s(i), |
s(i), |
|
0.3 |
0.4 |
|||
|
|
|||
6 |
79.05 |
81.93 |
81.80 |
|
7 |
84.76 |
81.07 |
80.70 |
|
8 |
80.676 |
82.17 |
82.32 |
|
9 |
75.26 |
81.72 |
81.66 |
|
10 |
79.48 |
79.78 |
79.10 |
81
Рис. 5.1. Временной ряд с экспоненциальным сглаживанием при 0.3 и 0.4
По графику видно, что лучшее сглаживание выполнено при0.3. Расчет MAPE подтверждает численно данный вывод.
MAPE( 0.3) 4.24%, |
MAPE( 0.4) 4.39%. |
|||
Прогноз на период k 1 10 1 11: |
||||
y(11) |
|
79.69 |
0.3, |
|
|
||||
|
|
|
79.25 |
0.4. |
На рис. 5.1 отражен тренд, показывающий тенденцию к уменьшению. Данный тренд несущественный. Но при наличии существенного тренда, т.е. когда есть тенденция к росту или падению значений временного ряда, экспоненциальное сглаживание неприменимо, так как модель не учитывает влияние данного фактора. Для таких случаев применяется двойное экспоненциальное сглаживание.
5.2.МОДЕЛЬ ДВОЙНОГО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ ХОЛЬТА
Сглаживание временного ряда по методу двойного экспоненциального сглаживания Хольта осуществляется по формулам:
82
s(i) |
|
|
y(i) |
i 1, |
|
||||
|
|
|
y(i) (1 )(s(i 1) b(i 1)) |
i 1, |
|
|
|
|
(5.7) |
b(i) |
|
|
y(2) y(1) |
i 1, |
|
|
|||
|
|
|
(s(i) s(i 1)) (1 )b(i 1) |
i 1, |
где i – период расчета;
s(i) – сглаженное значение уровня временного ряда; y(i) – значение временного ряда в момент i ;
– коэффициент сглаживания уровня; b(i) – сглаженное значение тренда;
– коэффициент сглаживания тренда.
Коэффициент сглаживания тренда выбирается в преде-
лах от 0 до 1.
Начальное значение b1 можно выбрать одним из двух способов:
b(1) ((y(2) y(1) (y(3) y(2) (y(4) y(3))/3, |
(5.8) |
b(1) (y(k) y(1))/(k 1), |
(5.9) |
где k – количество наблюдений.
Значения s(i) и b(i) рассчитываются попеременно, начиная с s(2) .
В отличие от простого экспоненциального сглаживания модель Хольта позволяет делать прогнозы на достаточно большой период вперед. Прогнозные значения рассчитываются по формуле
|
(5.10) |
y(k m) s(k) mb(k), |
где m показывает, на сколько периодов вперед ведется прогнозирование;
y(k m) – прогнозируемые значения.
83
Для наилучшего расчета прогноза, коэффициенты сглаживания и выбираются по принципу минимизации MAPE ана-
логично методу простого сглаживания.
ПРИМЕР 5.2. Для заданного временного ряда (табл. 5.2)
рассчитать прогнозируемые |
|
значения |
ряда |
в моменты |
||||||||
k 1 21,22,23,24. График |
временного |
ряда представлен |
||||||||||
на рис. 5.2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5.2 |
|||
|
|
|
Исходные данные |
|
|
|
|
|
||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Период |
Период |
|
y |
|
Период |
|
|
y |
|
Период |
y |
|
1 |
70.12 |
6 |
|
87.73 |
|
11 |
|
102.68 |
|
16 |
119.33 |
|
2 |
75.69 |
7 |
|
89.46 |
|
12 |
|
102.35 |
|
17 |
121.10 |
|
3 |
80.38 |
8 |
|
91.22 |
|
13 |
|
108.21 |
|
18 |
125.79 |
|
4 |
78.91 |
9 |
|
97.66 |
|
14 |
|
109.38 |
|
19 |
125.20 |
|
5 |
85.36 |
10 |
|
101.76 |
|
15 |
|
111.14 |
|
20 |
130.11 |
|
Рис. 5.2. График временного ряда
На графике представлен тренд временного ряда (красная линия). Поэтому для такого ряда (с ярко выраженным трендом) простое экспоненциальное сглаживание не подходит.
Расчет двойного экспоненциального сглаживания осуществляется с 0.1 и 0.5.
84
Начальные значения осуществляются как
s(1) y(1) 70.12, |
|
|
|
||
b(1) |
y(k) y(1) |
|
130.11 |
70.12 |
3.16. |
k 1 |
19 |
|
|||
|
|
|
|
||
Расчет s(i) и b(i) выполняется, начиная с s(2) :
s(2) y(2) (1 )(s(1) b(1)) 0.1 75.69 0.9 (70.12 3.16) 73.52, b(2) (s(2) s(1)) (1 )b(1) 0.5 (73.52 70.12) 0.5 3.16 3.28,
s(20) y(20) (1 )(s(19) b(19)) 0.1 130.11 0.9 (126.11 2.86)129.09.
Расчеты сведены в табл. 5.3 и представлены на рис. 5.3.
Таблица 5.3
|
|
Сглаженные значения при 0.1 и |
0.5 |
|
|
||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Период |
Период |
y |
Период |
y |
|
Период |
y |
|||
|
1 |
70.12 |
|
6 |
87.45 |
11 |
103.78 |
|
16 |
117.42 |
|
|
2 |
73.52 |
|
7 |
90.77 |
12 |
106.59 |
|
17 |
120.24 |
|
|
3 |
77.15 |
|
8 |
93.87 |
13 |
109.49 |
|
18 |
123.30 |
|
|
4 |
80.44 |
|
9 |
97.17 |
14 |
112.15 |
|
19 |
126.11 |
|
|
5 |
83.97 |
|
10 |
100.57 |
15 |
114.58 |
|
20 |
129.09 |
|
|
Прогнозируемые значения рассчитываются по форму- |
||||||||||
ле (5.10): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
s(20) b(20) 129.03 2.92 132.01, |
|
|
||||||
|
|
y(21) |
|
|
|||||||
|
|
|
s(20) 2b(20) 129.03 2 2.92 134.94, |
|
|
||||||
|
|
y(22) |
|
|
|||||||
|
|
|
s(20) 3b(20) 129.03 3 2.92 137.86, |
|
|
||||||
|
|
y(23) |
|
|
|||||||
|
|
|
s(20) 4b(20) 129.03 4 2.92 140.78. |
|
|
||||||
|
|
y(24) |
|
|
|||||||
85
Рис. 5.3. График временного ряда и двойного экспоненциального сглаживания
5.3.МОДЕЛЬ ТРОЙНОГО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО СГЛАЖИВАНИЯ ХОЛЬТА – УИНТЕРСА
Тройное экспоненциальное сглаживание применяется, если временной ряд обладает компонентой сезонности [28]. Модель Хольта – Уинтерса является расширением метода Хольта, в которую внесен третий компонент – это сезонность. Модель Хольта – Уинтерса является расширением модели Хольта до трехпараметрического экспоненциального сглаживания. Это означает, что модель характеризуется тремя параметрами (уровень, тренд и сезонность временного ряда), которые необходимо выбрать, чтобы получить прогноз.
Модель Хольта – Уинтерса имеет вид
s(i) (y(i) с(i L)) (1 )(s(i 1) b(i 1)), |
|
b(i) (s(i) s(i 1)) (1 )b(i 1), |
(5.11) |
c(i) (y(i) s(i 1) b(i 1)) (1 )c(i L),
где i – период расчета;
(y(i) s(i)) (1 )c(i L),
86
s(i) – сглаженное значение уровня временного ряда, избав-
ленное от сезонности;
y(i) – значение временного ряда в момент i ;– коэффициент сглаживания уровня;
b(i) – величина влияния тренда;
– коэффициент сглаживания тренда; с(i) – компонента сезонности;
L– длина сезона;
– коэффициент сглаживания сезонности.
Коэффициенты сглаживания , и выбираются из
диапазона [0, 1] аналогично простому и двойному экспоненциальным сглаживаниям. С их помощью распределяются веса между влияниями текущего значения и сглаженного предшествующего значения. При выборе данных коэффициентов следует иметь в виду следующее, чем ближе соответствующий коэффициент к единице, тем существеннее данная компонента аддитивно присутствует во временном ряду.
Начальное значение сглаживания s(1) определяется как среднее арифметическое 1-го сезона:
L
y(i)
s(1) |
i 1 |
|
. |
(5.12) |
|
L |
|||
|
|
|
|
Начальное значение компоненты тренда b(1) может быть
выбрано как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b(1) |
1 |
y(L 1) |
y(1) |
|
y(L 2) y(2) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
L |
|
|
L |
||||
|
L |
|
|
|
|
(5.13) |
|||
|
|
|
|
y(L L) |
y(L) |
||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для определения начального значения сглаживающего коэффициента сезонности сначала определяется среднее значение в сезоне:
87
|
L |
|
|
|
|
|
A( j) |
y(i j 1) |
, |
(5.14) |
|||
i 1 |
||||||
L |
||||||
|
|
|
|
|
||
где A( j) – среднее значение каждого сезона |
j |
|
; m – коли- |
|||
1,m |
||||||
чество сезонов.
Начальное значение для каждого сезона определяется как
с(1 j 1) y(1 j 1) A( j) |
|
j 1,m |
. |
(5.15) |
Прогноз в модели тройного экспоненциального сглажива- |
||||
ния определяется как |
|
|
|
|
|
L m) . |
(5.16) |
||
y(k m) s(k) mb(k) c(k |
||||
Следует отметить, что формулы (5.11)–(5.16) относятся к случаю аддитивного включения сезонной компоненты во временной ряд.
ПРИМЕР 5.3. Для заданного временного ряда (табл. 5.4) рассчитать прогнозируемые значения ряда в моменты k 1 21.
Таблица 5.4
Исходные данные
Период |
y |
Период |
y |
Период |
y |
Период |
y |
1 |
60.43 |
6 |
71.28 |
11 |
83.72 |
16 |
107.54 |
2 |
62.21 |
7 |
74.46 |
12 |
97.26 |
17 |
99.25 |
3 |
65.76 |
8 |
87.38 |
13 |
86.16 |
18 |
100.16 |
4 |
75.55 |
9 |
78.83 |
14 |
90.87 |
19 |
103.25 |
5 |
72.23 |
10 |
82.67 |
15 |
91.29 |
20 |
115.89 |
На рис. 5.4 представлен тренд временного ряда (красная линия) и наблюдается сезонность L 4 , количество сезонов m 5. Поэтому для такого ряда (с ярко выраженным трендом) простое экспоненциальное сглаживание не подходит.
Расчет для данного временного ряда будет осуществляться с помощью модели тройного экспоненциального сглаживания с 0.2, 0.3 и 0.4.
88
Рис. 5.4. График временного ряда
Начальное значение s(1) по формуле (5.12) определяется как
|
|
L |
|
|
|
|
s(1) |
|
y(i) |
|
60.43 62.21 65.76 |
75.55 |
65.99. |
i 1 |
4 |
|
||||
L |
|
|||||
|
|
|
|
|
Для расчета компоненты тренда, а точнее, ее сглаживания применяется формула (5.13):
b(1) |
1 |
|
72.23 60.43 |
|
71.78 62.23 |
|
74.46 65.76 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
4 |
4 |
4 |
||||||
|
|
|
|
|
87.38 75.55
2.62.
4
Среднее значение в сезоне определяется по формуле (5.14):
A(1) 60.41 62.21 65.76 75.55 65.99, 4
A(2) 72.23 71.78 74.46 87.38 76.46, 4
A(3) 78.83 82.67 83.72 97.26 85.62, 4
89
A(4) 86.16 90.87 91.29 107.54 93.97, 4
A(5) 99.25 100.16 103.25 115.89 104.64. 4
Начальное значение с(1 j 1) для каждого сезона определяется по формулам:
с(1) y(1) A(1) 60.43 65.99 5.56, с(5) y(5) A(2) 72.73 76.46 4.23, с(9) y(9) A(3) 78.83 85.62 6.79, с(13) y(13) A(4) 86.16 93.97 7.81, с(17) y(17) A(5) 99.25 104.64 5.39.
Расчет модели Хольта – Уинтерса приведен в табл. 5.5 и на рис. 5.5.
Таблица 5.5
Таблица тройного экспоненциального сглаживания с 0.2, 0.3и 0.4
i |
y |
s |
b |
c |
A |
1 |
60.43 |
|
|
|
65.99 |
2 |
62.21 |
65.99 |
2.619 |
–5.56 |
|
3 |
65.76 |
68.44 |
2.568 |
–6.61 |
|
4 |
75.55 |
71.07 |
2.587 |
–7.48 |
|
5 |
72.23 |
75.15 |
3.034 |
–7.65 |
76.46 |
6 |
71.78 |
78.10 |
3.011 |
–4.23 |
|
7 |
74.46 |
80.57 |
2.847 |
–7.52 |
|
8 |
87.38 |
83.12 |
2.759 |
–9.14 |
|
9 |
78.83 |
87.71 |
3.308 |
–9.16 |
85.62 |
10 |
82.67 |
89.42 |
2.830 |
–6.79 |
|
11 |
83.72 |
91.84 |
2.706 |
–9.88 |
|
12 |
97.26 |
94.21 |
2.605 |
–10.24 |
|
13 |
86.16 |
98.74 |
3.181 |
–10.73 |
93.97 |
90