книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

«жарко» и «очень жарко» лингвистической переменной «температура в комнате» показаны на рис. 6.13.

Рис. 6.13. Функции принадлежности лингвистической переменной «температура в комнате»

Установка соответствия между численным значением лингвистической переменной и значением функции принадлежности соответствующего ей терма называется фаззификацией (введение нечеткости). По сути фаззификация определяет степень соответствия количественного значения лингвистической переменной качественной характеристике.

Понятие «нечеткости» лингвистических переменных наглядно иллюстрируется лингвистической переменной «истинность». В классической логике истинность может принимать только два значения: истинно и ложно. В нечеткой логике истинность «размытая». Нечеткая истинность определяется аксиоматически, причем разные авторы делают это по-разному.

Классическое определение нечеткой истинности дал Лотфи Заде, предложив такие функции принадлежности термов «истинно» и «ложно»:

111

где a [0,1] – параметр, определяющий носители нечетких мно-

жеств «истинно» и «ложно».

Для нечеткого множества «истинно» носителем будет интервал (a,1], а для нечеткого множества «ложно» – [0,a) .

Функции принадлежности нечетких термов «истинно» и «ложно» изображены на рис. 6.14. Графики функций принадлежности построены для a 0.4. Как видно, графики функций принадлежности термов «истинно» и «ложно» представляют собой зеркальные отображения.

Рис. 6.14. График функции принадлежности лингвистической переменной «истинность» по Л. Заде

112

По аналогии с булевой логикой вводятся понятия нечеткого высказывания и операций над нечеткими высказываниями.

6.2.2. Нечеткие высказывания

Вначале следует кратко напомнить основные положения булевой логики. Есть два высказывания A и B, каждое из которых может быть истинным или ложным, т.е. принимать значения «1»

или «0». Для этих двух утверждений всего существует 222 16 различных логических операций, из которых содержательно интерпретируются лишь пять:

1)дизъюнкция «ИЛИ» ( );

2)конъюнкция «И» (&) или ( );

3)импликация «если-то» ( );

4)эквивалентность «тогда и только тогда» ( );

5)сумма по модулю два или неоднозначность ( ) .

Таблицы истинности логических операций представлены в табл. 6.2.

Нечеткое высказывание может принимать не два значения истинности, а несколько, например: «истинно», «ложно» и «неопределенно». В этом случае имеет место не двухзначная, а трехзначная логика. Общее количество бинарных опе-

113

раций, а следовательно, и таблиц истинности, в трехзначной

логике равно 332 729.

Нечеткая логика является разновидностью многозначной логики, в которой значения истинности задаются лингвистическими переменными или термами лингвистической переменной «истинность».

Нечетким логическим высказыванием называется повест-

вовательное предложение, выражающее законченную мысль, относительно которой можно судить об ее истинности или ложности только с некоторой степенью уверенности.

Правила выполнения нечетких логических операций получают из булевых логических операций с помощью принципа обобщения.

Пусть нечеткие логические элементарные высказывания обозначены через A и B , а функции принадлежности, задающие истинностные значения этих переменных, – через A (x) иB (x). Тогда можно определить нечеткие операции.

Нечеткой логической конъюнкцией называется нечеткое

114

В многозначной логике логические операции могут быть заданы таблицами истинности. В нечеткой логике количество возможных значений истинности может быть бесконечным, следовательно, в общем виде табличное представление логических операций невозможно. Однако в табличной форме можно представить нечеткие логические операции для ограниченного количества истинностных значений.

Для трехзначной логики с нечеткими значениями истинности «истинно» – Т; «ложно» – F и «неизвестно» – T F Л. Заде предложил лингвистические таблицы истинности (табл. 6.3).

Таблица 6.3

Таблицы истинности трехзначной нечеткой логики

На основе вышеизложенного можно сделать вывод о сложности построения конструкции «нечеткая модель», так как необходимо не только определить входные лингвистические переменные, но и очертить их терм-множества, понять, как формируется выходная лингвистическая (нечеткая) переменная, и рассмотреть переход от нечеткого значения выходной переменной к конкретному значению из области определения реальной выходной переменной. Данный процесс называется системой нечеткого выво-

да [31, 32, 33].

115

6.3.НЕЧЕТКИЙ ЛОГИЧЕСКИЙ ВЫВОД. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

Укрупненно систему нечеткого вывода можно представить в виде «черного ящика» (рис. 6.15).

Рис. 6.15. Схема редактора системы нечеткого вывода FIS

Основные функции редактора FIS: фаззификация входных переменных, формирование правил вывода (определения) нечетких выходных переменных, принятие решения о нечетком значении выходной переменной, преобразование нечеткой выходной переменной в численное значение (дефаззификация) (рис. 6.16).

Рис. 6.16. Система нечеткого логического вывода FIS

116

Фаззификатор – преобразователь фиксированного векто-

ра входных переменных X в вектор нечетких множеств X .

Вданном блоке выполняются следующие действия:

определение входных переменных (факторов) и области их определения. Например, входная переменная x1 – температу-

ра в помещении; область определения x1 {10 , 40 };

определение терм-множества лингвистической переменной x1 («холодно», «жарко», «комфортно»);

определение функций принадлежности для каждого значения переменной из указанного терм-множества (с помощью блока функции принадлежности).

Нечеткая база знаний – база, содержащая информацию

«ЕСЛИ – ТО», определяющих взаимосвязь между входами и выходами исследуемого объекта.

Обобщенный формат нечетких правил такой:

ЕСЛИ условия правила, ТО заключение правила.

Например, правила по управлению температуры в помещении:

ЕСЛИ x1 низкая, ТО y – «включить обогреватель на высокий уровень обогрева».

Для задания многомерных зависимостей «входы-выходы» используют нечеткие логические операции И и ИЛИ. Следует отметить, что многомерность может быть выражена, как в условиях правила (несколько подусловий по разным входным лингвистическим переменным), так и по заключению (несколько подзаключений по разным выходным лингвистическим переменным).

117

Машина нечеткого логического вывода – алгоритм, который на основе правил базы знаний определяет значение выходной пе-

ременной в виде нечеткого множества Y , соответствующего не-

четким входным переменным X . Машина нечеткого логического вывода или решатель выполняет следующие функции: по заданным входным переменным отбираются правила вывода, осуществляется их обобщенность – агрегирование, рассчитывается результат срабатывания правил – активация всех выбранных правил, определение функции принадлежности выходной переменной –

аккумулирование.

В блоке Дефаззификатор осуществляется преобразование

выходного нечеткого множества Y в четкую величину Y.

На практике чаще всего применяют в качестве функций принадлежности термов треугольные или трапециевидные функции принадлежности. Для записи термов используют общепринятую аббревиатуру (табл. 6.4) [32].

Таблица 6.4

Принятые сокращения для значений основных термов лингвистических переменных в системах нечеткого вывода

Основные этапы нечеткого вывода. Говоря о нечеткой ло-

гике, чаще всего имеют в виду системы нечеткого вывода, которые широко используются для управления техническими устрой-

118

ные особенности каждого из этих этапов и приводятся простые примеры их выполнения.

6.3.1. Фаззификация (Fuzzyfication)

Данный этап, с одной стороны, является априорным, так как фаззификация осуществляется до основного режима работы системы нечеткого вывода. На априорном этапе определяются термы входных лингвистических переменных и их функции принадлежности.

В процессе работы блок «Фаззификация» осуществляет формирование подмножества лингвистических терм, подходя-

119

щих для конкретных значений входных переменных. По сути фаззификация – это введение нечеткости.

Целью этапа фаззификации является установление соответствия между конкретным (обычно – численным) значением отдельной входной переменной системы нечеткого вывода и значением функции принадлежности соответствующего ей терма входной лингвистической переменной. После завершения этого этапа для всех входных переменных должны быть определены конкретные значения функций принадлежности по каждому из лингвистических термов, которые используются в подусловиях базы правил системы нечеткого вывода.

Формально процедура фаззификации выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными конкретные значения всех входных переменных системы нечеткого

вывода, т.е. множество значений X x1,x2, ,xn . Эти значения

могут быть получены либо от датчиков, либо некоторым другим – внешнимпо отношениюксистеменечеткоговывода–способом.

Далее для каждого параметра xi формируется множество термов с известной функцией принадлежности. При этом значение xi используется в качестве аргумента, тем самым находится количественное значение (xi ). Этап фаззификации считается законченным, когда будут найдены все значения для каждого из параметров X x1, x2, , xn .

6.3.2. Формирование базы правил

База правил систем нечеткого вывода отражает экспертные знания в предметной области, т.е. на основе эмпирических знаний или знаний экспертов формируется вывод – качественное значение выходной лингвистической переменной. Для полноценной работы системы нечеткого вывода необходимо рассматривать все выводы для всех значений лингвистических входных переменных.

120