книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

/ — время; а — обобщенный коэффициент теплообмена со средой

назовем физико-математической моделью, а в совокупности с теп­ ловой макромоделыо — тепловой физико-математической макро­ моделью конструкции ИМС.

Предложенная макромодель — базовая для решения задач ана­ лиза тепловых полей конструкций и обеспечения теплоэлектриче­ ской совместимости параметров элементов микросхем. Это объяс­ няется тем, что путем декомпозиции тепловой физико-математиче­ ской макромодели можно формализовать широкий класс частных задач анализа и синтеза конструктивных решений ИМС. Так, де­ композиция исходной макромодели обеспечивает формализацию задач анализа стационарного и нестационарного теплового поля с учетом зависимости теплофизических параметров структуры от тем­ пературы для ряда конструкций полупроводниковых, гибридных ИМС и микросборок. При этом процесс теплопроводности в ин­ тегральных структурах можно описать уравнениями Лапласа или Пуассона как частными от исходного уравнения (4.1).

121

4.2.АНАЛИЗ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОВОЙ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ КОНСТРУКЦИИ ИМС АНАЛИТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ

Анализируя физико-математическую модель теплового поля конструкции, используют аналитические и численные мето­ ды решения уравнения теплопроводности. Численные методы ре­ шения основного уравнения теплопроводности делят на две группы: методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации, и ме­ тоды конечных элементов. Применение того или иного метода оп-

Рис. 4.2. Термоэлектрическая модель гибридной интег­ ральной микросборки.

ределяется конкретными целями теплофизического проектирова­ ния и удовлетворением следующих требований, которые предъяв­ ляются к расчету теплоэлектрических полей: а) результат расче­ та не должен быть заведомо ошибочным; б) наличие теоретической возможности получения абсолютно точного решения при бесконеч­ ном числе элементарных операций; в) время машинного расчета должно быть минимальным; г) возможность оценки ожидаемой точности расчета.

Рассмотрим решение задачи расчета стационарного теплового поля гибридной интегральной микросборки путем решения основ­ ного уравнения теплопроводности аналитическим методом. Для построения тепловой модели гибридной микросборки осуществим декомпозицию исходной тепловой макромодели ИМС на основании следующих допущений.

1.Все слои микросборки находятся в идеальном контакте друг

сдругом, т. е. тепловые контактные сопротивления равны нулю.

2.Теплом, которое рассеивается через проводники или выводы, пренебрегают.

3.Поверхность структуры является изотермической и ее тем­ пература равна температуре окружающей среды. На верхней по­

1 2 2

/-1 осуществлена окончательная формализация частной стационарной

тепловой физико-математической модели конструкции гибридной МСБ.

Задача анализа теплового поля конструкции заключается в решении системы уравнений (4.7) при заданных граничных усло­ виях (4.8) — (4.12) методом разделения переменных в декартовых координатах или методом Фурье.

Тогда численное значение температурного поля определяется

для членов ряда п и т, одновременно отличных от нуля. При ну­ левых значениях членов ряда, т. е. л = 0 и т = 0, получим решение

Чтобы получить общее решение распределения температурного поля в любом слое структуры для совокупности граничных условий

124

рого t/^‘> и третьего Uj/1 членов ряда (4.17) сформируем систему алгебраических уравнений в общем виде:

^ • Ь т „ А ; + 0<Л сЬ тяиА; -0|й Ч ,

где п, т = 0 , 1 , 2 , . . . , однако при условии, что одновременно я ^ О и т ф® .

Такой подход позволяет вычислить постоянные коэффициенты

125

Выражения для определения коэффициентов Апт (значения рассеиваемой мощности) для всех членов ряда целесообразно пред­ ставить в форме, удобной для вычислений, т. е.

Р

где xo, yo — координаты центра источника тепла. Таким образом, определение температурного поля в любой координате многослой­ ной структуры сводится к расчету неизвестных постоянных коэф-

ченных^ систем алгебраических уравнений (4.18)— (4-19) с после­ дующей подстановкой вычисленных коэффициентов в основное выражение (4.17). Необходимо отметить, что такой подход к пост­ роению и последующему анализу стационарной тепловой физиког математической модели конструкции гибридной интегральной микро-.

126

сборки лает возможность учитывать распределение теплового по­ тока не только путем теплопроводности через материал структуры, но и тепломассообмен с окружающей средой внутри корпуса посред­ ством конвекции или радиации с верхней поверхности подложки. Машинные эксперименты показали, что точность расчета темпера­ турного поля микросборки в этом случае.выше по сравнению с

Т а б л и ц а 4.2. Результаты анализа температурного поля ИМС

127

ластей, называемых элементами. В общем случае непрерывная величина заранее неизвестна, и нужно определить ее значения в некоторых внутренних точках структуры.

Алгоритм использования метода конечных элементов для ана­ лиза теплового поля в общем случае состоит из следующих ос­ новных этапов.

1.Построение тепловой физико-математической модели конст­ рукции ИМС при соответствующих допущениях.

2.Фиксация в анализируемой структуре микросхемы конечного числа точек, которые называют узлами. Значение температуры в

Рнс. 4.4. Тепловая модель конструкции гибридной ин­ тегральной микросборки.

каждой узловой точке считается переменной величиной, которая должна быть определена.

3. Разбиение области определения температурного поля (струк­ тура ИМС) на конечное число элементов, которые имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

4.Аппроксимация температурного поля (температуры) на каж­ дом элементе полиномом, который определяют с помощью узло­ вых значений температуры. Для каждого элемента находят свой полином. Полиномы подбирают таким образом, чтобы сохранить непрерывность температуры вдоль границ элемента.

5.Определение функционала специального вида, минимизация которого обеспечивает однозначное решение уравнения теплопро­ водности при соответствующих граничных условиях.

6.Формирование локальных и глобальных матриц теплопровод­ ности и нагрузки, которые представлены системой линейных ал­ гебраических уравнений большой размерности.

7.Решение системы линейных алгебраических уравнений с це­ лью вычисления температурного поля на поверхности и в объеме микросхемы.

Стационарную тепловую физико-математическую модель гиб­ ридной МСБ строят путем декомпозиции тепловой макромодели

ИМС при следующих допущениях: теплофизические параметры материалов гибридной интегральной МСБ являются постоянными и изотропными; тепловые источники расположены на поверхности подложки и представлены геометрически в виде объемных пря­ моугольных структур; тепловой поток распределяется посредством теплопроводности через структуру микросборки к корпусу, а так­ же путем тепломассообмена с верхней грани подложки; боковые поверхности структуры являются теплоизолированными; слои структуры находятся в идеальном контакте, т. е. межслойные (кон­ тактные) тепловые сопротивления равны нулю.

Путем декомпозиции базовой тепловой физико-математической

Граничные условия, указывающие на то, что тепловой поток не передается через боковые грани микросборки, запишем в виде

Введем граничные условия, которые характеризуют теплообмен

где а — коэффициент теплообмена со средой между крышкой кор­ пуса и поверхностью подложки, Т0 — температура окружающей среды.

130