книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

До к а з а т е л ь с т в о .

Вокрестности невертикальных равномерных вращений гамильтониан Ж = Ж0 + цЖ± является аналитической функ­ цией. Значит, можно воспользоваться результатами § 1. В ка­ честве интеграла, аналитического по независимым перемен­ ным и малому параметру, можно взять интеграл энергии.

Рассмотрим сначала возмущение периодического реше­ ния (2.1). Нетрудно показать, что линейные уравнения

Так как g = д Ж /dG ф 0 в окрестности периодического реше­ ния (2.1), то, применяя теорему Пуанкаре (§ 1), Надо образо­ вать матрицу Y = Х {Т ) - Е и, вычеркивая последний столбец

84 Г л а ва If

Действительно, вычеркивая из Z последний столбец и вторую строку, получим матрицу, определитель которой равен

- ( G Q/A)2(COSU)T - 1).

Как было показано выше, эта величина никогда в нуль не об­ ращается.

Для равномерных вращений вокруг большей оси инерции теорема доказывается точно так же.

Осталось рассмотреть возмущения постоянных вращений вокруг средней оси инерции (2.2). Уравнения в вариациях для

Решения этих линейных уравнений с начальными условия­ ми Lh0, Gi,o, Zi,0) gi,o суть

следний столбец и вторую строку, получим матрицу с опре­ делителем

47Г ch 2irBSl

Go Go

Определитель равен нулю только в том случае, если

(А — В )(В — С) = 0.

Но этого не может быть из-за условия А > В > С. Следовательно, при малых р, существуют периодические

решения возмущенной системы, аналитически зависящие от этого параметра, которые при р = 0 совпадают с равномер­ ными вращениями вокруг средней оси эллипсоида инерции. Существование периодических решений при фиксированной постоянной интеграла энергии доказывается так же, как для рассмотренных выше случаев. ■

Случай динамической симметрии

Теорема 2. Если А = В ф С , то два периодических ре­ шения невозмущенной приведенной задачи — невертикальные постоянные вращения вокруг оси симметрии в противополож­ ных направлениях — не исчезают при добавлении возмущения, а переходят при малых р в периодические решения возмущен­ ной задачи, аналитически зависящие от параметра р. Они существуют на любом ненулевом уровне интеграла энергии.

Доказательство этого утверждения аналогично доказа­ тельству теоремы 1.

Замечание 1. Случай А = В = С не рассматривается, ибо он

относится к числу интегрируемых.

Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд част­ ных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра р представляют собой частные случаи

периодических решений, существование которых доказывается те­ оремами 1 и 2.

Нетрудно вычислить характеристические показатели по­ стоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инер­ ции. Например, мультипликаторы (собственные числа матри­ цы монодромии) постоянного вращения вокруг меньшей оси

Пусть для I = 1° £ D частоты од и ох2 невозмущенной задачи соизмеримы. Тогда функция Ж\(1°, oj\t, ui2t + X) пери­ одична по времени с некоторым периодом Т. Положим

т

Инвариантный тор 1 = 1° невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивает­ ся, если р ф 0, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от па­ раметра р и при /х = 0, совпадающие с некоторыми периоди­ ческими решениями невозмущенной системы?

Теорема (А. Пуанкаре). Предположим, что выполне-

Тогда при малых р ф 0 существует периодическое решение возмущенной системы, период которого равен Т; оно аналити­ чески зависит от параметра р и при р = 0 совпадает с пери­ одическим решением невозмущенной системы

I —7°, (fix — t, (f2 — Ш21+ А.

Два характеристических показателя этого решения всегда

(3.1)

Все детали доказательства (которое мы ниже кратко вос­ производим) можно найти в книге [1, пп. 42, 79]; там же рас­ смотрен случай систем со многими степенями свободы.

88 Глава ^

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть в начальный момент времени / = /° , уц = <рЧ, р2 = = р 2. Так как wi(Jo) ф 0, то можно положить р\ = 0. Через время Т значения переменных действие-угол станут равными

Величины /, ip аналитически зависят от 1°, р° и параметра р. Условия периодичности записываются в виде: Ii = 12 = pi = = р2 = 0. Эти уравнения не все независимы; они связаны следующим соотношением:

Ж (1°, р°, р) = Ж{1° + Т,р° + р, р).

Поэтому отбросим условие Ii = 0. Из уравнений движения легко вывести, что / 2 = pJ, где J — аналитическая функция начальных данных и параметра р.

Если уравнения периодичности ip1 = ip2 = J = 0 удовле­ творяются при / = 1° и р2 = Л, р = 0 и при р = 0 функцио­ нальный определитель

отличен от нуля, то по теореме о неявных функциях существу­ ют аналитические решения I°(p), рЦр) уравнений периодич­ ности и, следовательно, решения возмущенных канонических уравнений с этими начальными данными периодичны с пери­ одом Т.

Подсчитаем значения функций pi, р2 при р = 0. Так как

P i = дЖ()/ d l i = и){ = const,

то pi = Twj —27гт,- (г = 1, 2). Для вычисления функции J воспользуемся уравнением

Полагаем /х = О, I = /° , ц>\ = uiit, <р2 = W21 + А. В результате получим, что

тт

J = / ^ dt = ^ J Ж[(1°, Ш11, co2t+X)dt = Т -^ Ж гЦ 0, А),

оо

Уравнениям <pi = ф2 = 0 удовлетворяет, очевидно, значе­ ние I = 1°. Предположим, что А = А удовлетворяет уравне­ нию J = 0. Якобиан

Фи J) d (h , h , А)

В силу предположений теоремы Пуанкаре этот якобиан от­ личен от нуля. Итак, существование периодических решений доказано. Обозначим их через I = 1° + I(t, 1°, р>°, /х), р = = р>° + u;t + p(t, 1°, р°, /х). Функции I(t) и p(t) периодические с периодом Т. Матрица монодромии этого решения есть

Пусть Y = X —E. Тогда собственными числами матри­ цы Y будут величины еаТ —1, где а — характеристические показатели. Обозначим через G(a, /х) определитель |Y —S E \, где S = еаТ —1. Очевидно, что G аналитична по а и /х. Поло­ жим а = £yf\i. Разделим первые две строки и последние два