книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Коэффициенты X , Y и Z удовлетворяют следующей системе уравнений:

(с - asin2I - Ъcos2 - G0(asin21 + Ьcos2l)Y =

= V1 _S sin/’

Для того, чтобы производная dZ/dl не имела особенности при I = 0, следует положить s = -H/G^b. Два первых урав­ нения этой системы удобно записать в форме

Введем комплекснозначные функции ф = X + iY и ip = ipi + + iip2. Уравнения (5.3) предстанут в следующем виде:

Рассмотрим замкнутый прямоугольный контур Г (рис. 12). Очевидно, что

Г

откуда

j= ______ ZE______ .

е7г/3/2 _|_ е —тг/3/2 '

Следовательно, I ф 0. Полученное противоречие доказывает

то сепаратрисы расщепляются при почти всех положениях центра масс.

§6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса-Аппелърота 105

§ 6. Возмущение сепаратрис в случае Гесса—Аппельрота

Расщепление сепаратрис — типичная картина в фазовом пространстве возмущенной задачи. Однако в задаче о вра­ щении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой сепа­ ратрисы расщепляются не всегда. Рассмотрим случай Гес­ са Аппельрота, выделяемый условием [36]:

у = 0, х\/с — Ь + zVb — а = 0.

Здесь (х , у, z) — координаты центра тяжести в главных осях эллипсоида инерции. Уравнения движения имеют част­ ный интеграл (типа Ф = 0, когда Ф = 0), который в перемен­ ных L, G, I, g можно записать так:

Частный интеграл (6.1) существует при всех значениях па­ раметра /х и аналитичен по /х, поскольку от /х он вообще не зависит.

Если /х = 0, уровни интеграла энергии и частного интег­ рала (6.1) высекают в фазовом пространстве асимптотичес­ кую поверхность к периодическим решениям — постоянным вращениям вокруг средней оси инерции. Покажем, что эта ин­ вариантная поверхность не распадается при малых значени­ ях параметра /х. Будем рассматривать только невертикальные постоянные вращения, так как в противном случае периоди­ ческие решения вырождаются в положения равновесия и за­ дача о сепаратрисах теряет смысл.

При /х = 0 инвариантная поверхность является двумер­ ным тором Т 2 и фазовое векторное поле на нем имеет два замкнутых цикла 71 и 72, которые, конечно, совпадают с по­ стоянными вращениями вокруг средней оси инерции Г1 и Г2. Циклы 71 и 72 невырождены, что следует из невырожденнос­ ти периодических решений Г1 и Г2. При малых /х инвариант­ ный тор Т 2 не исчезнет, а лишь немного изменит свое по­ ложение в фазовом пространстве. Так как векторное поле на

нем тоже мало изменится, замкнутые циклы 71 и 72 не исчез­ нут и будут периодическими решениями возмущенной зада­ чи. По теореме о неявных функциях возмущения замкнутых циклов 7х и 72 совпадут с возмущениями периодических реше­ ний Гх и Г2. Следовательно, инвариантная асимптотическая поверхность, высекаемая в фазовом пространстве интегралом энергии Жо+рЖг и частным интегралом (6.1), при малых зна­ чениях параметра ц является замкнутой сепаратрисой возму­ щенных постоянных вращений вокруг средней оси инерции. Утверждение доказано.

Исторический очерк

Как уже отмечалось, исследование движения твердого те­ ла при малых значениях параметра р математически экви­ валентно изучению быстрых вращений (то есть случаю, ког­ да .У °И). Мы коснемся здесь лишь вопросов, связанных с применением метода малого параметра А. Пуанкаре.

Отысканию периодических решений уравнений движения быстро вращающегося тела с помощью метода малого пара­ метра посвящены работы Ю. А. Архангельского и его учени­ ков (см. обзорную статью [37]). В этих работах в уравне­ ния Эйлера Пуассона вводится малый параметр е = C/OJQ, где с — постоянная, зависящая от начального положения тела, а ц — начальная угловая скорость вращения вокруг большей или меньшей осей инерции. Уравнения движения при этом приобретают вид системы двух квазилинейных уравне­ ний второго порядка, аналитически зависящих от парамет­ ра е. Если е = 0 (то есть шо = оо), то решения этой систе­ мы не имеют механического смысла, а при малых е ф 0 они представляют быстрое вращение твердого тела.

Для отыскания периодических решений, на наш взгляд, бо­ лее естественно использовать уравнения движения в гамиль­ тоновой форме. Для канонических систем дифференциальных уравнений метод малого параметра Пуанкаре хорошо разра­ ботан и дает более сильные результаты. Эта идея впервые реализована в работе [34] для случая вращения динамически симметричного тела в ньютоновском поле сил и независимо автором [38] в задаче о движении несимметричного тяжелого твердого тела.

Г л а в а V

Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела

Исследования Ковалевской, Ляпунова и других авторов в динамике твердого тела показали, что общее решение урав­ нений движения представляется однозначными функциями времени только в классических случаях Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, как раз тогда, когда существует дополнитель­ ный однозначный интеграл. Долгое время оставалось неяс­ ным, является ли это обстоятельство случайным совпадени­ ем, или же в его основе лежат какие-либо глубокие причины. В этой главе методом малого параметра Пуанкаре доказано, чго именно существование бесконечного числа неоднозначных решений препятствует появлению нового однозначного анали­ тического интеграла в общем случае.

§ 1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов

Рассмотрим каноническую систему дифференциальных уравнений с гамильтонианом

Функция Ж(г, <р, /х) предполагается действительной аналити­ ческой функцией в прямом произведении D x T 2{tp mod 2л-} х х (-е , е) (D — область в R 2{/i, / 2}).

Предположим, что при фиксированных / £ D, /х Е (—г, г) гамильтониан (1.1) продолжается до однозначной аналитичес­ кой функции по переменным <pi, <р2 в прямом произведении

108 Глава 5

комплексных плоскостей С х С. При этом не исключается наличие особых точек у функции (1.1) при комплексных зна­ чениях pi, р 2-

Введем некоторые обозначения. Пусть V — компактная

1 = 1°, р = р° + u t (ш{1) =

являются однозначными функциями комплексного перемен­ ного t £ С. Однако решения возмущенных уравнений, ког­ да р ф 0, в общем случае уже неоднозначны.

Рассмотрим на комплексной плоскости времени t £ С замкнутый непрерывный контур Г и его образ 7 при отобра­ жении £ —» С х С (2 £ Г) согласно формуле

p(t) = р ° + u>(I°)t (1° e D ,p ° е Т 2).

Предположим, что функция Гамильтона Ж {1, р, р) аналитична в прямом произведении F x f ! x ( — е, е), где V — некоторая компактная окрестность точки 1° £ D, 12 — связная область в С х С, П(в) с Я С П(5) (0 < s < S), содержащая непрерыв­ ную кривую 7 . Если р £ 12, то

Ж {1, р + 2ж, р) = Ж (I, р, р).

Действительно, это равенство справедливо для действитель­ ных значений р. В общем случае, когда р £ 12, оно вытекает из связности 12 и единственности аналитического продолже­ ния. Заметим, что когда р £12, р £ ( —е, е), функция Ж {1, р, р) аналитична по переменным Д, I2 в области Д(У, v), если v до­ статочно мало.

Нам потребуется теорема А. Пуанкаре из аналитической теории дифференциальных уравнений, касающаяся разложе­ ния решений в ряд по степеням малого параметра. Рассмот-

§1. Теорема о несуществовании однозначных интегралов 109

рим аналитическую систему дифференциальных уравнений

Теорема Пуанкаре. Предположим, что выполнены следующие условия:

1)система (1.2) при р = 0 имеет решение z(t), анали­ тическое вдоль некоторого непрерывного пути L, идущего от точки t0 до точки t\.

2)функции fk(z, р) (к = 1, ... , п) аполитичны в прямом произведении Е х (—е, е), где Е — некоторая окрестность множества {z £ С ” : z = z0(t), t £ L} в пространстве С п.

Тогда существует аналитическое решение системы (1.2)

сходится при всех t £ L, если р достаточно мало.

Доказательство этого утверждения можно найти в [1, гл. II; 3].

Если / = fo{z) + pf\(z) + . .., то функция z\(t) удовлетво­

*0

причем этот интеграл вычисляется вдоль пути L.

Согласно теореме Пуанкаре решения возмущенных ка­ нонических уравнений с гамильтонианом (1.1) можно разло­ жить в степенные ряды по р\

I = I ° + p I ^ f ,I 0, (p°) + . . . ,

(1.5)

<р = <р° + u (I°)t + р(рг(к, 1°, <р°) + ...

110 Г л а ва 5

Если t £ Г, то эти ряды сходятся при малых значениях пара­ метра /х.

Будем говорить, что аналитическая вектор-функция /(£), t£T , неоднозначна вдоль Г, если она испытывает скачок £ ф 0 после обхода контура Г.

Если, например, функция Z1 (£; 1°,<р°) неоднозначна вдоль Г, то при малых значениях параметра /х возмущенное реше­ ние (1.5) тоже неоднозначно вдоль контура Г.

Зафиксируем начальные данные 1°, р° и будем непре­ рывно деформировать контур F так, что при этом контур j не пересечет ни одной особой точки функции Гамильтона Ж(1, р, /х). Используя теорему Коши, можно показать, что функция Z1 (f; 1°, р°) при обходе деформированного контура будет снова изменяться на ту же величину £ = (£i, £2 ) ф 0.

Так как решения (1.5) непрерывны по начальным дан­ ным, то неоднозначность функции / 1(^; 1°, р°), вдоль конту­ ра Г будет иметь место при всех 1 = 1° из некоторой малой области U С D. При этом скачок £ = £ (/°) ф 0, если 1° £ U.

Будем говорить, что система канонических уравне­ ний с гамильтонианом (1.1) имеет однозначный интеграл &(1,<р,р), если эта функция

1)есть первый интеграл,

2)является действительной аналитической функцией

вобласти D х Т 2 х (—е, е),

3)при фиксированных значениях I, /х однозначна по пе­ ременным <р\,<рг в прямом произведении С х С.

Очевидно, что одним из однозначных интегралов явля­ ется функция Ж . Подчеркнем, что не исключается наличие особых точек функции & при комплексных значениях пере­ менных (fii, (р2•

Теорема 1. Предположим, что невозмущенная система невырождена, т.е. гессиан д 2Жо/д12 фО в области D и при некоторых /° £ D , <р° £ Т 2 функция /*(<; I °, <р°) неоднозначна вдоль контура Г. Тогда каноническая система дифференциаль­ ных уравнений с гамильтонианом (1.1) не имеет однозначного интеграла &(1, <р, р), независимого от функции (1.1) и ана­ литического в прямом произведении W х О х (—е, е), где W — некоторая окрестность точки 1 = 1 ° .