книги / Физика и гидравлика нефтяного пласта

где фо— приближенное значение разности потенциалов на по­ верхности фиктивной скважины радиуса R c и в бесконечности

где га и гв — координаты точек А и В.

91

Пусть точки А и В настолько далеки от середины линии сто­ ков (z = 0, г = 0 ), что можно считать гд > /г и гв>/г.

Тогда из (III.142) имеем

Но формулы вида Q/{4nrh) (III.144) и (III.145)— это выра­ жения для точечного стока (источника).

Следовательно, на достаточно большом расстоянии от линии стоков (источников) распределение потенциала сходно с рас­ пределением потенциала, возникающего от точечного стока (ис­ точника) .

Приведенное выше можно рассматривать как случай филь­ трации жидкости к скважине (или от нее), вскрывшей пласт очень большой толщины (теоретически бесконечно большой) на некоторую величину Л. При этом плоскость z = 0 (плоскость симметрии потока) служит кровлей пласта. Дебит этой сква­ жины, очевидно, равен половине дебита Qo линейного стока (ис­ точника) длины 2 А.

Значительно более сложна задача о фильтрации жидкости к скважине, не полностью вскрывшей пласт конечной толщины h. Не останавливаясь на существующих решениях, изложим лишь в самых общих чертах одну из наиболее простых схем, принад­ лежащую Маскету [48].

Пусть между двумя непроницаемыми параллельными плоско­ стями (кровлей и подошвой пласта) расположен в произвольной точке сток (источник). Если бы сток (источник) находился в бесконечном пространстве, то потенциал скорости имел бы вид <р — <7(4яг).

Для одной непроницаемой границы (например, кровли) до­ статочно было бы одного отображения этой скважины относи­ тельно кровли, т. е. такого же стока (источника) на расстоянии £ от последней (рис. III.13, а). При этом потенциал в любой точке полупространства получился бы путем суперпозиции обоих потоков (реального и фиктивного — «зеркального»).

Если имеется вторая непроницаемая граница (подошва пла­ ста), то необходимо бесконечное множество отображений стоков (источников) как в кровле, так и в подошве. При этом, оче­ видно, интенсивность потока и его знаки при отображениях дол­

92

жны быть такими же, как и у действительного стока (источ­ ника) (см. рис. III.13, б).

Только при такой системе отображений выполняется условие непроницаемости кровли и подошвы пласта. Таким образом, мы получим потенциал, возбужденный лишь одним точечным сто­ ком (источником) q между двумя непроницаемыми плоско­ стями. Реальную же скважину следует аппроксимировать неко­ торой воображаемой линией, каждый элемент которой погло-

Рис. III.13. Схема бесконечного числа отображений для определения дебита скважины, не полностью вскрывшей пласт

щает (сток) или отдает (источник) поток интенсивностью qdt,. Этот элемент необходимо отобразить бесчисленное множество раз в кровле и подошве (не меняя интенсивности потока и его знака при отображении). Схема отображений здесь такая же, как и в случае лишь одного точечного стока (источника), од­ нако вместо конечного дебита q следует записать бесконечно малый дебит qdt, (см. рис. III.13, б, в).

В результате этой операции определим потенциалы реаль­ ного и бесчисленного множества отображенных линейных сто­ ков (источников).

Суперпозиция этих решений дает потенциал, обусловленный действием линейного стока (источника) между непроницаемыми кровлей и подошвой.

93

Задача, очевидно, не может считаться оконченной, если не задаться видом распределения интенсивности потока q{Z). Ведь ясно, что один и тот же дебит можно получить при любом рас­ пределении q(t,) по линии стоков, если соблюдается условие

ь

Q = \q(Qdt,

о

где Ь— вскрытая толщина пласта.

Однако не при всяком распределении интенсивности потока q(t,) выполняется необходимое условие постоянства потенциала на поверхности питания и в скважине.

Соответствующим подбором q{t,) Маскет получил следующую

где Фк и Фс — потенциалы цилиндрических поверхностей пита­ ния и скважины соответственно; RK и Яс — радиусы поверхности питания и скважины б = 6/А; Г — гамма-функция.

Функция

Второй член в знаменателе называется фильтрационным со­ противлением, которое обусловлено несовершенством скважины по степени вскрытия:

94

ГЛАВА IV

ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ СЛАБОСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛАСТЕ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ УПРУГОМ РЕЖИМЕ ФИЛЬТРАЦИИ

Реальные пласты и насыщающие их жидкости (нефть, вода), обладают упругостью, учет которой во многих случаях необхо­ дим при гидродинамических расчетах и оценках неустановившихся процессов.

В уравнение .упругого режима должны входить параметры, характеризующие упругие свойства пластовой системы, состоя­ щей в общем случае из скелета пласта, нефти, воды и свобод­ ного газа. К рассмотрению этих параметров мы и перейдем.

Упругие свойства воды и нефти

Коэффициент сжимаемости жидкости рж можно определить из следующего соотношения:

Согласно [8], при 20 °С и атмосферном давлении для чистой негазированной воды имеем рв = 4,69* 10-10 Па-1.

Этот коэффициент, как утверждается в [8], практически не зависит от температуры, давления и характера процесса (адиа­ батического или изотермического).

Однако это утверждение нельзя считать точным. Исследова­ ния в литературе [81] показывают явную зависимость р„ как от температуры, так и от давления. При очень высоких давле­ ниях ( р « 44 МПа и температурах от 20 до 100 °С) р„ составляет (3,9 — 4,6) •10-10 Па-1, т. е. величины его довольно близки к зна­

— 5,10) •10-10 Па-1 в том же интервале температур. Если рв мо­ нотонным образом изменяется с изменением давления, то влия­ ние температуры на этот показатель не является монотонным и в «окрестности» температуры 50— 60 °С имеет явно выражен­ ные минимумы 3,9- 10~10 Па-1 (р = 44 МПа) и 5,0- 10-10 Па-1 (р = 7 МПа).

96

Экстраполяция этих данных до р ~ 0,1 МПа дает основание считать, что при нормальных атмосферных условиях рв может находиться в пределах (4,8 — 5,1) •10-10 Па-1, т. е. несколько выше цифры из источника [8].

Важно отметить, что при температурах порядка 130— 150°С рв « 6 •10_4 МПа- 1 (рис. IV.1).

До сих пор шла речь о коэффициенте рв Для чистой (немине­ рализованной) негазированной воды. Проводился ряд опытов по определению влияния степени минерализации и содержания растворенного газа на коэффициент сжимаемости воды и выве­

тель всего лишь на 2 —4% .

О распространенности такой концентрации свидетельствуют

в 30 % случаях это содержание превосходит то минимальное зна­ чение его, которое было принято В. Н. Щелкачевым в расчетах (70 мг/л). Рассмотренные в [81] случаи достаточно характерны и дают основание считаться с фактором минерализации при оп­ ределении упругих свойств пластовых вод.

Рассмотрим теперь влияние растворенного газа на коэффи­ циент сжимаемости воды. Для расчета этого показателя при содержании растворенного газа в воде предлагается формула

где рвг— коэффициент сжимаемости воды, содержащей раство­ ренный газ; Г — количество растворенного газа в м3/м3. По одним

данным [81] аж0,05, по другим — значительно меньше. Но в этом или другом случае расчеты показывают, что раство­ ренный газ увеличивает сжимаемость воды на очень небольшую величину (необходимо учесть, что величина Г по порядку соот­ ветствует единице и в редких случаях превышает 2—3. В этом заключается причина незначительной разницы между рвг и рв). Изменение объема воды при растворений в ней газа (метана, азота, углекислого газа) настолько незначительно, что его в рас­ четах можно не учитывать [81].

В работе Ш. Г. Гиматудинова Д10] показано, что с раствори­ мостью углеводородных газов, несмотря на ее небольшую вели­ чину, необходимо считаться в случаях газовых залежей с под­ стилающей водой при значительности их площади контакта и больших давлениях в пласте.

Коэффициент сжимаемости рн нефти зависит от состава пла­ стовой нефти, количества растворенного газа, абсолютного дав­ ления и температуры. Чем больше растворенного в нефти газа, тем больше коэффициент сжимаемости. Для дегазированной нефти рн колеблется от 4 •10-4 до 7 •10-4 МПа-1, что в общем соответствует коэффициенту сжимаемости для воды. При рас­ творении в нефтях (особенно легких) больших количеств газа происходит увеличение коэффициента сжимаемости нефти до 140 •10-4 МПа-1, что уже на порядок выше значения рн дегази­ рованной нефти.

подчеркнув тем самым, что коэффициент сжимаемости смеси (нефть и вода) — это функция давления и температуры. Коли­ чество минерального вещества и растворенного газа мы в эту функциональную зависимость не включаем, так как и количе­ ство растворенных минеральных веществ и газа зависит от дав­ ления. Что же касается температуры, то мы с самого начала оговоримся, что процесс в пласте является изотермическим. Как справедливо отмечает В. Н. Щелкачев [81], в большинстве за­ дач, связанных с исследованием разработки нефтяных пластов в условиях упругого режима, такое предположение вполне спра­ ведливо.

Примем, что при давлении р = р0 Кж = Кн<о. Тогда, инте­ грируя (IV.4), получим

98

Будем считать, что в процессе разработки горное давление ст остается постоянным и изменение рск происходит за счет из­ менения пластового давления.

Для определения упругого модуля пористой среды предла­ гались различные модели. При этом исходили из приведенных выше предпосылок.

Остановимся на модели В. Н. Щелкачева [81], которая пред­ ставляет собой идеализированную породу, состоящую из оди­ наковых упругих шаров диаметра D в кубической упаковке, за­ жатой двумя горизонтальными плоскостями.

Пусть к горизонтальной плоскости сверху приложено равно­ мерно распределенное давление (горное давление). Усилие, при­

ления, переменная величина, зависящая от результирующего усилия).

Однако в области упругих деформаций d<^D, поэтому мо­ жно считать, что давление действует на всю площадку D2 и ре­ зультирующее сжимающее усилие будет приближенно равно

Согласно разработанной Г. Гертцем теории сжатия двух со­ прикасающихся упругих шаров, сближение а двух соседних ша­ ров определяется из следующего уравнения:

где D — диаметр шара; F0— усилие; Е — модуль упругости ма­ териала шаров; v — коэффициент Пуассона для материала шаров.

100