книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfб) краевые условия совершенного контакта на
межфазных поверхностях |
|
|
|
|
С ('* ) = г е ) , |
и;(г*) = 1Г(г*) |
(1.1) |
||
К Ю |
= Т~(гк), |
и:(гк) = и{гк) |
(1.2) |
|
где гк е 8к а |
Т„ и Ц |
компоненты |
напряжений и |
|
смещений на площадках с нормалью п , |
знаки “плюс” |
|||
(минус) отмечают функции, расположенные слева (справа) от межфазной поверхности
в) уравнения теории упругости при сложном
напряженном состоянии компонентов |
|
(1- 2у)У2ы+ §гас! <Цуй= О |
|
(1- 2иа)У2йа +%гас1сИхйа =0 |
(1.3) |
(1 - 2уе )У2йе + §гас/ сЦуйе = 0 |
|
Здесь и в дальнейшем, индексом а и с отмечены величины, относящиеся к волокнам и к сферическим
включениям, |
без индекса |
к матрице или |
ко всем |
|
компонентам |
одновременно; |
й |
вектор |
упругих |
смещений; V - оператор Лапласа. |
Указанные |
векторы |
||
смещений определяются в областях, занимаемых компонентами. Если компоненты среды находятся в плоском деформированном состоянии, то напряжения и смещения устанавливаются с помощью функций комплексного переменного Колосова.
Предполагается, что общий случай армированного волокнами элемента можно разбить на совершенно независимые частные случаи: продольный сдвиг, продольное растяжение-сжатие и поперечные состояния, включающие поперечный сдвиг и растяжение - сжатие на
взаимноперпендикулярных площадках, т.е.( рис.2): |
|
ЕсГу = <012, 0]3> + <<Уц> +<022' °23. <УзЗ> |
(1.4) |
Соответственно каждому состоянию (1.4) строится решение краевой задачи и определяются эффективные постоянные.
Рис.2
Требуется определить:
а) усредненные деформации композита ёл
выразить их через усредненные напряжения &а .
б) путем сопоставления компонентов получить выражения для технических постоянных
4 = 0 1 ^ * |
О-5) |
Явный вид матрицы для общего случая напряженного состояния приведен также в (10.6). Дополнительные условия и соотношения, например, в случае повышенной температуры, при учете неупругих свойств матрицы или при наличии отслоений волокон от матрицы, будут установлены при детальном решении задачи.
§ 2. Модели сфероволокнистых сред. Функции распределения геометрических параметров
1. Простейшая модель дисперсной частицы в виде сферического включения имеет только один параметр - диаметр, и использование его приводит к искажению значений важнейших характеристик несферических реальных частиц, так как или их объем, или площадь поверхности могут существенно отличаться от сферы. Поэтому в дальнейшем величину диаметра сферы выбираем исходя из равенства объемов модели и натуры, полагая, что частицы имеют форму, близкую к сферической. Размеры диаметра включений и волокон на самом деле могут изменяться в достаточно широких пределах. Поэтому для количественного описания разброса геометрических параметров целесообразно ввести функции распределения. Распределение
диаметров сферических частиц характеризуется несимметричными функциями распределения, хотя в литературе часто используются симметричные функции Гаусса и др. В настоящей работе для обработки экспериментальных наблюдений диаметров частиц под микроскопом было выбрано четырехпараметрическое несимметричное распределение Г.А.Ванина [14]:
(а)т а(а+1)...(а+т-1); Г(г) гамма-функция [36], О < х < «о, здесь и везде в дальнейшем угловая скобка над буквой означает среднее значение этой величины. При 5=1 среднее значение диаметра х зависит от ряда параметров функции распределения а, Ь, а, а Доминирующее значение параметра Ь проявляется при малых х и а. С ростом а функция распределения имеет явно выраженный максимум при <г -> 0 около точки
аахь
Р(*)~
л/^(асгл/2|
Из (2.1) можно получить в предельных случаях некоторые из известных функций распределения.
Обработка данных 1500 замеров под микроскопом» распределение диаметров полых микросфер в сферопластиках Д проведено с помощью трехпараметрического распределения [14], которое является частным случаем распределения (2.1) при а = 1, Ъ = /, х = Д = 31.6 мкм, <т= 12.1 мкм, а = 1.485:
На рис.З приведена гистограмма и кривая распределения для этих параметров. Интервал распределения реальных диаметров составляет Д = (20 + 200) мкм. Распределение относительных толщин микросфер х = 2И/Г> задается бета-функцию:
/?(х;Д<5) = |
'а-*)' |
(2.3) |
0<х<1; |
В03 + 1,* + 1) |
|
^ > 0 , <5 = 1,2,... |
|
В(/? +1,<?+ !) = -Г(<?+ 1)Г(/?+1)
Г(б +0 +2)
Распределение относительных диаметров полостей
р ( у , М = |
у * (\~ у У |
(2.4) |
|
В(/? +1,* + 1) |
|||
|
Предполагается, что распределение микросфер в насыпном состоянии и по сечениям в сферопластике эквивалентно их распределению в выделенном объеме У0 [19].
Рис.З Согласно опытным данным наиболее
распространенные толщины стенок микросфер лежат в интервале 2к/Ре 0.015 0.1. Типовая кривая распределения (2.4) при найденных значениях параметров представлена на рис.4. Отметим, что
распределение (2.1) в предельных случаях согласуется со многими стандартными функциями распределения, что позволяет получить оценку этих параметров. Отметим частное распределение, вытекающее из (2.1) и являющееся обобщением функций Вейбулла и Эрланга
Р(х,п,а ,а ) - . ± Щ |
(2.5) |
|
х5 = |
• Г ^ + л + 1 ^ |
(п = 0,1,...) |
р(*,п,а ,« ) = ]р (*)<Ь - |
(2.«) |
|
Рис.4
Распределения Вейбулла следуют из (2.6) при п - а = /, а распределения Эрланга - при а = 1 [18].
Для полноты приводим данные по распределению диаметров пор в углерод-углеродном композите [86]. Методы ртутной и гелиевой порометрии позволили установить интервал диаметров наиболее распространенных пор 0.08 мкм <с1 < 17 мкм. Общий объем пор составил 10.7%, причем 6.7% составляют поры диаметром <1 = 0.1 + 10 мкм. Поэтому кривая распределения имеет явно выраженный пик при </< 0.08 мкм.
Приведенные данные содержат наиболее распространенные значения параметров несимметричных функций распределения диаметров частиц, имеющих место в реальных композиционных материалах. Гистограмма распределения пор представлена на рис.5.
Типовое распределение диаметров стекловолокон, построенное по данным 1650 замеров,
приведено |
на рис.6, |
где точки данные опытов [35], |
штриховая |
кривая |
нормальное распределение, а |
сплошная кривая - распределение (2.1) при а = 1, Ь = 1, а=5.25, <т= 0.8мкм, х = 4.35 мкм.
Рис.6
Как легко видеть, в этом случае кривая распределения близка к симметричной функции Гаусса, а разброс диаметров волокон обусловлен износом фильер
ивсегда может быть проконтролирован.
2.Разрабатываемый метод приближенного определения состояния сфероволокнистых сред постулирует регулярную ячеистую структуру материала. Поэтому достаточно в пределах одной ячейки задать углы ориентации осей непрерывных выпрямленных
волокон, а также определить в ней координаты центров сфер. Форма ячейки оказывает влияние на симметрию среды. Как известно [12, 90], наивысшей симметрией обладает гексагональная структура, поэтому в дальнейшем будем предполагать, что выделяемый объем У0 имеет форму, близкую к гексагональной или кубической ячейке.
При этом сферические частицы одинаковых размеров в кубической структуре при плотной их упаковке обеспечивают объемное содержание Стах = 0.52. Если в кубической структуре поместить еще одну сферу в центре куба, так что плотная упаковка достигается при касании сфер по диагонали куба, то Стах “ 0.68 [12]. Такая структура носит название объемноцентрированной кубической. В гексагональной плотной структуре ячейки, когда каждая сфера имеет шесть ближайших соседей в основной плоскости ячейки, а другие шесть соседей расположены по три выше и ниже основной плоскости, предельное объемное содержание достигает Стах 0.74. Естественно, что в сфероволокнистых структурах предельное объемное содержание будет также зависеть от относительных размеров диаметров сфер и волокон. Поэтому предельное суммарное объемное содержание волокон и сфер должно определяться с учетом этих показателей. Увеличение количества арматуры в композиционных материалов ведет к повышению их жесткости. Однако, расчетами установлено, что для волокнистых композитов, увеличение объема содержания волокон более 0.7 ведет к понижению жесткости материала из за непроклеев и высоких концентраций напряжений, поэтому для выявления структурных преимуществ и недостатков