книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfудобнее производить над комплексными напряжениями. Усреднение рассеянных волокнами напряжений в матрице проводим в локальных системах координат, связанных с у-м волокном. Общее усредненное напряженное состояние представительного объема среды в основной системе координат представим в виде суммы проекции напряжений от каждого волокна &“к, однородных напряжений в матрице и усредненных в локальных системах координат напряжений, рассеянных всеми волокнами
‘<7, |
|
А |
|
А ' |
Г 'VI |
А |
|
<7“ |
|
А |
А* |
А |
=1 |
А |
+ |
А |
|
<Т12 |
Аа |
А* |
ðР|
||
Аз |
|
Аэ |
|
Аз |
г'Ч |
Аз. |
|
Аз. ) |
|
А . |
1*х\ |
где [Ао] и [А]] известны из формул (3.12), (3.14). Здесь и везде в дальнейшем, чтобы избежать громоздкой записи формул, индексом у отмечаются величины, относящиеся к у-му волокну; $ уменьшение объема матрицы вследствие у-го волокна. Путем обратных преобразований выразим напряжения, входящие в последний член (9.17), в основной системе координат
О", |
|
|
|
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
1 °\г |
|
|
|
|
|
*Г, |
|
|
|
|
|
ст23 |
'С |
|
' |
(9.18) |
|
|
|
||||
|
я |
|
|
Г*Г1 |
|
|
|
|
<г°2 |
|
|
И+ХкМ, |
р |
[в,1 |
<?Э |
|
|
р |
0-12 |
|
|||
У |
|
|
|
Я* |
|
|
_уо. ^ |
.Як. |
|
||
[/]единичная диагональная матрица. Столбец
параметров в скобках означает умножение соответствующего параметра на результат перемножения матрицы [5,] и матрицы столбца, стоящей справа.
Матрица [й,] осуществляет преобразование
комплексных напряжений, заданных в локальной системе координат, в основные напряжения. Используя обозначения (3.8), приведем ее к виду
2 |
2°/Ъ |
-2в/Г |
-2а & |
I 2 |
-2аД |
|
|
|
|
|
|
|
2Л(-а& +Ы-) |
|
2Л(-(1+ /? )* |
|
|
^/»(/2-«2)] |
|
2г2 |
|
|
|
а я |
|
|
-2Г[(1+ |
|
|
|
|
<?Я(-8 +'/П |
|
4%-1'Г) |
+</»(/2 -82)] |
|
-аЛ(/2 - |
||
а*&(Г+1 |
|
|
|
|
|
-*2+и/й:) |
|
1а& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чИ(/ |
|
|
|
8 -21 |
|
|
|
(9.19) |
Чтобы избавиться от матриц с комплексными членами, перемножим [/4,] и [в,], в результате получим
"<*1 " |
<71° |
|
(72 |
<т2а |
|
<*Э |
<7з° |
|
^12 = 1 |
°\г |
|
^13 |
^13 |
|
0^23. |
_^2з]у |
(9.20) |
|
|
|
+ И + + < г ' Ы + ^ 1 + |
„о |
|
Ниже выпишем входящие в (9.20) матрицы. Матрица [!„] состоит из элементов
2«2/ 2 |
2ам |
г*г»гг |
Аа/Ь |
-ЧГ« я (1 - 4а2 *2 )
(9.21)
Здесь для сокращения письма элементы одной строки, за исключением первой, размещены на двух строчках. В дальнейшем матрицу-столбец будем обозначать [а,], где
индекс I соответствует положению /-го элемента, начиная от верхнего. Квадратная матрица с одинаковыми строками, полученными транспонированием элементов матрицы-столбца будем обозначать [сгу]г Обычные
|
к , ] = ^ № Л |
[ ь * И / ? ,Ш |
(9.22) |
|
Матрица |
[ьр] |
с |
вещественными |
элементами |
определяется в виде |
|
|
|
|
« 2 < 0 У - - Г 2 )
« 2 (Р 2г 2 -
-8 2 )
-а 3(Зк
-
алр г
-2 а 2ГЕ х
* 0 - у >
а2(Р2Г2-
|
|
|
|
- в |
2 ) |
2 а 3 р г |
|
|
|
|
|
|
|||
а 2 (Р 2 в 2 - |
|
- 2 а 3 р е |
- 2 ( 1 + Э 2 ) х |
||||
|
|
|
|
|
|
||
- г |
2 ) |
|
|
|
х а 2 Г8 |
||
|
|
|
|
а 4Г 2 8 2 - |
- 2 а р Г х |
||
|
|
|
|
- Р 2 |
* 0 + а У ) |
||
0 - < |
* У |
) 2 |
~ 2 а Р в х |
2 а % 8 * |
|||
х ( 1 - а 2 8 2 ) |
х ( 1 - а У ) |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
( 1 - а 2 Г 2 ) 2 |
2 а Р Г х |
||
|
|
|
|
х ( 1 - а 2Г 2 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
а |
У |
е 2 - |
|
2 а Р 8 х |
2 а 2Г8 х |
||
- р 2 |
|
|
х ( 1 + а 2Г 2 ) |
хО -аЧ 2) |
|||
|
|
|
|
2 а Р в х |
2 а 4 Г8 |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
х ( 1 + а 2 Г 2 ) |
2 а Р Г х |
||
- с ф 8 х |
|
|
2 а 2 ( 1 - |
||||
|
|
|
|||||
х ( 1- а 2 8 2 ) |
- а У ) |
х ( 1 - а 28 2 ) |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
а Р ^ х |
2 а 2 ( 1 - |
||
|
|
|
|
х О - а У ) |
- а 2? 2 ) |
||
- с ф Г х |
|
|
|
- 2 а Р 8 х |
|||
|
|
2 а 4 Г8 |
|
||||
|
|
|
|
|
х ( 1 - < А 2 ) |
||
х О |
|
+ а У |
) |
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
а 2 Г8 х |
- 2 о Р в х |
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
х ( Г - а 2Г2 ) |
х ( 1 - а 2 Г2 ) |
||
|
|
|
|
|
|||
а 2 Гд х |
|
|
2 о Р Г х |
2 (р 2 + |
|||
|
|
|
|
||||
х ( 1 |
- а |
У |
) |
х ( 1 - а У ) |
+ а 4 Г 2 8 2 ) . |
||
|
|
||||||
Здесь элементы каждой строки занимают две строки, и принято
2 = 1-<*У ; «з = 1 - а 2/ 2;
4 = ~“Д?; 5 = аД '; а , = аУ в;
= а* а22 = |
зз = а3, а<4= 2а* а* = 2а5, аб6= 2аб |
|
А - А*. 02 = <*У. А * «У . А = «У& А |
= -« Ж А = |
|
А / = А- А * = А |
А? = А» А / = ^А» Ал |
= % А * = ^ А |
Таким образом, все матрицы, входящие в уравнение (9.20), приведены в явном виде с вещественными элементами.3
3. Усредненное деформированное состояние многонаправленных композитов представляем в виде суммы деформаций, вызванных однородными напряжениями и рассеянными наклонными волокнами. Результаты преобразования компонентов тензора усредненных деформаций, определенных в основной системе координат, в комплексные деформации в локальных системах координат, повернутых на углы Эйлера, представим в матричном виде
ё, ' |
ч " |
|
|
|
ё2 |
|
|
|
ё |
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
Ё’ |
|
|
|
|
|
|
= [ а ,: |
= 1 № |
| ] |
У Ж |
Г.2 |
г |
|||
У13 |
У |
|
|
У |
7 2 3 . |
У. |
|
|
-П; |
|
|
|
|
|
' 4 |
|
, |
<4 |
* |
|
2/,~в+*Т |
|||
4 |
|
|||
4 |
|
|
20 |
|
А |
|
|
Ж ъ |
|
А |
|
|
г |
|
А |
|
|
20 |
|
|
|
- у п- |
||
(9-24) Матрица [Г>0] составлена по данным преобразования
|
'1/2 |
1/4 1 /4 ]М |
|
еъ = 1/2 |
-1/4 -1/4 * |
||
У23. |
0 |
-/72 |
к! |
|
|
||
(9.25)
>«1 Г1/2 1/21И
/,з ] |
Ь'/г -//2 _ ||Л |
Матрица /ОД осуществляет преобразование комплексных деформаций при поворотах и равна
р 2 |
|
2 |
4 |
л2 |
-а р х |
- -1арХ |
|
|
4 |
2 |
|
||
а 2 |
|
|
^ А 2 |
а 2 —2 |
--а р Л |
-1а РЛ |
|
2 |
— А2 |
||||
|
|
4 |
4 |
2 |
|
|
- « V |
Т |
' 2 |
Ь4Л2у 2 |
а 4Л2Г2 |
-х ш 2Лу2 |
-хаЬ2Лу2 |
|
|
|
|
|
||
- а У |
Т |
' - 2 |
а4Л2у 2 |
а 4! 2?2 |
хаЬ2Лу2 |
хаа2Лу2 |
|
|
|
|
|
||
Пару |
-тару |
-хал2}*2 |
хаЬ2Л2у |
\( Р + с)уЛ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
-П ару |
харг |
-хаЬ2уЛ2 |
хаа2Л2у |
^ р -с )у Л |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9.26) |
Систему (9.24) разделяем на составляющие, зависящие в явном виде от интегральных параметров (9.27). В
формуле (9.27), матрица |
получается из матрицы |
/ОД при взаимной перестановке строк для 27 и 1Г Матрица /ОД осуществляет преобразование заданных в
локальной системе координат напряжений сг° и сг,° к
компонентам напряженного состояния в основной системе координат. Систему (9.27) преобразуем в уравнения, содержащие только вещественные параметры.
Ч ' |
“ 0 |
‘ |
||
*1° |
Я |
|
||
*2 |
|
20 |
[ф |
|
У12 |
л ^ |
|||
20 |
||||
|
«3° |
|
|
|
У13 |
Г,°з |
_ уо |
|
|
У23 _ |
Л] |
0 |
|
|
|
|
_ уо |
|
|
|
. |
0 |
|
|
у- а 0 "
Яо -? '
2 ^ |
ст2° |
|
Я^з°
0 |
ы |
, |
0 |
0 |
|
|
^12 |
|
|
° ъ |
|
0 |
|
|
|
|
|
1^23 ] |
|
0 |
|
|
|
) |
|
- |
|
|
|
(9.27)
(9.28)
Матрица /У/ составлена из элементов, с помощью которых осуществляются преобразования
’&х'
ч |
и |
|
А .
"Уа
Уп
_У23 _
' 1 |
|
1 |
—V |
1 |
|
-V |
|
-V |
_ 1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
” (7 |
0 |
0 |
|
||
1
-V
-1
°1
0
А
(7,°
.а К
Матрица [0%] представляет произведение матрицы столбца на квадратную транспонированную матрицу
кЦ км
А, = с?, А2 = 1-с? / , Аз - 1-с?/, |
(9.29) |
Аз - А; - 2а&, 4» - 2с?/ц
Остальные матрицы составлены по аналогии в виде
Ы - Ы & . Г ; К ] = ^ [ д ,1 д Л |
|
|
Р1=#> Р2 = |
Рз = а 2/ |
(9.30) |
р4 - 2а/%, р5 - -2а%, р 6 = -2с?/%
Матрица [ й у] составлена из вещественных элементов и совпадает с матрицей (9.21), если элементы на трех первых строках [ЬУ] умножить на 1/2. Матрица [йр]
110