книги / Моделирование систем управления

и х=цЯ1+ь Л . dt\

Критерий подобия

причем п[ = f(n '2).

Для обеспечения подобия второго процесса первому необходимо, что­ бы определяющие 1фитерии в сходственные моменты времени были равны,

т.е. п2=

L2RI

При любых заданных значениях L2 и R2 всегда можно удовлетворить

этим условиям выбором величины t2 и, следовательно, mt = — . Очевидно, h

Таким образом, при соответствующем выборе масштаба времени рас­ сматриваемые два процесса подобны при любых значениях параметров вто­ рой системы (Д2и L2).

Значение параметра U2никакого влияния на подобие процессов не ока­ зывает, поскольку он не входит в определяющий критерий. Следовательно, величина U2может быть любой, что также соответствует и тому, что U2вхо­ дит в систему независимых параметров второго процесса.

Итак, при любых значениях параметров элементов системы процессы в RL-цепях подобны. Следовательно, эти процессы можно считать автоМодель-

Одним из формальных признаков автомодельности является выполне­ ние условия тс < к, где тс - число системных (материальных) параметров системы. Например, процессы в RLC-цепи не могут быть полностью автомо­ дельными, поскольку число системных (материальных) параметров т = 4 больше числа независимых параметров к = 3. Процессы, описываемые дву­ членными уравнениями, всегда автомодельны.

3.6. Дополнительные положения о подобии и их применение при установлении условий подобия

3.6.1. Первое дополнительное положение

Это положение формулируется следующим образом: подобие сложных систем, состоящих из подсистем, соответственно подобных в отдельности, обеспечивается подобием всех сходственных элементов и связей, являющих­ ся общими для этих подсистем.

Рассмотрим две сложные системы: А (рис. 3.4, а) и В (рис. 3.4, б).

Ф1 ф?

В соответствии с правилами преобразования критериев можно записать

Соотношения (331) - (3.33) приводят к критериям подобия (3.30). Таким образом, для подобных сложных систем, образованных несколь­

кими подсистемами, подобными в отдельности, необходимо равенство кри­ териев подобия, которые составлены из параметров, общих для этих подсис­ тем.

Следствия первого дополнительного положения

Следствие 1. Бели каждые две системы в отдельности подобны двум другим системам, сходственно соединены между собой через третьи систе­ мы, то и образовавшиеся при этом две новые (сложные) системы будут по­ добны при подобии соединяющих их систем.

В состав соединяющих систем входят как общие элементы соединяе­ мых систем, так и элементы, относящиеся только к соединяющим системам. Таким образом, система-модель, к которой присоединены натурные устрой­ ства (регуляторы, защитная аппаратура и т.д.), будет подобна системеоригиналу, если будут сохранены подобными условия присоединения.

Следствие 2. Две подобные системы остаются подобными после лю­ бых преобразований, выполненных соответственно одинаково в обеих системах.

Таким образом, оценка влияния различных допущений (уточнений) на процессы в оригинале возможна на основании сопоставления результатов экспериментов, получаемых на упрощенных (усложненных, более полных) моделях, подобных оригиналу.

3.6.2. Второе дополнительное положение

Второе дополнительное положение о подобии систем с нелинейными или переменными параметрами формулируется следующим образом: условия подобия линейных сложных систем могут быть распространены на системы с нелинейными или переменными параметрами, если удовлетворяется до­ полнительное требование совпадения относительных характеристик сходст­ венных нелинейных или переменных параметров.

Пусть процесс описывается уравнением

Рп ~~Ую(Ао»^30‘">^л|о)Ао> ^20 = Ло(^10>^30>***>^и1о)^30»

Для подобных систем с переменными параметрами аналогичными пре­ образованиями можно получить соотношения вида (3.38), эквивалентные требованию совпадения относительных характеристик переменных парамет­ ров.

Пример 1. Необходимо определить критерии подобия электрической цепи с взаимоиндукцией М\2>образованной двумя (1,2) взаимно неподвиж­ ными контурами ÆL; контур R\L\ включается на постоянное напряжение,

В соответствии с первым положением необходимо также обеспечить подобие всех сходственных элементов, общих дня подсистем (в примере это взаимоиндуктивность М\2). При независимых параметрах ib Ru t критериями подобия будут:

В примере предполагается, что обратное воздействие электрического состояния цепи на механическое отсутствует, т.е. скорость перемещения не зависит от взаимодействия токов, протекающих по контурам. При этом по­

Нелинейно подобные преобразования

Пусть т величин (хь ..., хт) одной системы (.X) связаны функциональ­

для которых на основании формул перехода к относительным характеристи-

ваний с использованием относительных характеристик нелинейных величин в виде:

ксистеме Y.

3.6.3.Третье дополнительное положение о подобии анизотропных или неоднородных систем

Это положение формулируется следующим образом: условия подобия изотропных или однородных систем могут быть распространены на анизо­ тропные или неоднородные системы, если удовлетворяется дополнительное требование обеспечения одинаковой относительной анизотропии или неод­ нородности сходственных параметров сопоставляемых систем.

Изотропные системы характеризуются одинаковостью физических свойств (электропроводность, упругость и т.п.) по всем направлениям внутри данной системы. Анизотропные системы имеют неодинаковые физические свойства по различным направлениям.

В однородных системах все элементы обладают постоянными значе­ ниями сходственных физических параметров; неоднородные - имеют пере­ менные значения сходственных параметров. Если система обладает неодно­ родностью (или анизотропией), зависящей от параметров процесса, то ее можно рассматривать как нелинейную с параметрами, изменяющимися во времени и в пространстве, или только в пространстве. Подход к установле­

нию условий подобия систем остается таким же, как и для нелинейных сис­ тем.

3.6.4. Четвертое дополнительное положение о подобии

Условия подобия процессов в геометрически подобных системах могут быть распространены на геометрически неподобные системы, если выполня­ ется дополнительное требование о существовании подобных изменений па­ раметров процесса в нелинейно сходственных точках этого пространства.

Пусть физические процессы в областях V\ и V2 представлены непре­ рывными функциями:

р\ =^i(*i >У\>2\). Рг = F2(Ar2,^2.z2),

то функция Р\ подобна Р2, когда для нелинейно сходственных точек областей V\ и V2справедливы соотношения:

Р2 = У 2 Ри =4'l(Wl>2l)>

гдех\,у\, Z] - пространственные координаты области V\\ х2, у2, z2- координа­ ты области V2i нелинейно подобной V\.

где Р2о, vj/20, Р\о~ соответствующие базисные значения.

Таким образом, процессы, не удовлетворяющие условию Р2= трРи мо­ гут оказаться подобными при установлении между переменными Р2 и Pi не­

линейной связи Р2* = vj/2P]*.

Нелинейное подобие какого-либо явления другому явлению означает нелинейно подобное преобразование величин, характеризующих первое яв­ ление.

3.6.5. Пятое дополнительное положение о подобии при вероятностном характере процессов

В соответствии с этим положением теоремы и условия подобия, отно­ сящиеся к детерминированным системам, будут справедливы и для стохасти­ ческих систем, если у этих систем совпадут плотности вероятностей сходст­ венных параметров, представленных в виде относительных характеристик.

При этом дисперсии и математические ожидания всех параметров (с учетом масштабов) должны быть у подобных систем одинаковы. Наличие стохастических зависимостей при этом можно рассматривать как появление своего рода нелинейностей и на этой основе распространять на данный слу­ чай выводы второго дополнительного положения.

3.7. Достоверность моделирования

Изучение любого физического явления связано с экспериментальными

ианалитическими исследованиями, проводимыми совместно или поочередно

идополняющими друг друга.

Сравнение явлений в модели и оригинале с результатами соответст­ вующего анализа позволяет уточнить условия моделирования, обеспечивая повышение точности воспроизведения явления не только в качественном, но

ив количественном отношении.

Вметодике моделирования критерии подобия служат:

- д л я определения масштабов, связывающих параметры модели

иоригинала;

-для выявления на основе анализа критериальных соотношений наи­ более характерных свойств моделируемого явления.

Абсолютно точная модель, так же как и абсолютное подобие, является математической абстракцией, т.е. модель и оригинал находятся в отношении сходства, а не тождества.

При получении на основе моделирования характеристик тех или иных явлений необходимо учитывать следующие факторы, обуславливающие рас­ хождение результатов модели и оригинала:

1.Неточности исходного математического описания явления.

2.Погрешность в получении критериев подобия за счет упрощенного представления явления.

3.Погрешности определения отдельных параметров, входящих в кри­ терии подобия.

4.Случайные отклонения параметров оригинала и модели от приня­ тых (расчетных).

5. Погрешности проведения опытов, отклонения фактических пара­ метров режима от расчетных.

6. Погрешности обработки результатов опытов.

Стремление к полноте математического описания не всегда оправдан­ но. Имеются случаи, когда при большей полноте математического описания исследуемого процесса реальная точность результата падает, и притом ино­ гда довольно резко, создавая не только заметные качественные отклонения от действительных процессов, но даже меняя полностью картину. Так, из­ вестны случаи, когда на практике фактически устойчивая система оценива­ лась как неустойчивая, и наоборот. Это если не приводило к тяжелым по­ следствиям, то вызывало необходимость дополнительных исследований. По­ этому нет смысла усложнять математическое описание, равно как и умень­ шать систематические погрешности моделирования до уровня, намного меньшего неопределенности, связанной с неточностью исходных данных.

Пусть исходная динамическая система списывается дифференциаль­ ным уравнением вида

F(x,x,x,t,qü) =0,

x(t,q) - решение этого уравнения.

Пусть параметр qo изменяется на величину Ад, тогда уравнение примет

вид

F(x,x,x,t,q0 + Aq) = 0.

Разность решений этих уравнений x(f, q0 + Aq) - (j,q) представляет со­ бой дополнительное изменение Ах, вызванное отклонениями параметров.

Величина

lim — = U àq-+о Aq

называется функцией чувствительности, показывающей, как данное уравне­ ние изменяется при вариациях параметров.

Из теории чувствительности известно, что

dF ^dF | ÔF

dq0 дх дх

С/ = -

Следовательно, чем полнее дифференциальные уравнения, т.е. чем больше переменных содержит функция F, и чем она сложнее (более высокий порядок производных), тем с большим основанием следует ожидать большо­ го значения функции чувствительности U и соответственно более заметного дополнительного изменения Ах, обусловленного вариациями параметров.

3.7.1. Точность воспроизведения критериев подобия

Параметры, входящие в тот или иной критерий подобия, оказывают различное влияние на результат исследования в зависимости от характера изучаемого явления.

Обозначим через А, В, С, D некоторые физические параметры, опреде­ ляющие величины критериев. Пусть идеальные значения этих величин в ори­ гинале будут А0) В0, С0, D0, ...» F0. Соответствующие им величины в модели запишутся как

где тА, тв, ... - масштабные коэффициенты.

Фактические величины (обозначим их индексом «ф») в модели и ори­ гинале отличаются от идеальных:

абсолютные погрешности.