книги / Моделирование систем управления
..pdfвободилась и может выполнить эту заявку. Заменяем |
+ г3, добавля |
|
ем 1 к счётчику выполненных заявок (цвып). |
|
|
Если условие |
не выполнено, то, значит, |
1-я линия занята. |
Проверяем, свободна ли 2-я линия: |
|
|
Если выполнено, то |
|
|
|
h = Tin + 6» |
|
и добавляется 1 к счётчику заявок, выполненных 2-й линией, и т.д. |
||
Может оказаться, что при всех / от 1до п |
|
|
U >
т.е. все линии заняты. Тогда добавляем 1 к счётчику отказов (ц ^) и потом переходим к выполнению следующей заявки.
Каждый раз, вычислив 7*+i, |
надо проверить условие оконча |
ния опыта |
|
^ |
Т’кон» |
Когда условие окажется выполненным, опыт заканчивается. В счётчиках будут стоять числа цЬЬ1Пи р*Г1с.
Такой опыт повторяется N раз (с использованием различных у). Ре зультаты усредняются
1 N
М'ВЫП ~ 77 I n выи / »
N /=i
1 N
с = 1 Пагк i •
Более сложная задача.
1. h может быть не постоянной, а случайной и различной для раз личных линий величиной (что соответствует различному оборудованию); /3 надо разыгрывать каждый раз, и формула разыгрывания для каждой ли нии своя.
2.Системы с ожиданием, в которых отказ выдаётся не сразу, заявка хранится в течение некоторого времени tn(время пребывания заявки в сис теме), и если за это время какая-нибудь линия освободится, то она обслу жит эту заявку.
3.Можно учесть случайный выход из строя отдельных линий и слу
чайное время ремонта.
4. Можно учесть изменение плотности потока заявок во времени и многое другое.
Качество модели зависит от того, как изучен процесс: приходится тщательно изучать действительные потоки заявок, проводить хронометраж работы отдельных узлов.
5.4.4. Условия использования имитационных моделей
Использовать имитационную модель большой системы при решении задач проектирования возможно в следующих случаях:
1.Не существует законченной математической постановки данной задачи либо ещё не разработаны аналитические методы решения сформу лированной математической модели.
2.Аналитические методы существуют, но математические процеду ры столь сложны и трудоемки, что имитационное моделирование является более простым способом решения задачи.
3.Кроме оценки выходных параметров, требуется осуществить на имитационной модели наблюдение за ходом процесса в течение опреде лённого периода времени.
4.Имитационное моделирование может оказаться единственной возможностью поставить эксперименты и наблюдать явления в реальных условиях (например, изучение поведения космических кораблей в услови ях межпланетных полетов).
5.Для долговременного действия систем или процессов может по надобиться сжатие временной шкалы. Имитационное моделирование дает возможность полностью контролировать время изучаемого процесса, по скольку время протекания процесса или явления может быть ускорено или замедлено по желанию.
6.Дополнительное преимущество имитационного моделирования состоит в том, что использование имитационной модели позволяет экспе риментатору видеть и «разыгрывать» на модели реальные процессы и си туации. Это позволяет понять и прочувствовать проблему, что стимулиру ет процесс поиска нововведений в большой системе.
7.Имитацию можно использовать для изучения новых ситуаций,
окоторых или не известно ничего, или известно очень мало. Таким обра зом, имитация может служить для предварительной проверки новых стра тегий и правил принятия решений перед проведением экспериментов на реальной системе.
8.Для некоторых типов стохастических моделей особую важность имеет последовательность событий. Данные только об ожидаемых значе ниях могут оказаться недостаточными для описания процесса. В этих ус ловиях единственным удовлетворительным способом получения нужной информации может служить имитационная модель. Имитацию можно ис пользовать для предсказания узких мест и других трудностей, возникаю щих в поведении больших систем при введении в нее новых элементов.
5.4.5. Недостатки имитационных моделей
Имитационные модели обладают рядом существенных недостатков:
1.Разработка хорошей имитационной модели часто обходится до рого и требует больших затрат времени.
2.Иногда кажется, что имитационная модель отражает реальное по ложение вещей, хотя в действительности это не так. Если не учитывать этого, то некоторые особенности, свойственные имитации, могут привести
кневерному решению.
3.Имитационная модель в принципе неточна, и нет возможности измерить степень этой неточности. Это затруднение может быть преодо лено лишь частично путем анализа чувствительности модели к изменению определенных параметров.
4.На имитационной модели можно получить ответ только после очередного имитационного эксперимента, и возможности прогнозирова ния имитационного моделирования значительно меньше, чем возможности аналитического моделирования.
Тем не менее имитационное моделирование широко используется при решении задач синтеза больших систем, т.к. позволяет производить детализацию систем любого уровня сложности и исследовать динамику развития процесса.
5.4.6.Технологические этапы создания и использования
имитационных моделей
Независимо от способа проектирования сложной системы и назначе ния моделирования можно выделить следующие этапы создания и исполь зования математических моделей:
1. Составление содержательного описания объекта моделирования - это определение объекта имитации, установление границ и ограничений моделирования, выбор показателей для сравнения эффективности вариан тов системы.
2. Составление концептуальной модели - это формулировка замыс ла модели, переход от реальной системы к логической схеме ее функцио нирования.
3.Составление формального описания объекта предполагает реали зацию описания объекта в терминах математических понятий и алгорит мизацию функционирования ее компонентов.
4.Составление описания имитационной модели - преобразование формального описания объекта в описание имитационной модели.
5.Программирование модели - программирование и отладка
модели.
6. Испытание и исследование модели подразумевают проверку мо дели, оценку ее свойств и затрат ресурсов на имитацию.
7. Эксплуатация модели - организация модельного эксперимен та на ЭВМ.
8. Анализ результатов заключается в интерпретации результатов моделирования и их использовании в ходе проектирования сложной сис темы.
5.5. Оценка количества реализаций, необходимого для обеспечения заданной точности
5.5.1. Оценка абсолютной точности решения задачи
При определении количества реализаций, необходимого для обеспе чения заданной точности решения задачи, пользуются законом больших чисел и центральной предельной теоремой.
Имея дело с обработкой статистического материала, кроме задания точности решения необходимо задавать степень достоверности. Пусть, на пример, оценкой для величины а является среднее значение а , т.е. а » а,
\й — й\ < Б.
Можно сказать, что неравенство имеет точность е с достоверно стью а, если вероятность осуществления неравенства равна а, т.е.
оценка ошибки б имеет вероятностный характер, и указываются границы, за которые ошибка не выйдет с вероятностью а , близкой к 1.
Определим, как связаны между собой точность решения 8, достовер ность а и число реализаций N (т.е. производится N измерений, оценкой измеряемой величины обычно служит среднее арифметическое). Если про ведём п серий по N измерений, то можем утверждать, что примерно в ап случаях оценка измеряемой величины будет отличаться от истинного значения не больше, чем на е.
Воспользуемся неравенством Чебышева. Пусть TJ - случайная вели чина с математическим ожиданием £(т]) и дисперсией Д т|), тогда в соот ветствии с неравенством Чебышева вероятность того, что некоторая неот рицательная функция ср(х) = (ц - £ (л ))2больше некоторого положительно-
2 |
, равна отношению математического ожидания |
is((p (jt)) |
: |
го числа б |
|
p{Cn-£(îl»2> >. се2}) £^ ( ^ ) ) ^ ( ^ )
или
Известно, что среднее арифметическое х является случайной вели-
о 2 чиной с математическим ожиданием Е(х) и дисперсией £>(*)=— . Тогда
N
неравенство Чебышева примет вид
Преобразуем:
8 iV
q 2
Обозначим 1— -— = 8 . Тогда а представляет собой степень досто-
г2И
верности неравенства |х - £(*)| < е , и а > 5. Определим б:
1 S2N
1-0 =
S2N* 1 -5 а 2 ’
IÏ
е= <х /------— . V(l-S )N
Тогда вероятностное утверждение будет в виде
a = |
)S 5, |
т.е. с достоверностью не меньше 8 ошибка в определении искомого пара
метра Е(х) будет не больше o j — — .
Оценка ошибки
(5.11)
показывает, что порядок убывания ошибки пропорционален ~т= . Увели-
VAT
чение точности связано со значительным увеличением количества реали заций. Но формула показывает, что точность зависит и от дисперсии слу чайной величины. Поэтому всегда выгодно стремиться к уменьшению дисперсии, выбирая наиболее целесообразное с этой точки зрения оцени вание параметра и соответствующие случайные величины.
Аналогично можно рассуждать и для оценки вероятности р(А). Ве
роятность будем оценивать частотой — наступления события А при Npea-
N
лизациях. Случайная величина — имеет математическое ожидание р
и дисперсию
W р(1^ р )
V N
Тогда неравенство Чебышева
1 - 5 = ф |
^ , |
|
|
|
|
Б2N |
|
т |
, |
IP O - P ) |
(5.12) |
N ~ P |
|
|
|
|
|
|
|
Ошибка определения вероятности р методом статистических испы |
|||
таний обратно пропорциональна J N |
и зависит от значения самой вероят |
||
ности р, т.е. для обеспечения заданной точности количество реализаций потребуется тем меньшее, чем ближе значение искомой вероятности к О или 1. Однако оценка ошибки по формулам (5.11) и (5.12) является сильно заниженной, и потому эти формулы нецелесообразно использовать для не посредственной оценки необходимого количества реализаций.
Так как оценку х можно представить в виде суммы независимых
случайных величин — , одинаково распределённых с дисперсией <г, от-
N
личной от 0, то в силу центральной предельной теоремы распределение
случайной величины х асимптотически нормальное. То же самое относит
ся и к случайной величине — . Поэтому для больших значений N можно
N
определить зависимость между а, а и N, пользуясь таблицами нормально го закона распределения
|
F- а д | < / а . ^ = а . |
|
|
|
||||
Значения ta |
(коэффициенты |
Стьюдента) определяют по таблицам |
||||||
|
|
|
а = 0,95; |
/„ |
= 1,96;] |
' ^ |
0ПРеделён~ |
|
нормального закона распределения: ^ ^ |
^ |
t |
-Ъ |
|||||
ного числа степеней свободы (ТУ- 1). |
|
|
|
|
|
|||
Бели положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V F = е, |
|
|
|
|
|
то |
|
N = t2a ~ |
|
|
|
|
(5.13) |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
(выбирается ближайшее большее целое). |
|
|
|
|
|
|||
Для случая определения вероятности р имеем следующее соотноше |
||||||||
ние: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= а, |
|
|
|
|
|
, |
а |
л/р(1-р) |
|
’ |
|
|
|
|
а |
V F |
а ' |
V F |
|
|
||
ta ' J ^ F |
^ =e’ |
N=tf - P ^ ~ P ) - |
|
(5Л4> |
||||
Для а = 0,95 количество реализаций N для различныхр и е представ |
||||||||
лено в табл. 5.2. |
|
|
|
|
Таблица 5.2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Б |
|
0,05 |
0,02 |
|
0,01 |
|
|
Р |
1- р |
|
- |
- |
|
- |
|
|
0,1 |
0,9 |
|
140 |
900 |
|
3600 |
|
|
0,2 |
0,8 |
|
250 |
1500 |
|
6200 |
|
|
0,3 |
0,7 |
|
330 |
2100 |
|
8400 |
|
|
0,4 |
0,6 |
|
380 |
2300 |
|
9400 |
|
|
0,5 |
0,5 |
|
390 |
2400 |
|
9800 |
|
|
Таким образом, для определения ТУпо (5.13) и (5.14) необходимо знать дисперсию ст2 и вероятность р. При решении конкретных задач вме сто сг2можно воспользоваться s2при каком-то заранее заданном количест ве реализаций ТУ*. Точно так же при заданном ТУ* определяется приближён нее значение р, а затем уже уточняется требуемое количество реализаций ТУв соответствии с (5.13) и (5.14).
Всё вышесказанное относилось к абсолютным ошибкам решения за
дачи.
5.5.2.Оценка относительной точности решения задачи
Не менее важное значение имеет оценка относительной точности решения задачи
E = fi-E (x)\< ta ~ .
Относительная ошибка |
|
|
|
|
|
|
d= - А |
d < ta |
, |
. |
а |
Пусть dm» |
£(*)’ |
“ |
E(X)-JN ' |
|
|
- максимально |
допустимое |
значение относительной |
|||
ошибки. Тогда можно записать |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E (x )-jN |
d™ ' |
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
N - 4 |
- Ш |
. |
|
|
|
|
Е(х)) |
|
|
|
Итак, N пропорционально отношению |
|
|
|||
|
|
|
Е(хУ |
|
|
Рассмотрим |
случай определения |
вероятности р |
при помощи час- |
||
т |
|
|
|
|
|
тоты — : |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
т |
|
р(Х -р) |
|
|
|
А = |
|
N |
|
|
|
N - P <1ау |
|
|
||
d =-
d<taJ p J ’
г ( l - Р )
N =^
“max ' P
Число испытаний обратно пропорционально искомой вероятности, поэтому практически невозможно определять малые вероятности методом статистических испытаний. В этом случае задачу следует преобразовать так, чтобы по методу статистических испытаний определять некоторые вспомогательные, не очень малые вероятности (или другие величины), а искомые вероятности определять аналитически при помощи уже найден ных промежуточных.
Аналогичные рассуждения можно привести для оценки количества реализаций, которое требуется для обеспечения заданной точности опре деления дисперсии. Известно, что случайная величина s2 распределена асимптотически нормально и параметры этого распределения
Ê (J 2) = ^ — CT,2
0 (J 2) - ^ 4
где |i 4 - четвёртый центральный момент, р4 = £ (х, - £(х))4;
# ) - ограничение ряда величиной, пропорциональной — Запишем соотношение:
р ф 2 - ff2| < ta№ * 2)} = «.
Очень часто при моделировании нельзя заранее задать определённое число реализаций N. Это бывает при моделировании эргодических процес сов.
5.5.3. Моделирование эргодических процессов
Стационарный случайных процесс х(0 обладает эргодическим свой ством, если для любой функции j[x(t\\ ..., x(f„)] с вероятностью, равной 1, среднее по времени совпадает со средним по множеству наблюдений (при условии, что эти средние существуют). При этом каждая реализация x(t) определяет случайный процесс однозначно с вероятностью, равной 1. Ка ждое среднее по времени, например, [х], [х2] или Л»(т) описывает с веро ятностью, равной 1, общее свойство всего множества реализаций x(t).
При моделировании эргодических процессов обеспечение заданной точности достигается достаточно большой длиной реализации. Пусть тре буется получить распределение вероятностей некоторой дискретной слу чайной величины, принимающей значения а\, а* и связанной с эрго дическим процессом.
Для решения этой задачи моделируется в специальных счётчиках число случаев v 1,v 2,...,v jt, когда случайная величина £ приняла соответ
ственно значения а\> а2, ..., я*. По окончании моделирования вычисляют ся значения вероятностей искомого распределения
Р 1— Г - - (S.IS)
? '
Точность решения зависит от длительности реализации T. Т - эти не время решения задачи на ЭВМ, а отрезок времени, в течение которого мо делируют процесс (по времени может быть введён масштаб). В силу эрго
дичности равенство (5Л5) с достоверностью, близкой к 1, справедливо при Г -> оо. Поэтому надо найти зависимость между временем реализации Г, точностью е, достоверностью а.
Пример. Пусть к = 2, т.е. Ç принимает 2 значения: а0и ct\:
P\=P(Ü = <*ô>
Ро=РЙ = яо)-
Тогда
P o = 1~Pi-
Введём понятие плотности потока появлений случайной величины Ç. Обозначим эту плотность через Х \Х - среднее число появлений случайной величины £ в единицу времени в моделируемом процессе. Для стационар ного процесса X является постоянной величиной. Сумма v0 + V| - случай ная величина, математическое ожидание которой равно XT. Тогда
Pi |
v i |
|
*— |
|
|
П |
Х-Т |
|
По аналогии с формулой |
|
|
дг= £ ( К £ ) . , 2 |
||
|
с * |
|
получим |
|
|
1 т - |
Р\ ^0 |
*2 |
K l------- =---- *а » |
||
Г= Pl'Po |
,2 |
|
|
А.■б2 |
а |
Обычно параметр X неизвестен заранее и его определяют прибли жённо в процессе моделирования, задавая некоторое предварительное время реализации Го. Соотношение для Г является приближённым и ука зывает только порядок необходимого времени реализации Г для обеспече ния заданной точности г при заданной достоверности а .
Иногда при моделировании эргодических процессов решение задачи можно проводить следующим образом. Задаётся некоторое начальное зна чение NQ, равное сумме содержимого счётчиков Vo и vi. Затем No сравни вается с вычисленным заранее по формуле
ЛГ, * * -2* > .,» ‘а*
8*
Если No <N, то к Го прибавляется некоторая величина АГ, и процесс моделируется до момента Т\ = Г0+ АГ, снова вычисляется N\ = v0 + Vi, сравнивается с тем же значением N и т.д. до тех пор, пока не получим