книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdfразницей, что сдвиг графика функции —<р(х) |
проводим на \ влево и |
2 |
2 |
вправо. |
|
О |
|
1 |
|
2
4 ), = 1
5 ) 4
0 I |
1 |
|
з) |
1 |
3) |
|
х , - \ =—(рf |
+ -<рf |
|
||||
4,1 |
2 |
1 |
4J |
2 г 1 |
4) |
|
|
|
/К |
|
. 1. |
|
|
|
|
|
|
Ч(х,~) |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
--------------------------------X . |
7 |
|||
|
|
|
|
|
X |
|
п
= ^ p ( * - l ) + ^ ( * + l)
Ь
4\ |
, 1, |
6) / = — |
5 | 1 [ |
5 ] 1 / |
и |
х + - . |
|
12 |
I |
|
7) / > | . Ясно, что <р{х - 3/) • (р{х + 3/) = 0, следовательно, графики
u+(x,t) и u_(x,t) не будут пересекаться.
1 |
/\ |
|
1 |
|
|
I |
|
! |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
----- 1----- |
J, |
. |
J |
> |
|
» |
|||||
v |
у |
х \ |
|
||
1 |
at |
at |
| |
|
|
1 |
|
|
i |
|
|
1 |
|
|
|
||
1 |
|
|
i |
|
Две волны: м+(х,/) и u_(x,t) распространяются вдоль оси ох в противоположные стороны с одинаковой скоростью. За время At
абсолютная |
величина |
смещения |
AS1вдоль |
оси |
ох |
функции |
^(р{х + си) |
||
|
|
ds |
.. |
AS |
.. |
aAt |
|
TI |
|
равна aAt, поэтому v = — = |
lim — |
= lim |
---- = a . Итак, очевидно, что |
||||||
|
|
st |
At->o At |
Al->о |
At |
|
|
|
|
скорость |
распространения |
волн |
равна |
а = |
f f |
прямо |
|||
— , т.е. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
\ Р |
|
пропорциональна |
и обратно пропорциональна -fp В частности, чем |
||||||||
больше натянута струна, тем больше скорость распространения воли вдоль струны. В нашем примере скорость v = 3.
Задача 3.2. Бесконечная струна с линейной плотностью, равной 4, и натянутая с силой, равной 64, находится в прямолинейном положении. В момент времени / = 0 к участку [0,l] струны прикладывается импульс, в результате которого струна приобретает начальную скорость, равную 1 на
этом участке. Изобразить графически профиль струны в момент времени
f = -M i = 0,4). |
Схематично |
изобразить |
процесс |
дальнейшего |
||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
распространения волны, указать ее скорость. |
|
|
|
|
||||||
Решение. |
В |
обозначениях |
из |
|
(3.1)-(3.2) а - |
= 4, <р(х) = О, |
||||
у/(х) = Z[o,i](x) • Математическая модель задачи о колебаниях струны: |
|
|||||||||
|
|
|
ии = 1 бм^, |
t > 0, х е R , |
|
|
|
|||
|
|
ML o =0’ |
Ч « о = ^*> = *[о,!](*)• |
|
|
|||||
Согласно формуле Даламбера (3.3) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
, |
*+4/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(x,t) = - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х-М |
|
|
|
|
|
Для удобства графического изображения профиля струны в |
||||||||||
различные |
моменты |
времени |
введем |
первообразную функцию |
||||||
'F(JC) = JV(£)d£, где a eR . Тогда решение u(x,t) примет вид |
|
|
||||||||
, N 1 |
х+4t |
|
х -4 t |
=;Ч'(1 +4/)-1ч'(1-4/).(3.1.3) |
|
|||||
u(x,t) = - |
\w (S)d4 - |
|
|
|||||||
О |
_ а |
|
а |
|
О |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разность ¥(х + At) - Т(х - 4/) не зависит от выбора |
a e R . Рекомендуется |
|||||||||
выбрать |
а = inf € R | 'Р(х) * 0}. |
В |
нашем |
примере |
а = 0, |
т.е. |
||||
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 4 * )= JiK £ )^ |
Для |
нахождения |
аналитического выражения |
для |
||||||
о
функции Ч'Сх) удобно воспользоваться непрерывностью функции (как известно из математического анализа, интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной функции есть функция непрерывная) и равенством
у
Т ^ ) = 'Р ( х ) + |^ Ж
х
1) |
x< 0 |
'F(JC)= |
]У(£)</£ = 0. |
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
x |
x |
2) |
0<х< 1 'F(x) = 4'(0) + f ?(£№=* fld£ = x . |
|||
|
|
|
о |
о |
|
|
|
Jf |
|
3) |
х > 1 |
¥(х) = 'F(l) + jy(4)d£ = х . |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
0, |
х < О, |
|
Итак, ТДх) = • х, |
0 < х < 1, Теперь с помощью формулы (3.1.3) можно по |
|||
|
|
1, |
х>1. |
|
аналогии с предыдущей задачей графически изобразить профиль струны
вразличные моменты времени.
0)/ = 0 м(х,0) = 0 .
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___________^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
1 |
и |
( |
1 "1 |
1 >т./ |
п |
1 IT,( |
п |
|||
"16 |
1 |
х,— |
= -Ч / |
X + |
8 |
1 |
х — |
у |
||
|
16J |
8 |
1 |
4> |
4 |
|||||
Изображаем |
графически |
функции |
-Ч'(х) |
и - - Т ( х ) , симметричные |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
8 |
относительно оси ох. При этом на оси ох и ои удобно изображать разный масштаб. Далее из графика функции ^ЧДх) сдвигом влево на ^
получаем график функции |
x + ^-j |
и из графика -^Т Д х) сдвигом |
||
1 |
1 |
( |
О |
Затем складываем |
вправо на — график функции — Т |
х — |
|||
4 |
8 |
\ |
4у |
|
получившиеся графики.
3 )f = 16
п
4) , Л и *>т
. 4)
I |
|
8 |
|
|
-----> |
|
x |
5) Ясно, что при |
i//(x-4t) y/(x + 4t) = 0 , поэтому на рисунке |
получим следующее: |
|
Скорость распространения волн точно такая же, как и в предыдущей задаче V = 4.
X
Задача 3.3. Найти Ч^х) = ji//(^)d<^, если а = inf {х е /?| if/{x) * о}.
а |
|
-2 , |
х е (—3;—l], |
1, |
х е ( - 1;1), |
¥(х) = <-1, |
хб[2;3), |
4х, |
х е [3;4j |
О, |
JCе Л \ {(- 3;1)U [2;4]}. |
Решение. а = - 3. Воспользуемся формулой из предыдущей задачи и найдем функцию Ч'(х).
1) |
х < -3 |
¥(х) = J o ^ = 0 |
|
|
|
-3 |
X |
|
|
X |
|
2) |
- 3 < х < -1 |
Ч-'(х) = 'Р(-З) + Jyf(4)di; = J(-2)d£ = -2x + 6 |
|
|
|
-3 |
-3 |
|
|
Щ х) = ^(-1) + fys(£)d<* = -2 • (-1) + 6 + |
|
3) |
-1 < х < 1 |
-1 |
|
X |
|
||
|
|
+ Jl-^ = 9 + x |
|
|
|
-1 |
|
|
|
X |
|
4) |
1 < х < 2 |
vF(x) = vF(l)+ J 0 - ^ |
= 10 |
|
|
1 |
|
|
|
X |
|
5)2 < х < 3 vF(x) = vi/(2)+ J(-l)-d£ = 12-
|
|
|
2 |
|
|
|
ДГ |
6) |
3 < х < 4 |
4/(x) = vF(3)+ j4 g •d£ = 2x2 - |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
-X |
7) |
х > 4 |
vF(x) = 4/(4)+ |0-tf£ = 14 |
|
|
|
|
3 |
|
|
0, |
x e (- oo;-3] |
|
|
- 2x + 6, |
x e (- 3;-l] |
|
|
x + 9, |
x E (- l;l] |
Ответ: Ч/(х) = - 10, |
xe(l;2] |
||
|
|
- x + 12, |
xe(2;3] |
|
|
2x2 -18, |
xe(3;4] |
|
|
14, |
xe(4;+oo) |
Рекомендуем решить: |
|
|||
1) |
/7 = 2, |
Т = 8, |
^(ДС) = ^[-8;-4](*)'(л + 8)-^(_4;4)(*)•* + |
|
+ ^[4;8](х - 8)’ И » = °> *=g |
0' = °’9) |
|||
2) |
/7 = 1, |
Г = 16, |
(р{х) = -Х[-3;-2]W-(3 + x) + ^(_2;_l]Wx |
|
X (х + 1) + ^[з;4](3 - X) + Х{4;5](*) • (* “ 5>’ К *) = °> |
||||
t = -L 0 = о , ш ) |
|
|
||
|
1о |
|
|
|
3) |
/7 = 1, |
Г = 3, |
^(х) = 2х -^[0;1](х) + (4х - 2 х2)-д 1;2](х), |
|
K'W “ О, |
г = -£ |
(/ = w ) |
|
|
4) |
/з = 3, |
Г = 12, |
$?(х) = 0, |
= 4^[0>i](x) - 4^[з 4](х), |
Г= | , 0=0,4^) |
|
|
||
5) |
/7 = 3, |
Г = 3, |
$?(х) = 0, if/{x) = -4^[_2;_,] - 2^[_10](х), |
|
6) /7 = 5, Г = 80, р(х) = 0, ^(х) = 2х-^[01](х), / = ^ ,
(7 = 03).
3.2. Полуограниченная прямая. Метод ограничений
Теорема 3.2. Если в условиях теоремы 3.1. функции <р, у/, /(•,/) (/ > О)
нечетные (четные), то для решения |
задачи Коши (3.1), (3.2) справедливо |
|
равенство u\x_Q= 0 (соответственно |
и^| |
=0). |
Задача 3.4. Решить смешанную задачу: |
|
|
|
utt = a2uxx,x> 0, t >0, |
(3.4.1) |
||
ML o =0’ |
|
0 .4.2) |
|
4 .0 |
= «<*).■<,1-0 =!"(*>• |
|
|
<р€ С2 [0;°о), у |
е С1[О.оо) |
|
|
Итак, согласно формуле Даламбера |
x+at |
|
|
, |
|
|
|
f/(x,r) = i[0 (x + ar)+ 0(x -a/)]+ \+(£)d$ |
(3.4.4) |
||
2 |
|
x-at |
|
Для того чтобы формула (3.4.4) |
удовлетворяла условиям задачи (3.4.1- |
||
3.4.3), рассмотрим три случая: |
|
|
|
X
1) x + at > 0, т.е. t> — (согласно (3.4.4))
а
ф(х + at) = q>{x+ at), ф(х - at) = -tp(x - at), +(^) = ^(£), £ е [х - at, х + at].
|
|
X |
X |
2) x - a t <0, x + at >0 , т.е. t> —,t> |
— Поскольку нас интересу- |
||
|
|
а |
а |
ет неравенство х > |
_ |
х |
выполняется везде. |
0, то неравенство |
t >— |
||
|
|
а |
|
ф(х + at) = <р{х + at), ф(х - at) = <р(х- at), +(<!;) = у/{^), если £ е [0, х + at] .
= -v(~ £)>если £ е [х - at,0].
x+at |
0 |
x+at |
0 |
*-д/ |
*-д/ |
0 |
дг-.х |
|
*+д/ |
.х+д/ |
|
0at-x
3)х + а/ < 0. Это невозможно, так как х, а и t - положительные значения. Итак, суммируя результаты случаев (1) и (2) и используя суже
ние U\D = и , получаем ответ:
|
- [<p(x+ at)+ <p(x- at)[ + |
|
j |
y/(<^)d^,x>0,t < - , |
||
|
^ |
|
x-al |
|
|
|
u(x,t) ~ ' 1 |
|
x+at |
|
X |
||
|
~[<p(x + at)-<p{at-x'^+ |
|
J |
y/{%)dZ,x>Q,t>-. |
||
|
9 |
|
at-x |
|
^ |
|
|
|
|
|
|
||
Задача 3.5. Решить задачу |
|
|
|
|
|
|
|
Utt = a2Uxx + f(x,t), x > 0 ,t> 0 , |
|||||
|
|
u U o = ° - |
|
|
|
|
|
|
4 - o = l/' U |
|
= 0 - |
|
|
Решение. Продолжим функцию /0 ,0 следующим образом: |
||||||
|
|
\ /(*,/), |
х> 0 |
(3.4.5) |
||
|
F(x,t) = |
х< 0 |
||||
|
|
{ -/(x,t), |
|
|||
Тогда согласно теореме 3.2 решение U(x,t) задачи Коши |
||||||
(xeR,t>0) Utt = a 2UXX + f ( x ,t\ U\/=0 = U, |<=0 = 0, |
удовлетворяет усло |
|||||
вию i/| |
= 0, и поэтому сужение этого решения на D = (0,х)2 есть ре |
|||||
шение u(x,t) исходной задачи. Согласно формуле Даламбера |
||||||
|
t х+a(t-r) |
|
|
|
|
|
u(x,t) = U(x,t) = J |
| F{x,r)i^dT, |
x> 0 ,t> 0 |
|
|||
|
0 x -a(t-r) |
|
|
|
|
|
1) x>0, |
x - a t < 0 ,^/< —j . |
Тогда при |
изменении |
гот 0 до / функция |
||
а(т) = x - a (t - г) возрастает от x - a t до |
х, причем при переходе через |
|||||
точку г е [О,t\ при котором а(т) =0, знак меняется и точка находится по
формуле г* = / ——. Тогда при т<т* x - a ( t - T ) < 0 , а при т>т*
а
х - a(t - г) > 0, отсюда и из (3Л2) следует: