книги / Уравнения математической физики методы решения задач
..pdf(7.6.2)
V=0 <°°> (“r * hu\ r.R =°,
(7.6.3)
“« U ' 0' “l„, = °-
Решение. В силу однородности граничных условий распределение темпе ратур ищем в виде u{x,t) = Ф(г, z)T(t) Ф0.
ФГ = а 27ДФ |
1 |
|
а2ТФ ’ |
ГДфоб
|
а2!1 |
Ф |
|
|
|
Т' +Ла2Т = О, |
|
|
|
|
ДФ + ЯФ —о |
|
|
|
Рассмотрим граничные условия |
|
|
|
|
("г + H |
„ S “ И , |
=Г(Ф, + АФ)|,,Л=0. |
||
Так как Г(/)#0, |
то (Ф, +ЬФ)п_Л = 0 , аналогично преобразовывая ос |
|||
тальные условия, получим следующую задачу: |
|
|
||
|
ДФ + ЯФ = 0, 0 < г < R, |
0 <z <1, |
(7.6.4) |
|
|
Ф /•=0 <оо, |
(ф ,+/*ф)|г=Л=0, |
(7.6.5) |
|
|
1ф * и = 0’ |
ф1г=/=°- |
|
(7.6.6) |
|
|
|
||
Далее будем искать функцию Ф(г,г) в виде произведения |
||||
X(r)z(z) Ф0, удовлетворяющую задаче (7.6.4) - (7.6.6). |
|
|||
ДФ = - ^ - (г Ф г)+Ф г2 = Ф , , + - Ф Г+Ф22, |
|
|||
|
г or |
|
г |
|
|
X ”Z + - X Z + XZ' +AXZ = 0, |
|
||
|
г |
|
|
|
|
X ”Z +- X Z = -X Z ”-*X Z |
X— , |
|
|
|
г |
|
XZ |
|
|
Х ”+ - Х ' |
- Z " - A Z ° 6 |
|
|
|
г |
|
(7.6.7) |
|
|
------------= - а . |
|||
Преобразуя граничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.
Х ’ +- Х ' + аХ = 0, 0 < r< R,
Г |
(7.6.8) |
|^(0)|<оо, |
* '(* )+ ^ ( * ) = О- |
Общее решение задачи: |
|
Х(г) = С, |
(Jar)+ C2N0 (j^r). |
В силу ограниченности функции Х{г) С2 = 0. Из второго условия
X '(R )+ hX(R) = C]JaJ'0(jar)+ С]к10Уаг)= 0, так как мы ищем нетри виальное решение, следовательно, Q ф 0.
- J a J 1(jar)+ hJ0 (jar)= 0.
Обозначим Ja r = /л, получим |
|
||
|
|
|
(7.6.9) |
Пусть |
|
- последовательность положительных корней уравне |
|
ния. |
|
|
|
f |
\ |
( |
л |
Тогда а п = |
— |
- собственные значения, X n(r) = J 0 |
- собствен- |
\ |
R J |
V |
R . |
ные функции. Последовательность этих функций составляет базис в
L2tf>]p,R] при р(г) = г
Подставляя собственные значения в уравнение (7.6.7), получим
, |
ч |
об |
|
Z" + (Я - а п )Z = О, Л - а п = р |
|
||
Из граничных условий Фг|г=0 =0» |
Ф|г=/ = 0 получим условия для функ |
||
ции Z. Таким образом, получаем задачу Коши для функции Z. |
|
||
(Z" + /3Z = 0, |
0 < г < /, |
|
|
U о м |
ZW -0, |
(7'6ло) |
|
А = ( ^ | ^ ) 2 Z i(Z) = c o s ^ ± l ) z, А =0,1,2,...
Таким образом, получаем, что Л - а п = р к, т.е.
Я = 1,2,..., к = 0,1,2,...
Согласно теореме Фпк{г,г)= X n(r)Zk(z) является базисом, вер немся к исходной задаче (7.6.1)-(7.6.3).
u(r,z,t)= £ Tnk{t)0nk{r,z). n=l,fc=0
Следовательно, можно построить задачу для нахождения Тпк:
|
Т'пк +а2ЛпкТ = 0, |
|
||
|
Т ( o ) - ( ^ i ) _ v |
|||
|
|
пк\У / “ „ „О “ |
Упк» |
|
|
|
|
Фпк \г,Р |
|
|
Г ( г , 2 ) = а { я 2 - г 2 У |
|
||
Решение задачи является функция Тпк (t) = Апке а2Дп*', причем кон |
||||
станты Апк = у пк |
|
|
|
|
Вычислим константу: |
|
|
||
|
|
|
Ям(л2- ^ y ^ n H Z ^ d r d z |
|
_ |
( f ^ n k ) |
_ |
р |
|
/ пк |
и и2 |
|
\ \ x 2n{r)zl{z)drdz |
|
|
ИпЛг.р |
|||
|
D |
|
||
|
|
|
|
|
\г(я2 - r2U |
^ |
f ) dr \z cos |
+ ^ zdz |
|
= A- |
|
|
|
- A 71-/2 |
|
|
|
|
/ 3 ^4 |
w t e y icos2 n{<lk2i ^ zdz
4Г |
7l{lk + 1) |
_ 2/2(-l)A |
4/" |
* cos—--------z |
*(2*+l) |
яг2(2Л:-ь l)2 |
|
я 2 (2k + l)2 |
21 |
||
2Г ^ + lX-l)* - 2 |
ж2(1к + \)2
A = |
•4 U ,)+ ./|2(ft.)]= -2^ |
•A)0O + VMn) |
^О&п) |
|
Д2Л2и . ) к 2 + * 2*2 2 /4
Таким образом, |
|
|
|
|
_ 2RAJ a{M nfaM -M l)u2)p{2k + i i - \ Y - 2 j2 • 2цДЮ |
_ |
|||
Укп |
|
|
+R2h2\l |
|
Mi* (2k + r f Rl 4 |
|
|
||
16R2(2Rh - ju2n )\л{2к +lX- i f - 2] |
|
|||
А * 2(Ы +\)2^о{рп%12 +R2h2\ |
|
|||
Ответ: |
|
|
|
|
|
^ (2* + 1)2!/0 |
+ л 2A ] |
|
|
21 |
\a t |
^ |
л(2к +1) |
|
|
|
|||
xe |
|
^cos—!*-------- |
|
|
|
X |
R / |
21 |
|
jU\,ju2,Мз>• • • " последовательность положительных корней уравнения
Пусть дана функция и(р), р е |
Rn , тогда |
|||||
Ли = 0 - уравнение Лапласа, |
|
|||||
Ли = f{ p ) |
- уравнение Пуассона. |
|||||
Ли - оператор Лапласа для функции и , |
||||||
при п = 2 |
|
д2и |
д2и |
|
||
Ли = —- + — - |
- в декартовых координатах, |
|||||
|
|
дх2 |
ду2 |
|
||
|
1 д ( |
диЛ |
1 |
д2и |
||
Ли = ■ |
г |
— |
+ — + — - - в полярных координатах. |
|||
|
г дг |
. |
д г ) |
г 2 |
дер2 |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
Ли = 0, |
р е G |
внутренняя задача Дирихле. |
||||
« L = / М |
|
|||||
|
|
|
|
|||
Ли = 0, |
р е R \G |
- внешняя задача Дирихле. |
||||
u\L = fip ) |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Ли = 0, |
р е G |
|
|
|
||
ди |
_ |
|
|
- внутренняя задача Неймана. |
||
дп |
|
|
|
|
|
|
Ли = 0, |
р е R \G |
|
|
|||
ди |
= f{p ) |
|
- внешняя задача Неймана. |
|||
дп |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Здесь G e R n • область в «-мерном пространстве, L - ее граница, п |
||||||
нормаль к границе. |
|
|
|
|
||
Задачи, приводящие к краевым задачам для уравнений эллиптического |
||||||
типа: |
|
|
|
|
|
|
1. Задача о форме равновесия мембраны.
Рассмотрим задачу о колебаниях мембраны. Она описывается сле
дующим уравнением: |
|
|
|
|
p{x,y,t) |
,а |
2 Т |
^ , |
л |
utt = я 2(«х* +м ^ ) + ---------- |
= — ,x ,y e G ,t> |
О, |
||
Р |
|
Р |
|
|
при этом в случае стационарного процесса, не зависящего от времени, получаем
Л р{х,у)
Ди = ихх + Uyy = ----- - уравнение Пуассона.
2. Задача о стационарном распределении температуры.
Рассмотрим задачу о распространении тепла в цилиндре (в пла стине, в фигуре), она описывается уравнением
2 ( |
\ |
p{x,y,t) |
2 |
к |
|
щ = ^ [ и хх+иуу)+ |
v |
’■* |
а2 |
= — . |
|
|
|
|
ср |
|
ср |
Тогда задача о стационарном распределении температуры, т.е. вне зави симости от времени, описывается уравнением Пуассона:
Uхх ^уу ~ |
р{х,у) |
|
к |
Задача 8.1.
Найти форму равновесия прямоугольной мембраны ОАВС, если на сторо ну ОВ действует сила линейной плотности а (у), сторона АС свободна, а
стороны ОА, ВС закреплены в положении х2, х соответственно.
Постановка задачи:
Uxx+Uyy=0' |
0 < х< а > 0 < У <Ь |
« 4 =0= « М |
« * U e 0 |
М1,=0= * |
U\y=b = * |
Решение. |
|
В силу неоднородности граничных условий по у решение ищем в виде |
|
суммы и = v + w , где w(x,y) = А(х)у2 + В{х)у +С(х) удовлетворяет неод
нородным граничным условиям. |
|
|
х —х2 |
о |
|
|
|
||
Наиболее простой вид функции: w(x,y) = |
-у + х2 Тогда исходная |
|||
О |
|
|||
|
|
|
|
|
задача принимает следующий вид: |
|
|
|
|
vrr+vvv=; 4* V |
- |
2 ^ - = f(y ), |
|
|
^ Ууу |
^ |
|
|
|
|
|
|
,об |
, |
2 a - l |
_ 06 ( 4 |
|
\x=a |
|
——+2a = y/\y), |
|
|
|
|
|
v |
n = v |
. = 0. |
|
iy=0 |
I y=b |
|
|
Далее решение ищем в виде произведения v(x,y) = X(x)Y(y).
— = |
= Я |
|
X ~ |
Y ~ |
|
Получаем задачу Штурма-Лиувилля для Т(у): |
|
|
?Г' + ЯУ = 0, |
|
|
|У(0)=У(б)=0. |
|
|
Собственные числа данной задачи - |
Хп - т \12 |
, п = 1,2,..., а соответст |
вующие им собственные функции - Yn(у) = sin .
Таким образом, решение ищем в виде ряда Фурье по собственным функ циям задачи Штурма - Лиувилля:
и(х> у )= ^ Х п{хУп(у)- П=1
Получаем задачу для нахождения функции Х п(х):
ь |
|
|
|
|
\f{y)svz^r-d y |
|
|
|
|
Х'п -Л пХ п =±- |
b |
2 |
^ . т у |
об |
------ = ~ |
\f{y )sm — |
dy = сп, |
||
\(p{y)sm ^-dy
К (о )= |
= ^\<p{y)sin^-dy = an, |
X '*W “ ------ |
r ~ 2 ------- |
= | \y /(y)sin ^-d y = bn. |
Решение уравнения имеет вид
X „ (x )= A „ c h ^ + B„sh ттх cnb
оb т
Подставляем данное уравнение в граничные условия, получим |
|
( |
т (* -в) |
|
Ьп |
|
* » м = — |
|
- +с. |
|
|
||
|
|
т |
|
sh та |
|
|
|
Окончательно решение исходной задачи имеет вид |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
т (х -а ) |
|
|
и(х,у) = |
х - х |
2 |
V |
^ |
bn ~ an°h |
sin |
т у |
|
■у + х |
+ £ — |
■+с„ |
|
|||
|
|
|
|
т |
та |
|
|
|
|
|
|
|
sh |
|
|
Задача 8.2. |
|
|
|
|
|
|
|
Решить краевую задачу |
|
|
|
|
|
||
|
|
Ди(х,у)= х2у, |
0 < х < а , 0< у< Ь, |
|
|
||
|
|
• ы(0,у)=0, |
и{а, у) = О, |
|
|
||
|
|
ы(*,0) = 0, |
^ ( x ,b ) = 0. |
|
|
||
Решение.
Отметим, что сложность данной задачи в том, что на трех границах зада но условие Дирихле, а на четвертой {у = Ь) - условие Неймана (нормаль ная производная от решения).
Так как в задаче однородные краевые условия, то можно сразу искать ре шение в виде и(х,у)= X(x)Y(y). Подставив в исходное уравнение и гра ничные условия, получаем задачу Штурма - Лиувилля.
рг+лдг = о,
Х{0) = 0, |
Х(а) = 0. |
|
Собственные числа данной задачи - |
Л„ |
к = 1,2,..., а собствен |
ные функции - Х п{х)= sin---- .
а
Получаем, что решение нужно искать в виде ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма - Лиувилля:
M sin“ |
- |
А=1 |
а |
Для постановки задачи необходимо разложить по этим функциям и пра вую часть уравнения:
2 v"1 • |
к ю с |
X У =У’Ъ 8к*т ---- > |
|
|
л |
к- 1 |
а |
” |
|
Z Г 2 |
“г |
х |
2 . клх j |
£*= -]■ |
sin---- ах. |
||
Па |
*' |
|
|
“ |
о |
|
|
2 а Ч - \Т ' |
402(-l)* |
4а2 |
(8.1) |
8к |
(k n f |
{knf |
|
кл |
|
Таким образом, подставляя полученное разложение в исходное уравне ние, получим:
гк(у)~{— 1 Ук(у) = У£к> |
0 <У<Ь, |
|
V а ) |
|
|
>*(о)=П'(о)=0. |
|
|
Отсюда |
|
2 |
кду |
_кяу |
|
= V “ + вке ~ - У В Ж , \кп)
Подставляем это решение в краевые условия, получаем систему для на хождения констант: