книги / Практические задания по сопротивлению материалов

ai, bi – расстояния от начала координат до точки приложения нагрузок Mi, Fi соответственно (рис. 7.13); ci, di – расстояния от начала координат до начала и конца действия распределенной нагрузки qi; 0, y0 – начальные параметры – прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки (рис. 7.14).

Рис. 7.13

Порядокопределения перемещенийпоуниверсальнымформулам:

1)определить все опорные реакции;

2)ось у направить вверх, ось z – вдоль оси балки;

3)найти начальные параметры из условий закрепления балки;

4)определить перемещения балки в заданных сечениях. Универсальные уравнения были получены интегрированием диф-

ференциального уравнения упругой линии балки ( EJx y Mиз ),

и, соответственно, метод начальных параметров имеет ряд ограничений при его применении. Метод применим исключительно для линейных стержневых систем постоянного поперечного сечения.

При использовании универсальных формул необходимо вы-

полнять следующие требования:

1. Поместить начало координат в крайнее сечение балки (левое или правое).

131

2. Знак нагрузки в уравнениях выбирается в соответствии

справилом знаков для моментов при изгибе.

3.Если распределенная нагрузка не доходит до сечения, в котором определяется прогиб, то ее следует продолжить до этого

сечения, добавив компенсирующую распределенную на-

грузку противоположного на- Рис. 7.15 правления (см. рис. 7.13, 7.15).

4. В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат и сечением, в котором определяются перемещения (иными словами, в решении учитывать только члены уравнений с положительными значениями выражений в скобках).

Следует помнить, что опорные реакции тоже внешние силы.

Пример решения задачи 7.3

Дано: на защемленную балку (см. рис. 7.5) действуют поперечные силы и изгибающие моменты: m = 5 кН·м; P = 10 кН; q = 6 кН/м. Линейные размеры балки: a = 4 м; b = 5 м.

Величина и направление опорных реакций были найдены при решении задачи 1.1: YA = –14,0 кН; mA = –83,0 кН·м.

Согласно решению задачи 7.1 балка изготовлена из стального

Найти:

а) прогиб и угол поворота свободного конца балки; б) проверить, удовлетворяет ли найденный прогиб условию же-

сткости; в) скорректировать размеры балки при необходимости.

Решение: для сравнения решим задачу двумя способами.

1-й вариант

1. Поместим начало координат в крайнем левом сечении балки, ось y направим вверх, ось z – вдоль балки вправо (рис. 7.16).

132

(сечение смещается вверх).

5. Учитывая начальные параметры, с помощью универсальных уравнений найдём угол поворота и прогиб конца балки (приz = 0 м). При решении используем только первую часть универсальных уравнений, так как выражения в скобках второй части отрицательные (см. правила).

(поворот сечения происходит по часовой стрелке).

134

Условие жесткости не выполняется. Размер сечения балки необходимо увеличить.

7. В уравнении прогибов размер сечения балки задается его моментом инерции Jx.

Выразим прогиб свободного конца балки через момент инерции его сечения:

Из условия жесткости

Швеллер с такими большими размерами (ГОСТ 8240–97) не предусмотрен. Используем для изготовления балки двутавр № 40 с Jx = 19062 см4 или два швеллера, соединенных стенками (рис. 7.17), с моментами инерции:

J*x Jx / 2 18711/ 2 9355,6 см4 .

Условие жесткости выполняется. Балка работоспособна.

2-й вариант

Для рассматриваемой задачи данный вариант является предпочтительным, так как размещение начала координат в жесткой заделке позволяет получить более простые начальные параметры.

135

1. Поместим начало координат в крайнем правом (защемленном!) сечении балки, ось y направим вверх, ось z – вдоль балки вле-

во (рис. 7.18).

Рис. 7.18

2. Составим обобщенное уравнение моментов относительно крайнего левого сечения балки (нумеруем участки справа налево):

Дважды интегрируя обобщенное уравнение моментов, получим универсальные уравнения углов поворота и прогибов сечений балки:

3.Сформулируем условия закрепления балки при выбранном расположении начала координат: при z = 0 м y(0) = 0; (0) = 0.

4.Определим начальные параметры:

136

5. Учитывая начальные параметры, с помощью универсальных уравнений найдём угол поворота и прогиб конца балки

(при z = a + b = 9 м):

(поворот сечения происходит против часовой стрелки).

(сечение смещается вверх).

6. Проверка жесткости балки и выбор размеров сечения по условию жесткости выполняется аналогично варианту 1.

Контрольные вопросы

1.Какой вид нагружения называется изгибом? Какие внутренние усилия возникают впоперечномсечении балкипри прямомизгибе?

2.Дайте определение понятий «прямой изгиб», «чистый изгиб», «поперечный изгиб».

3.Что называется нейтральной осью поперечного сечения при изгибе и где она расположена? Какими свойствами обладает нейтральная ось?

137

4.Приведите правила знаков для моментов и поперечных сил при изгибе?

5.Какими дифференциальными зависимостями связаны величины М, Q и q при изгибе?

6.Как определить изгибающие моменты и поперечные силы

всечениях балки?

7.Какая связь существует между эпюрами Q и М? Как определить экстремальное значение изгибающего момента на участке?

8.Как осуществляется проверка правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил? Какие закономерности их построения вам известны?

9.Как распределяются нормальные напряжения по поперечному сечению балки? Изобразите эпюру σ для балки прямоугольного поперечного сечения?

10.Напишите формулу для определения нормального напряжения в произвольной точке сечения балки, работающей на изгиб. Какой момент инерции входит в указанную формулу?

11.Как записывается условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе?

12.Какие три типа расчетов балки производятся на основании условии прочности? Напишите зависимости для этих видов расчета.

13.Как подобрать размер сечения балки при изгибе исходя из условия прочности? Какой параметр в условии прочности для этого используется?

14.Какие формы поперечных сечений наиболее рациональны при изгибе балок из пластичных материалов? Обоснуйте ответ.

15.Какие формы поперечных сечений рациональны при изгибе балок из хрупких материалов? Как следует располагать их по отношению к внешней нагрузке?

16.Когда в поперечных сечениях балки возникают касательные напряжения?

17.По какой формуле вычисляются касательные напряжения в поперечном сечении балки при изгибе?

18.Как распределяются касательные напряжения по поперечному сечению балки прямоугольного и двутаврового поперечных сечений при изгибе?

138

19.Запишите условие прочности балки по касательным напряжениям. В каких случаях оно используется?

20.Какие величины определяют перемещения балки при изгибе? Как определяется их знак?

21.В чем состоит суть расчета на жесткость при изгибе? Как записывается условие жесткости при изгибе?

22.Какими дифференциальными зависимостями связаны между собой внутренниеусилияи перемещения припоперечномизгибе?

23.Как выглядит дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в общем виде?

24.Из каких условий определяют постоянные интегрирования дифференциальных уравнений? Приведите примеры таких условий для консольной и двухопорной балок?

25.Как находят прогиббалкиметодом начальных параметров?

26.Напишите универсальное уравнение для определения перемещений при изгибе.

27.Напишите универсальное уравнение для определения углов поворота сечений балки при изгибе.

28.Какой параметр в условии жесткости используется для определения размеров сечения балки?

Литература: [1, п. 2.5; 2, лекц. 7, 8; 4, гл. 23].

139

8.РАСЧЕТ БАЛКИ НА ПРОЧНОСТЬ

СУЧЕТОМ СЛОЖНОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

Задача 8.1. Построить эпюры распределения нормальных и касательных напряжений в опасных сечениях балки. Проверить прочность балки с учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений. Схему балки и данные для расчета взять из решения задачи 7.1.

Порядок выполнения

1.Определить сечение балки, в котором нормальные и каса-

тельные напряжения достигают больших значений одновременно.

2.Построить эпюру распределения нормальных напряжений по этому сечению.

3.Построить эпюру распределения касательных напряжений по этому сечению.

4.Проверить прочность балки с учетом совместного действия нормальных и касательных напряжений. Сделать вывод.

5.Увеличить сечение балки при необходимости (взять следующий по номеру профиль согласно соответствующему ГОСТу).

Указания к выполнению

Расчет прочности балки в задаче 7.1 производился на основании гипотезы независимости действий поперечной силы Q и изгибающего момента Mиз по длине балки. Соответственно, нормальные σиз и касательные из напряжения, возникающие в сечениях балки, рассматривались как действующие независимо друг от друга.

Фактически напряженное состояние, при котором в поперечном сечении балки действуют одновременно нормальные и касательные напряжения, распределенные по разным законам, называется сложным напряженным состоянием и требует более сложного расчета, учитывающего совместное действие этих напряжений.

140