книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfВ работах [150, 188] результаты теоретических исследований Внука и Кнаусса [164, 201] и Шепери [184] применяются к расчету долговечности ракетных твердых топлив.
Анализируя приведенные -в обзоре работы [75, 129, 163, 164, 198—202], посвященные исследованию кинетики роста трещин на основе модели Леонова — Панасюка— Дагдейла, можно
'мм
прийти к выводу, что они имеют существенную ограниченность из-за того, что:
1)рассматривались трещины лишь с очень малыми конце выми зонами;
2)рассматривался, в основном, стационарный рост трещин (только одна задача, решенная в работе [75], не имеет этого
ограничения); 3) в большинстве работ не учитывается изменение напря
жений в концевой зоне во время роста трещины;
4)исследованы только частные задачи для областей простой геометрии;
5)в большинстве публикаций конкретные расчеты проведе ны для простейших вязко-упругих тел (тела Максвелла и Фойгта, линейное стандартное тело).
Следует также отметить, что приближенный метод, приме няемый во многих работах Внука [199—201], приводит к су щественным погрешностям.
Недавно опубликованные работы Шепери [182— 184], в ко торых предложен приближенный метод исследования нестацио нарного роста трещин нормального разрыва в вязко-упругих телах общей геометрии (произвольных /Ci), не компенсируют указанную выше ограниченность исследований по рассматри ваемой проблеме, поскольку:
1)изучены трещины только с очень малыми концевыми зо нами, без учета изменения -напряжений во время их роста;
2) исследован лишь один частный закон вязко-упругого де формирования (операторы вязкоупругости со степенными яд рами).
Отметим, что к настоящему времени совершенно не разра ботаны методы исследования кинетики роста трещин в телах сложной реологической структуры, когда раскрытие берегов трещины описывается с помощью функции от интегральных операторов наследственной теории упругости. В связи с этим нет исследований по такой практически важной проблеме, как длительное разрушение анизотропных вязко-упругих тел с тре щинами, которая может служить основой для оценки длитель ной прочности вязко-упругих композиционных материалов.
Таким образом, возникает необходимость в создании теории, позволяющей описывать кинетику роста трещин в изотропных и анизотропных вязко-упругих телах различной геометрии и реологической структуры как с малыми, так и с немалыми концевыми зонами для современных моделей вязко-упругих тел.
§ 2. ВЯЗКО-УПРУГИЕ СРЕДЫ
Линейными вязко-упругими средами называют среды, для которых физические соотношения между напряжениями и деформациями записываются в форме
°и = |
E*jkiehi> |
(2*1) |
еи = |
R*ijkiaki- |
(2*2) |
Здесь Оц, ei} — составляющие тензоров напряжений и деформаций;
Е*т >R]jkl— линейные интегральные операторы Вольтерра II |
рода, |
||
имеющие вид |
t |
|
|
|
|
|
|
== ^ i j k f i h l (0 + J E t j h l (^»т)&hl СО |
|
||
|
О |
|
|
XinflM = |
* |
dx>(т) |
|
(0+ JR uu (*. *) |
|
||
|
О |
|
|
где Е(Ш (t) — тензор функций релаксации; Rim (t) — тензор |
функ |
||
ций ползучести; E°ljkl |
и R0ljkl— мгновенно упругие |
постоянные ани |
|
зотропного тела.
Соотношения типа (2.1) и (2.2) обычно применяются в ка честве основных физических соотношений в механике полимеров
икомпозиций из них (таких, как стеклопластики, углепластики
идр.), в механике горных пород, в исследованиях ползучести не
которых видов металлических материалов при повышенных тем пературах.
Для симметричных тензоров <Uj и Eij число различных функ ций Eijki(t) и соответственно Rijhi(t) будет равным числу неза
висимых постоянных упругой анизотропии, а именно 21. Соотношения (2.1) и (2.2) получены на основе принципа
Больцмана [146], согласно которому физические соотношения теории линейной вязкоупругости имеют ту же форму, что и в ли нейной теории упругости, с той лишь разницей, что упругие по стоянные анизотропии Eijhi и Rijhi заменены линейными инте гральными операторами Е*цы и R*ijhi. Экспериментальное оп ределение функций E>ijhi(t) и Rijki(t) связано с большими труд
ностями и выполняется в основном для анизотропных сред, в ко торых имеется определенная симметрия механических свойств, что влечет за собой уменьшение числа независимых функций
Eijhi(t) и Rijhi(t).
Для многих анизотропных полимерных материалов, таких, как стеклопластики, углепластики и других, характерно нали чие в каждой точке трех взаимно ортогональных плоскостей симметрии механических свойств (ортотропия). Если для тако го тела направить оси координат хи х2, х3 вдоль главных осей
ортотропии, которые образованы пересечением трех взаимно ор тогональных плоскостей симметрии механических свойств, то в том случае механические свойства симметричны относительно
плоскостей хи х2\ х2у х3\ хи и уравнения |
(2.2) |
можно |
записать |
||
так: |
|
|
|
|
|
«и == *цц"11 + |
^1122^22 “Ь ^U33^33t |
е12 = |
^1212^*2» |
|
|
е 22 = ^1122^11 |
^2222^22 “Ь |
*^2233^33» |
823 = |
^2323^23» |
|
833 = = ^1133^11 " Ь |
^2233^22 " Ь |
^3333^33» |
831 = |
^3131^31* |
( 2 - 3 ) |
Отсюда следует, что ортотропный вязко-упругий материал ха рактеризуется девятью независимыми функциями Rijhi(t). В рассматриваемом случае касательные напряжения вы, а2з, (Тз1 в
плоскостях симметрии вызывают только соответствующие им де формации сдвига. Нормальные напряжения, действующие вдоль главных осей ортотропии, сдвигов не вызывают.
Ввиду того, что решение граничных задач анизотропной тео рии вязкоупругости связано со значительными математически ми трудностями, зачастую прибегают к различным упрощающим предположениям относительно реологического поведения мате риала.
Остановимся на некоторых из них. Таким существенным уп рощением задачи есть предположение о несжимаемости мате
риала. В этом случае уменьшается число независимых постоян ных материала. Так, для среды с анизотропией общего вида из условия несжимаемости 0 = ец+б22+езз=О и соотношений (2.2)
следует шесть зависимостей между операторами материала RijM= 0 и, следовательно, число независимых операторов сокра
щается до пятнадцати.
Однако это предположение надо использовать осторожно, ос новываясь на экспериментальных данных, поскольку произволь ное введение этого допущения может привести, как показано в работе [135], к существенным погрешностям.
На основе экспериментальных данных в работах [13, 14] был сделан вывод, что для стеклопластиков с взаимно ортогональ ным направлением армирования (СВАМ и др.) ползучесть вдоль направлений армирования (являющимися осями анизотропии х± и х2) проявляется значительно меньше, чем при сдвиге. Поэтому
для таких материалов ряд интегральных операторов можно за менить упругими константами материала.
В случае плоского напряженного состояния (сгзз=(Т2з=сгз1=0) уравнения (2.3) с введением указанного упрощения приведутся
к виду |
|
|
е11= |
^1111а11 + |
^1122а22» |
^22 ^ |
^ 1122^11 + |
^ 2222° 22» |
*12 = |
^*212а12* |
(2-4) |
Здесь присутствует только один интегральный оператор что существенно упрощает решение граничных задач вязкоуп
ругости на основе физических соотношений (2.4). Имеются и другие упрощающие предположения, когда пренебрегают ползу честью только вдоль одного из направлений симметрии механи ческих свойств. Такое упрощение было сделано в работах [70, 128] применительно к исследованию ползучести однонаправлен ных стеклопластиков. В этом случае физические соотношения ти
па (2.4) содержат два интегральных оператора. |
(2.1) |
|
Если вязко-упругая среда изотропна, то соотношения |
||
можно представить в форме |
(2.5) |
|
aa =A*enJ ih + 2M*eik, |
||
где Л*/(0 = МО / (0 + |
J Л (t, х) / (т) dx, |
|
|
(Г |
|
M*f (t) = |
Но (() f (t) + J M (t, T)f (X) dx. |
(2.6) |
0
Ядра Л (0 и M (t) являются положительными монотонно убы вающими функциями своих аргументов. При t— voo эти функции
•ассимптотически стремятся к нулю. При отрицательных значедиях аргумента функции A (t) и M (t) тождественно равны нулю.
Операторы Л* и М* в общем виде (2.6) применяются для
описания деформирования стареющих вязко-упругих сред, к
.которым относятся такие материалы, как бетон, некоторые виды полимеров и др.
Во многих случаях соотношения (2.6) можно |
представить |
||||
так: |
|
|
|
|
|
Л*/(0 = |
*о [/(0 + |
f A (/ |
т) f (т) dxl |
, |
|
|
L |
о |
J |
|
(2.7) |
M*f (0 = |
f if) + |
j М i t - |
х) f (x) drj |
|
|
Здесь Яо и цо — мгновенно упругие постоянные Ляме. Поскольку ядра операторов (2.7) имеют аргументом разность t—т^О , то в
этом случае соотношения (2.5) будут инвариантны относительно начала отсчета времени. Соотношения (2.5) можно также пред ставить в форме
S u = 2G*9i},
|
Зогт = к*е |
(2.8) |
|
|
( / ,/= 1 ,2 ,3 ) . |
|
|
Здесь Stj = al} — сгт бг/ — девиатор напряжений; Эи = |
0 |
||
еа -----g -6 u — |
|||
девиатор деформаций; ат = |
(оц + <хи + <*зз)> |
|
|
G*9l} = |
G09l3 + |
{ Г (/, т) Эа (т) dx, |
(2.9) |
|
|
О |
|
|
|
t |
|
х*б= |
х0е + |
J у (**т) 0 (т) dx> |
|
О
где Go — мгновенный модуль сдвига; н°=/Со"1; Ко — мгновенный
модуль объемной деформации. Обратные уравнения по отноше нию к (2.8) запишутся так:
2Эи = П*5|у, |
(2.10) |
0 = 3К*от.
Здесь П* — оператор, обратный G*; К* — оператор, обратный
х*, характеризующий объемную ползучесть и представляемый в виде
K*f = K J (t) + J К (t, Т) f (т) dx. |
(2.11) |
О
Интегральные операторы, относящиеся к различным видам напряженного состояния, связаны между собой такими же за висимостями, как и соответствующие упругие постоянные. На пример:
= |
(2. 12) |
где v* — оператор поперечной ползучести; Е* — оператор ре
лаксации.
Для уменьшения числа операторов при решении конкретных задач применяют различные упрощения.
В некоторых случаях можно приближенно положить v*==v.
Тогда имеем |
|
Е* = -£*- G*, K * = (3 — -pjD *. |
(2.13) |
Здесь D* — оператор, обратный Е*. Как следует из |
(2.13), опе |
раторы Е* и К* отличаются соответственно от G* и D* лишь по
стоянными множителями.
Другим распространенным упрощением является предполо
жение о несжимаемости |
материала, когда 0 = 0. |
В этом случае |
|
операторы П *, D* и G*, Е* отличаются только числовым мно |
|||
жителем: |
|
Е* ='3G*t |
|
II* = |
3D*, |
(2.14) |
|
При этом |
v* = |
v = 0,5. |
|
|
|
||
Наиболее употребительной упрощающей гипотезой, соответ ствующей закономерностям деформирования многих вязко-уп ругих материалов, таких, как полимеры и композиции из них, яв ляется предположение об упруго сжимаемом материале. Соглас но этому предположению К*= К = const, откуда следуют простые
зависимости между реологическими операторами:
п* = 3D * - K , v* = - '-(l -К Е * ), |
|
||
V♦ |
1— 2v |
Е*. |
(2.15) |
|
2v |
|
|
В одномерном случае реологическое соотношение (2.2) запишет ся так:
e = - i - ( l + R *)o. |
(2.16> |
Применительно к одноосному растяжению е — продольное удли нение; а — напряжение; Е0— модуль мгновенной упругости; R * — интегральный оператор Вольтерра вида
t |
|
R*u = ^ R { t,x )u (т) dx. |
(2.17) |
О
Уравнение (2.16) есть интегральное уравнение Вольтерра вто рого рода. Решение его представим в форме
<х = £ 0(1 — Р*) е. |
(2.18) |
Здесь Р* — резольвентный оператор Вольтерра, ядро этого опе ратора P (t, т) называется резольвентой ядра R (t, т).
В данном случае R (t, т) называют ядром ползучести, P(t, т ) — ядром релаксации, поскольку с помощью этих ядер
описываются эксперименты на ползучесть и |
релаксацию |
мате |
риалов. |
|
|
Для ограниченных операторов справедливо соотношение |
||
ао |
|
|
(R* • 1)*=оо = j R (t, т) dx = Roa = |
const. |
(2.19) |
о
В этом случае соотношения (2.16) при t—т->оо можно записать в
виде
где Еоо—длительный модуль, который представляется так:
£ <в= £ 0(1+ 7?в>Г 1. |
(2.20) |
Приведем некоторые наиболее употребительные ядра инте грального оператора (2.17) и их резольвенты;
1; Экспоненциальное ядро имеет вид
R (t — x) = be-W -x\ |
(2.21) |
где Ху р — реологические постоянные.
Вязко-упругое тело, поведение которого описывается соотно шением (2.16), с ядром (2.21) называют линейным стандартным телом или телом Кельвина. Модель этого тела, состоящая из
двух упругих элементов £i и Е2 и вязкого элемента т], показана
на рис. 6.
Реологические параметры Я и р связаны с параметрами мо дели следующим образом:
X
где тГ1— время релаксации материала.
Резольвента ядра (2.21) представляется в виде
Р(/ — Т) = хе-У«-Ъ,
причем у= Я + р .
Длительный модуль Е<х>запишется так:
• __ |
£ 0р_ |
ю ” |
Я + Р • |
(2.22)
(2.23)
(2.24)
Отметим, что в большинстве случаев ядро (2.21) недостаточ но хорошо описывает экспериментальные данные, особенно в на чальные моменты времени. Для лучшего описания поведения вяз ко-упругого материала в началь ные моменты времени применя ют слабосингулярные ядра.
2. Степенное ядро записыва ется так:
(2.25)
Ядра этого типа обычно на зывают ядрами со слабой сингу лярностью или ядрами со слабой
особенностью. |
Эта особенность |
|||
состоит |
в том, |
что при |
£-*-О |
|
R ( t ) - + оо, |
что |
соответствует |
бес |
|
конечно |
большой |
скорости |
де |
|
формации |
в момент приложения |
|||
нагрузки, а это качественно согласуется с экспериментальными данными.
Резольвентой ядра (2.25) является функция
Г а - х)= ( - 1)"+1 ХПГ'1(р)г(7р)'с)П9~1 • |
<2-26) |
Л=»1 |
|
где Г(Р) — гамма-функция.
При р = 1 из (2.25) следует
R(t — т )= Ь .
Это простейший случай, соответствующий телу Максвелла.
3. Одной из разновидностей степенного ядра есть ядро Абе
ля, имеющее вид |
|
Я (* - т ) = Я/о ( /~ т ) = Я . 4 ^ £ 1 , 0 < а < 1 . |
(2.27) |
Резольвентой этого ядра яляется дробно-экспоненциальная функ ция Ю. Н. Работнова [112] при р = — 1.
4. Дробно-экспоненциальное ядро, предложенное Ю. Н. Работновым, имеет вид
* « - * - Ч . * « - * - * * - 4 ^ |
■ |
л=0 |
(2.28) |
|
где Я >0, р > 0 , 1> > а^ 0 — параметры, определяемые из экспе риментов на ползучесть и релаксацию материалов.
Оператор Э*а (—р) с дробно-экспоненциальным ядром |
(2.28) |
связан с оператором /*а следующим соотношением: |
|
т - ^ - = 1 + р 5 ; ( - Р ) . |
(2.29) |
С ростом (t—т) несколько первых членовряда(2.28) нео
граниченно увеличиваются; при этом первый член становится преобладающим и для малых t
з « < - в = т т г 5 г “ '.- |
е - 30) |
Приведем несколько выражений, устанавливающих связь дробно-экспоненциальной функции с некоторыми специальными функциями математической физики.
Функция Миттаг — Леффлера, имеющая вид
со
г ц Г + ц ■ |
<2 -3 » |
7*=0
связана с дробно-экспоненциальной функцией следующим соот ношением:
з ; ( - Р)• 1 = -i- {1 — E i-a [— р (*— *)1“ “]}. |
(2.32), |
Если а = |
-----1, |
где k — целое число, то |
|
||
•э0 ( - р,;о = \ Л |
Лк-кп-х |
|
|
||
<2* |
Р |
+ (— Р)2*-1 exp [(— Р)2* t] X |
|||
|
• Я |
Г( т г ) |
|
|
|
|
xf' + S^-r-. f ‘) |
(2.33) |
|||
|
L |
п—\ |
|
|
|
Здесь 1(т, г) — неполная гамма-функция: |
|
||||
|
' С |
М - - Г |
|
(2.34) |
|
|
о |
|
|||
|
|
|
|
|
|
В частности, при k = l 9а = 0 ,5 из |
(2.33) следует |
|
|||
Э | (Р, t) --- ^ = - + |
рехр фЧ) [1 + Ф[(р V T )], |
(2.35) |
|||
Здесь Ф(г) — интеграл вероятностей:
г
Ф( г ) = ± $ е - * с 1 т .
Вработе [ИЗ] даны таблицы, позволяющие вычислить дробно-экспоненциальную функцию и интеграл от нее.
Приведем также некоторые аппроксимации 3*а-операторов.
Вработе [25] для малых времен t получена следующая аппро
ксимация:
(2.36)
где QP« 1, Q = tl~a [Г ( 2 - а ) Г 1-
Для больших значений аргумента справедлива аппроксима ция
1 |
Г [ 1 + ( 1 —ка)(1 — п)1 |
(2.37) |
л=2
Соотношение (2.16) при cr=const описывает ползучесть об разца из вязко-упругого материала. При этом для реальных вяз