книги / Механика разрушения вязко-упругих тел
..pdfРассмотрим случаи (см. рис. 14, 16— 18), характеризуемые коэффициентом интенсивности напряжений в форме (13.1). В этом случае соотношение (13.1) запишется так:
/<i = k p 0(1 + у sin (ot) V n l . |
(19.2) |
Ap
где y = — .
Рассмотрим далее концепцию o = const. В рамках такой по
становки можно полагать, что скорость роста трещины / пред ставима в виде
/ — /у -}- /ш |
(19.3) |
где /у — скорость роста трещины вследствие усталости; /п — ско рость роста трещины, обусловленная ползучестью материала.
Вычислим величины, входящие в правую часть уравнения (19.3).
1. Для определения скорости роста трещины, обусловленной усталостными явлениями в концевой зоне трещины, воспользу емся уравнением, полученным в работе [141] и имеющим следу ющий вид:
|
dly |
4РК?0ДК |
|
|
(19.4) |
|
|
dN ~ |
|
|
’ |
|
|
|
|
|
|
|
||
где N — число циклов; А/С — изменение |
коэффициента |
интен |
||||
сивности |
напряжений в цикле; р — постоянная, имеющая раз |
|||||
мерность длины и определяемая из эксперимента. |
|
|
||||
Исходя из соотношения |
(19.2) |
и учитывая, что N ~ ^ |
пред |
|||
ставим уравнение (19.4) в виде |
|
|
|
|
||
|
|
т М |
т 5 г ’ |
|
|
<19-5> |
где х = -j- — безразмерная длина |
трещины; ро = - ^ ; |
/* — крити- |
||||
веская длина трещины при р = р0. |
|
|
|
|||
2. |
Исследуем развитие трещины |
вследствие |
ползучести ма |
|||
териала. Скорость роста трещины в этом случае определяется уравнением (12.6). Будем рассматривать случай не высоких час
тот циклической нагрузки |
со. Соотношение (12.3) можно |
пред |
ставить так: |
|
|
р (т) = р (it) + р (t) (т — t) = р (t) + у(о (т — t) соз Ы. |
(19.6) |
|
Ввиду малости величины |
(т—t) вторым слагаемым в (19.6) мо- |
|
жно пренебречь и приближенно считать p ( x ) ^ p { t ) t т. е. в этом
случае справедливо более простое уравнение (12.7), которому будем следовать в дальнейшем.
В качестве примера рассмотрим вязко-упругое тело, дефор мирование которого описывается Эа*-операторами Ю. Н. Работнова. Приближенное решение уравнения xj-
(12.3) для этого случая имеет вид (17.10). Исходя из этого решения можно записать скорость роста трещины в этом случае в следующем виде:
1
d ln _ |
1W / |
Г |
(1 + |
V Sin a>t)2 I — а / » |
|
|
|
||
dt |
1 |
[ |
I* — (1 + |
ysinco/)2 / J |
(19.7) |
о.б |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xv/ _ |
л2/(2Р2 |
|
(*+Т)(т«^)Г' |
|
|
||||
1 — |
8аг |
|
|
|
|||||
|
а = (1 + |
Xk (а) |
|
|
so |
т |
|||
|
|
|
|
|
Рис. 45 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Переходя к переменной я, представим |
(19.7) |
в форме |
|
||||||
|
|
|
d x n _ |
VV7 |
Г |
(1 + ysino)/)2 * — а |
Ы=. |
(19.8) |
|
|
|
|
dt |
1 |
[ |
1 — (1 +vsino)02* |
|||
3. Разделив |
обе части уравнения |
(19.3) |
на /* и подставив в |
||||||
него соотношения (19.5) и (19.8), получим дифференциальное уравнение, описывающее рост трещины в вязко-упругом теле под действием циклической нагрузки
|
(1 + V sin co/)a.t — a |
\_ |
|
|
|
— |
—a |
|
|
(19.9) |
|
= г , |
r |
x + W.2 1 |
— ДС |
||
dt |
Wl 1 — (1 + у sin (at)2x |
|
где W2= y $ 0k.
Отметим, что постоянные Wi и W2 имеют одинаковую раз
мерность [ч-1]. |
|
|
|
от |
|
На рис. 45 приведены зависимости безразмерной длины х |
|||||
времени, полученные численным интегрированием |
уравнения (19.9) |
||||
при следующих параметрах: a = |
0,5, X =0,052 ч“ 0,°, р = 0 ,1 2 ч-0,5, |
||||
~- = |
0,01, у = 0,05 для частот |
0)=='з|йГч~13 |
(сплошная линия) |
и |
|
<и = |
-J2 ч~1 (штриховая линия), |
когда параметр |
S = -р-принимает |
||
значения 0,5; 0,6; 0,7.
Г л а в а IV
РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН В АНИЗОТРОПНЫХ ВЯЗКО-УПРУГИХ ТЕЛАХ
Широкое применение в промышленности различных видов композиционных материалов, таких, как стеклопластики, углепластики и др., а также проблемы разрушения горных по род, вызывает необходимость разработки теории разрушения и долговечности анизотропных вязко-упругих тел.
Если рост трещин в изотропной вязко-упругой пластине, как следует из предыдущих глав, можно описать с помощью одного интегрального оператора, то для описания развития трещин в анизотропном вязко-упругом теле необходимо рассматривать функцию от интегральных операторов, что значительно услож няет задачу. Этим, по-видимому, объясняется тот факт, что ис следований по кинетике роста трещин в анизотропной вязко-уп ругой среде до настоящего времени не было.
В этой главе, следуя подходу, изложенному выше (глава II), исследуется кинетика роста трещин в вязко-упругих анизотроп ных пластинах, деформирование которых описывается с помо щью Эа*-операторов [111], и приложение полученных результа тов к исследованию долговечности композиционных материа лов.
§ 20. УРАВНЕНИЕ КОНТУРА ТРЕЩИНЫ В ВЯЗКО-УПРУГОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ
Рассмотрим вязко-упругую ортотропную пластину со сквозной трещиной нормального разрыва длиною l(t) вдоль оси Ох (оси ортотропии направлены соответственно вдоль осей Ох и Оу), находящуюся под длительным воздействием постоянных нагрузок р(х), нормальных плоскости расположения трещины.
Как показывают эксперименты [141], разрушение многих анизотропных материалов, таких, как стеклопластики, хорошо описывается с помощью бл-модели [105]. Заменим согласно этой модели узкие зоны, прилегающие к концам трещины, где прои зошло частичное разрушение (расслоение) или пластическое те чение материала, разрезами длиною d, на берегах которых дей
ствуют равномерно распределенные самоуравновешенные напря жения о.
Таким образом, необходимо исследовать напряженно-дефор мированное состояние вязко-упругой ортотропной пластины с разрезом длиною 2L вдоль оси Ох, к берегам которого приложе
ны постоянные во времени самоуравновешенные напряжения
,( * ) = ! р(х),
р(х) — а, l ( f ) < \ x \ ^ L ( t ) .
Здесь L (t)= l(t)+ d (t) .
Граничные условия в этом случае имеют вид
Gy (х, 0) = — q (х), %ху (х, 0) = 0
(20. 1)
(20.2)
при | x | < L .
В силу симметрии эта задача приводится к задаче для полу
плоскости при следующих граничных условиях: |
|
|
||
|
| |
6(*) |
|лг|< L, |
|
( * , 0 ) = 0 , — ОО < X < |
- { - О О , V (X , 0 ) = | |
2 |
||
|
||||
|
I |
0, |
1*1 > L , |
|
|
|
|
(20.3) |
|
где v(x, 0) — нормальное |
перемещение границ полуплоскости; |
|||
6(х) — раскрытие берегов трещины.
Полагаем, что выполнены все условия, обеспечивающие при менимость принципа Вольтерра. Тогда для решения поставлен ной задачи необходимо получить решение соответствующей уп ругой задачи, которая сводится к задаче Римана—Гильберта и
.легко решается методом Л. А. Галина [24]. Согласно этому ме тоду вводятся две аналитические функции
00 |
|
|
НМ2)= j |
, |
(20.4) |
— оо |
|
|
оо |
|
|
ВМ *)= j **„(*.о ) - ^ - .
Поскольку у нас везде на границе хху (х, 6) = 0 , то W2(z) = 0 .
Следовательно, имеем частный случай задачи Римана—Гильбер та для функции Wi(z) с граничным условием
|
Re W1 (х — i0) = I |
\X\ < L' |
(20.5) |
||
|
|
|
1 0 , |
|x| >L. |
|
Здесь fij = |
l/ £'11£'o |
и p2 выражаются |
через упругие |
посто |
|
2jpi |
“ p22) , Px |
||||
янные ортотропного материала следующим образом: |
|
||||
PA -lA fj.. |
Р, + Ь |
- | / 2(1 |
+ |
(20-б> |
|
где Ец и Е22— модули упругости соответственно вдоль осей х и У\ G12 и V2i — соответственно модуль сдвига и модуль попереч ной деформации в плоскости ху.
Отметим, что величины рАи Рг связаны с корнями уравнения (4.21) следующими соотношениями:
Pi = iPi, ц2= ф 2. |
|
|||
Решением этой задачи, согласно |
[24, 45], служит функция |
|||
|
|
Г (*) |
|
(20.7) |
|
|
|
|
|
|
— L |
|
|
|
Тогда по формуле Сохоцкого—Племеля [97] из (20.7) имеем |
||||
|
К а д , |
Г |
a- ®di |
|
0„ (X, 0) : |
|
I |
6- * |
(20 .8) |
2я(рх + р2) _J |
||||
Подставляя (20.8) в граничное условие (20.2), получим син гулярное интегральное уравнение относительно функции 6'(х)
|
5 3 J t |
' - 5 |
|
(20 9) |
|
|
|
||
Решение этого уравнения, следуя работе [132], можно пред |
||||
ставить в виде |
|
|
|
|
______f |
|
|
• |
, |
Ь'(Х): |
VL? —x* |
х — 1 ь |
Y L? —X* |
|
я / £ и -Я22 J |
|
|||
— L
(20. 10)'
где с — произвольная постоянная.
126
Полагая из физических соображений с = 0 |
(условие плавнос |
ти смыкания берегов трещины) и интегрируя |
(20.10), запишем |
уравнение контура трещины в упругой ортотропной пластине в
виде
|
L |
|
= |
j q(l) Г0(L, *,g)dg, |
(20.11) |
где r 0(L, х, I) имеет вид |
(3.17). |
|
Вязко-упругое раскрытие берегов трещины в ортотропнойг пластине получим на основе принципа Вольтерра из соотноше
ния (20.11) в виде |
|
|
|
e(x,Q = |
- T , J |
<7d )Г (L, х, |) dg, |
(20.12) |
|
—L |
|
|
где |
|
|
|
T,y(t) = T 0 |
y (t) + \j R(t — x)y(x) dx |
(20.13) |
|
|
L |
o |
J |
— интегральный оператор с разностным ядром, состоящий из аг регата операторов в форме
(20.14)
Здесь Ен*, GI2*, Е22*, V21* — временные интегральные операторы
вида (8.5), описывающие вязко-упругое деформирование мате риала. Сравнивая формулу (20.12) с аналогичным выражением для изотропного случая (8.1), видим, что они отличаются толь
ко структурой интегрального оператора 71*.
§ 21. РОСТ ТРЕЩИНЫ В ВЯЗКО-УПРУГОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЕ
Между поведением при разрушении изотропного и анизотропного материалов существует сильное различие, состо ящее в том, что их прочности являются соответственно скаляр ной и тензорной величинами. В изотропных материалах проч ность не зависит от пространственных координат, или ориента ции нагружения, а зависит только от напряженного состояния (при постоянных внешних условиях, температуре и скорости на гружения). В анизотропных материалах прочность зависит не только от величины компонент тензора напряжений, но также и
от угла между главными направлениями тензоров напряжения и прочности.
Вследствие этого развитие трещины в анизотропном теле да же под действием нагрузок, нормальных плоскости ее располо жения (нормальный отрыв), в общем случае не будет прямоли нейным. Однако прямолинейность развития может быть достиг нута, если направление развития трещины (где разрывающие напряжения достигают максимальной интенсивности) будет со впадать с направлением, в котором прочность материала мини мальна.
В дальнейшем будем полагать, что трещина при движении не меняет направления и развивается прямолинейно.
Так же, как и ранее, следуем двум концепциям (см. главу II) a= const и d=const. Развитие трещины в вязко-упругом ани зотропном теле будет носить тот же качественный характер, что
ив изотропном вязко-упругом теле, и состоять из инкубацион ного периода и периода медленного квазистатического роста трещины, который для неустойчивых трещин переходит в период динамического развития трещины.
Всилу аналогии между соотношениями (20.12) и (8.1), опре деляющими вязко-упругое раскрытие для изотропного и ортотропного случаев, а также в силу единого подхода основные урав нения для инкубационного периода и периода медленного разви тия трещины будут иметь тот же вид, что и в изотропном случае
иопределятся соответственно уравнениями (8.7), (9.3), (10.1).
Поэтому долговечность анизотропной |
вязко-упругой пласти |
ны с макроскопической трещиной (при |
d<^l) будет также опре |
деляться длительностью основного периода медленного роста трещины. Если деформирование материала пластины описыва ется ограниченными интегральными операторами [ 112], то в
рассматриваемом случае соотношение для определения безопас ной нагрузки рб имеет вид
Ьи |
Тт |
|
|
к |
__ _“ |
(21. 1) |
|
6(/».pg) |
Г0 ’ |
||
|
где То и Too — мгновенное (t=0) и длительное (t=oo) значе
ния функций 7V1. Безопасные коэффициенты интенсивности на пряжений для рассматриваемых концепций определяются соот ветственно из соотношения
(21.2)
d = const.
Если коэффициент интенсивности напряжений записывается в виде (8.13)7то безопасные параметры нагружения можно пред
ставить так: |
, |
|
р6= |
р* ("5^“] 2 0 = const> |
(21.3) |
|
d = const.
Знание величин р« и /С® имеет практическую ценность при прогнозировании прочностных свойств вязко-упругих компози
т у
у
(Z777ZZ)
7Z> <Z27777Z> <ZZZZZZ>
<ZZZZZ2>
<ZZZZZZ2>
Рис. 46 |
Рис. 47 |
тов, так как позволяет с помощью оптимального подбора рео логических свойств связующего, концентрации наполнителя, гео метрии волокон уменьшить докритический рост образовавшихся
трещин.
В качестве примера рассмотрим задачу [27] о разрушении пластины из композиционного материала, состоящего из вязкоупругого связующего и системы однонаправленных дискретных волокон в виде вытянутых эллипсоидов вращения, расположен ных хаотически. Пластина ослаблена трещиной, расположенной вдоль одной из осей упругой симметрии композита, как указано на рис. 46 и 47. Будем моделировать рассмотренный композит квазиоднородной ортотропной вязко-упругой средой с приведен ными характеристиками (см. § 23). Упругие приведенные моду ли для такой среды получены в работе [136]. На рис. 48, 49 при ведены кривые зависимости величины Го, рассчитанные на ос нове данных работы [136], от объемной концентрации волокон с и геометрического параметра ft, характеризующего форму во
локна (ft=jj, Ь и а — соответственно продольная н поперечная
оси эллипсоида вращения), когда трещина расположена парал-
лельно армирующим волокнам. На рис. 50, 51 приведены те же зависимости, когда трещина расположена в связующем нормаль но армирующим волокнам.
Особенности деформирования вязко-упругих композицион-
где ядро Э* (—Pi) определяется соотношением (2.28). Числен
ные расчеты были проделаны для композиционного материала, где в качестве связующего взята эпоксидная смола ЭД-6 со следующими реологическими характеристиками:
а .= 0,5,' р= 0,12 ч-0'5 X = 0,052 ч-0,5.
Для стеклопластика с указанными реологическими характе ристиками на рис. 52—55 приведены значения безразмерной ве
личины в зависимости от геометрии волокон и их объемного
содержания соответственно для следующих двух случаев:
1) трещина расположена параллельно армирующим волок нам (рис. 52, 53) ;
2) трещина расположена нормально армирующим волокнам (рис. 54, 55).
Из анализа полученных результатов следует, что в первом
случае величина —■практически не зависит от геометрии воло-
В последующих параграфах исследуем кинетику докритического роста трещин нормального разрыва в вязко-упругих анизо тропных материалах.
§ 22. РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН В МАТЕРИАЛАХ СО СДВИГОВОЙ ПОЛЗУЧЕСТЬЮ
Как показали эксперименты [13, 14], в некоторых вяз ко-упругих ортотропных материалах можно пренебречь ползу честью вдоль осей ортотропии и учитывать только ползучесть при сдвиге.