книги / Остаточные напряжения теория и приложения

совместны, поскольку им соответствует реализуемый в евклидовом пространстве процесс разгрузки. Деформация в момент полной разгрузки r)ij = etj + е$. Пусть теперь ptj = 0. Тогда из (2.11)

упругих составляющих тепзора деформации efj в момент т = т^.

ны и i]fj, а следовательно, существует действительное поле перемещеиий, такое, что

Для остаточных напряжений справедливы однородное уравне­ ние равновесия (2.1) п граничное условие (2.2), откуда сразу сле­

Из (2.16) ввиду непрерывности рц и положительной определен­

ности матрицы Cijli следует равенство (2.9).

Таким образом, доказанная теорема утверждает, что если после разгрузки имеются остаточные напряжения pjj, то соответствую­ щие им упругие остаточные деформации r|fj и упругие деформа­

ции до разгрузки efj несовместны. В процессе упругой разгрузки из последних выделилась некоторая совместная часть. В свою

очередь, из rjfj можно, вообще говоря, вновь выделить совмест­ ные деформации и сделать это бесчисленным числом способов. Скажем, из формул (2.6) — (2.8) следует, что любое поле деформа­ ций, представляемое константой или линейной функцией коорди­ нат, является совместной деформацией. В связи с этим возникает вопрос, чем отличаются получающиеся после разгрузки несов­ местные упругие деформации от других, кинематически возмож­ ных.

Для ответа на этот вопрос в § 2.3 будут рассмотрены вариа­ ционные принципы для оотаточных напряжений и деформаций.

11

2.2. Теорема единственности для остаточных напряжений

Теорема. Если задача (А) определения остаточных напряжений имеет решение, непрерывное вместе со своими первыми производ­ ными по координатам, то это решение при заданном распределении пластических и температурных деформаций единственно [24].

Заметим, что указанная теорема не является теоремой о суще­ ствовании решения, а лишь о его единственности.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Запишем для самоуравновешениой системы остаточных напряжений уравнение виртуальных работ. Для этого умножим каждое уравнение из (2.1) на виртуальное

перемещение и* (х) (t = 1, 2,3), непрерывное вместе со своими первыми производными по координатам, просуммируем по i и проинтегрируем по объему области Р, причем указанные пере­

мещения и* не обязательно являются решением задачи (А):

ковым пластическим и температурным деформациям. Тогда (2.17) примет вид

Ввиду положительной определенности матрицы Cijki, соот­ ветствующей тензору коэффициентов податливости, и непрерыв­

12

Заметим, что решение задачи (А) позволяет, как доказано, най­ ти единственное распределение остаточных напряжений и дефор­ маций, если таковое существует. Что же касается определения остаточных перемещений, то, согласно формуле Чезаро [55], их можно найти с точностью до перемещения среды как твердого те­ ла. Для определения соответствующего слагаемого и0 + © X X (г — v0) [55, с. 64] пужио указать условия закрепления тела. Тогда поле перемещений можно определить однозначно.

2.3. Экстремальные вариационные принципы для остаточных напряжений и деформаций]

Доказательство экстремальных принципов в механике сплошной среды обычно проводят с помощью цепочки неравенств, делая при этом некоторые искусственные построения. Ниже приводится иной подход, позволяющий несколько упростить доказательство

Выделим в Ь множество А тензоров, имеющих непрерывную про изводную первого или второго порядков (в зависимости от поряд­ ка производной в нижеследующих ограничениях) и удовлетворяю­ щих линейным ограничениям типа

Ё + Ё Ьф Ё Сцы ~ ■+ d = 0. (2.23)

Сохраняя линейность, можно ввести в (2.23) производные и дру­ гих порядков.

13

что Ф обладает свойством строгой выпуклости, т. е.

Докажем следующую теорему: локальный минимум функцио­ нала Ф является его единственным глобальным минимумом. Ана­ логичное утверждение доказано при поиске минимума выпуклой функции в n-мерном евклидовом пространстве [35, 119].

Для доказательства заметим, что из определения строгого локального минимума Т* вытекает, что существует такое множе­ ство В d А , что

То, что Т е 4 , следует из выпуклости А . Возможность нахожде­

что и доказывает утверждение о глобальном характере локального минимума Ф (Т*).

Заметим, что единственность этого глобального минимума сле­ дует из (2.25), так как если значение Ф в глобальном минимуме Ф* и Ф (ТО)) = Ф (ТО)) = Ф*, то получим Ф (Т) < Ф*, что противоречит глобальности минимума Ф*.

В механике сплошной среды часто встречаются функционалы

где Cijjii — положительно определенная матрица.

Функционал Ф удовлетворяет условию (2.25) строгой выпук­

После интегрирования по области D получим (2.25). Добавле­ ние к функционалу (2.28) слагаемых линейных по Т не изменяет свойства (2.25) ввиду свойства аддитивности выпуклых функций.

При получении экстремальных вариационных принципов

14

механики сплошной среды воспользуемся уравнением виртуаль­

справедливым для любой системы напряжений вц, уравновешива­ ющей заданные в объеме V массовые силы и заданные на по­ верхности S поверхностные нагрузки P t, и для любой независимой от первой системы перемещений и* и деформации efj . Для полу­ чения всех экстремальных принципов из работ [24, 36, 40, 42] достаточно, наложи» определенные условия па допустимые функ­ ции, записать (2.29) в дифференциальной форме, после чего (2.29) приводится к виду 8Ф = 0.

При условии б2Ф > 0 имеем строгий локальный минимум на решении исходной краевой задачи. Из выпуклости Ф и линейности ограничений па допустимые функции из вышеописанной теоремы сразу следует утверждение о глобальном характере экстремума функционала Ф.

Для получения экстремального принципа для остаточных де­ формаций наряду с истинным полем остаточных перемещений Ui

циальной энергии П в классе совместных деформаций (удовлет­ воряющих уравнениям (2.7)) строгий локальный минимум.

Для получения альтернативного принципа наряду с действи­ тельным распределением остаточных напряжений pi;- рассмотрим бесконечно близкое к нему статически уравновешенное состояние

15

определенный в классе .самоуравновешенных остаточных напря­ жений р^, имеет строгий локальный минимум на решении задачи (А); функционал (—Ф) имеет строгий локальный максимум.

Применяя теорему, доказанную в этом параграфе, можно ут­ верждать, что локальный минимум для функционалов П и Ф является единственным глобальным.

Подсчитав значения функционалов П (rjVi) и Ф (р£) на дейст­ вительных полях остаточных деформаций v\tj и напряжений pijt получим

Таким образом, при заданных пластических и температурных деформациях получаем двустороннюю оценку потенциальной энергии, обусловленной остаточными напряжениями

Полученный результат позволяет ответить на вопрос,- поставлен­ ный в конце § 2.1: чем отличается действительное поле несов­ местных упругих деформаций после разгрузки от других, кинема­ тически возможных. Мы установили, что действительное поле со­ общает глобальный минимум потенциальной энергии остаточных напряжений. Таким же образом легко доказываются минималь­ ный принцип для напряжений упругопластического материала, максимальный принцип для деформаций упругопластического те­ ла и другие экстремальные принципы из работ [24, 36, 40, 421.

Рассмотрим далее простой пример решения задачи определе­ ния остаточных напряжений с помощью экстремальных прин­ ципов. Система состоит из двух разнородных стержней одинако­ вой длины 1Х= l2 = 1, скрепленных по торцам. Индексы 1 и 2 относятся соответственно к первому и второму стержням. Пред­ полагается, что изгиб стержней запрещен. Площади сечений

16

стержней для простоты положим Sx = S2 = i. Предположим, что при растяжении (или сжатии) оба стержня получили одинаковую деформацию в (рис. 2.2). Отрезки на рисунке равны следующим величинам:

запишем выражение для потенциальной энергии остаточных на­ пряжений

+*(■$—тЛ-

17

Допустим теперь, что массовые силы изменились до значения F** а поверхностные нагрузки — до значений Pf, причем во всех точ­ ках тела произошла упругая разгрузка. Тогда напряжения сг*-, деформации е% и перемещения и? после разгрузки можно найти из решения системы уравнений, аналогичной (2.42), но. для вели­ чин, отмеченпых звездочкой.

Введем далее обозначения:

Тогда, вычитая друг из друга соответствующие уравнения, отно­ сящиеся к моментам до и после разгрузки, получим

(2.44)

Таким образом, напряжения, деформации и перемещения в те­ ле после разгрузки равны разностям соответствующих величин до разгрузки и тех напряжений, деформаций и перемещений, ко­ торые были бы в теле, если бы в естественном (ненапряженном и недеформированиом) состоянии оно упруго деформировалось под действием сил F — F* и Р — Р*.

В частности, при полном снятии нагрузки (F* = Р* = 0) остаточные напряжения, деформации и перемещения находятся как разности решений упругопластической и упругой задач при тех же нагрузках F и Р.

Из доказательства видно, что теорема применима лишь для геометрически линейных задач. Применение теоремы усложняется, если упругая разгрузка происходит не во всем объеме тела, а в не­ которых его зонах, тогда как в других зонах происходит пласти­ ческое активное нагружение. В этом случае необходимые для ре­ шения силовые грапичпые условия на границах зон и расположе­ ние самих зон можно найти из непрерывности полей перемещений, деформаций и напряжений.

Теорема о разгрузке была обобщена В. В. Москвитнным [63, 64] с учетом того, что при разгрузке могут вновь произойти пласти­ ческие деформации (вторичные пластические деформации). В ра­ боте [63] рассмотрена предложенная А. 10. Ишлинским [32] тео­ рия пластичности линейно-упрочняющего тела при идеальном

19

эффекте Баушингера. В работе [641 использован принцип Мазинга, согласно которому при повторном нагружении предел упругости удваивается. Теорема доказана в предположении справедливости теории малых упругопластических деформаций.

Формулировка теоремы близка к рассмотренной выше с той лишь разницей, что напряжения a[f, деформации e\j\ перемеще­

ния и ? ищутся для фиктивного упругопластического тела, об­ ладающего удвоенным пределом упругости по сравнению с вели­ чиной предела упругости рассматриваемого тела. Поверхность, отделяющая области вторичных пластических деформаций и упру­ гой разгрузки, совпадает с поверхностью, которая отделяет области упругих и пластических деформаций в фиктивном теле.

Теоремы о разгрузке в условиях неравномерного нагрева при зависимости механических характеристик материала от температу­ ры были рассмотрены 10. Н. Шевченко [131]. Сначала обобщена теорема об упругой разгрузке, когда материал тела не выходит вторично за предел упругости. В этом случае вводятся приведен­ ные компоненты тензора напряжений в начале разгрузки к рас­ пределению температур в теле, при котором определяется напря­ женное состояние. Вместо (2.43) определяем

где G — модуль сдвига, Т — температура начала разгрузки, Тх— температура конца разгрузки. Предполагается, что коэффициент Пуассона |х не зависит от температуры. Вводятся также модифи­ цированные объемные и поверхностные силы. После этого форму­ лировка теоремы о разгрузке не отличается от формулировки тео­ ремы А. А. Ильюшина. Затем рассмотрен случай появления в ы|у которой области тела вторичных пластических деформации. Используется теория малых упругопластических деформаций. От­ личие от теоремы В. В. Москвитина заключается во введении при­ веденных напряжений согласно (2.45), модифицированных объем­ ных и поверхностных сил, а также приведенной интенсивности напряжений. Дальнейшее исследование теоремы об упругой раз­ грузке при зависимости механических характеристик материала от температуры описано в работе [132].

Применение указанных теорем о разгрузке к прикладным за­ дачам вызывает ряд трудностей: 1) разгрузка начинается не одно­ временно, в разных участках тела; 2) траектории нагружения в этих задачах лучше описываются различными вариантами теории пластического течения, чем теорией мальж упругопластических деформаций, для которой доказаны теоремы о разгрузке, в случав появления вторичных пластических деформаций; 3) необходи­ мость решения задачи термоупругопластичности для знания на­ пряженно-деформированного состояния в момент начала разгруз­ ки; 4) для использования теорем нужно еще найти решение при разгрузке, что в случае вторичных пластических деформаций свя­ зано с решением краевой задачи.

20