Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

§7. Замкнутое круговое кольцо при наличии пэдвода тепла на внутренней границе и отдачи тепла

на торцовых поверхнзстях

	Пусть круговая пластинка ограничена концентрическими
окружностями				C радиусами			г =	а и	г = Ь (рис.		13). Вдоль
внутренней границы г — а подводится равно
мерно распределенное количество тепла W.
Теплом, проходящим через внешнюю границу
г =	Ь,	можно		пренебречь			по	сравнению
C тем, которое проходит по двум торцо
вым поверхностям, так как вследствие мало
сти	толщины			пластинки		о	цилиндрическая
поверхность			2^ 8::		весьма		мала		по	сра	Рис. 13.
внению		C		торцовыми			поверхностями
	— а2)-.		Граничные			условия для функ
ции		определяемой			дифференциальным уравнением (6.37)
				dr- ~		г	-т Ч = 0,

							' dr
				-^■^ =		0	при	г =		Ь,
так как здесь отдачи тепла не происходит.
Из общего				решения
				Z =	AIo (тг) H- BKoinir),						(6.45)

где А и В — постоянные интегрирозания, следует выделить решение, удовлетворяющее граничным условиям. Некоторые свойства функций JQ и KQ и и х производных были указаны

в§ 6 гл. VI (см. уравнения (6.38)). Граничное условие

_ = 0 при г = Ь

дает для определения постоянных интегрирования A n B уравнение

^lwZi imb)— BrnKi (тЬ) = 0,

(ГЛ. VI

откуда

CKiinib),

B = CIiimb).

Отсюда для 2 получаем выражение

X =

C XKiimb)I^imr)-\-Ilim b)K flim r)\ = Су,(л).

(6.46)

Здесь

положено

X ir) = Ki imb) /о (Wir)H- Л imb) Ко imr).

(6.47)

Производная от

функции у (г)

получается

в виде

LZCi (/п6) ZJ (Wtr)— Ii imb) Ki (Wir)I

(О.

(6.48)

где для сокращения положено

(О =

- ^

[Ki imb) Ii imr) — А (WiZ^)/Ci (Wtr)J.

(6.49)

Так

как

у (г)

удовлетворяет

дифференциальному

уравне

нию (6.37)'

4 ^ + 1 ^ - т ^

= 0 ,

dr-

то для второй производной функции у (г),

принимая во вни

мание, что у - ^ =

Д12ф(г),

получаем

выражение

X (/’) — '!'(О-

Через границу г =

а во

внутреннюю

часть

пластинки

посту

пает количество тепла

W = -

2оХтсо - ^

21г. Ь а С ^ =

— 2\т. bni^a^CSf(а).

Это дает

2/.«6т 2аг^(а)

Следовательно,

температурное поле определится выражением

Z = —

Xir)-

3.51)

2Хте

(а)

Теперь по формулам (5.23) можно написать выражения для напряжений. В цилиндрических координатах они будут иметь вид:

=	_ £ a _		L l . ^ =	EaW
				____________		'МО.
г		...5	-	2Хя	(^)
		«12					(6.52)
O =	— f a	1	еРХ	EaW	г	/ ч , .

		«2		2Хт1 OfflV*!. (fl)		MOl-

Термоупругий потенциал

Отсюда следует, что тангенциальное перемещение равно

нулю, а радиальное	перемещение
		2Хя'о/л2а2М '^ г ^ ^
На границе г = ^	напряжение	обращается в нуль; при
г = а оно принимает	значение

"-2^710112/112 •

Для того чтобы освободить эту границу от напряжений, на полученное решение необходимо наложить такое решение уравнения ДДР = 0, которое удовлетворяет граничным условиям:

	о^ ^ = 0			при	г =	Ь,
				при	Г =	а.
Мы уже	использовали	это	решение в § 1			гл. VI. Вследствие
условия	ог;.^ = 0 при г =		Ь	в этом	случае получаем напря
жения в	виде:
	EaW	1
	2X5	п«12		Ь*

EaW 1

При г = O

Радиальное перемещение проще всего получить из условия, что при осесимметричном напряженном состоянии

Так как элемент длины гс?(р п результате радиального пере мещения на величину и приобретает новую длину (r-\-u)d<f, то деформация равна

		__ (г -\|- ц) rfy — г riy _^		(6.55)
	f	г dff	г '

Из формулы (2.5), используя значения напряжений по
уравнениям	(6.54),	получаем
= T	W— Н-^гг) = -5^ i		^ — 1^)+(1	•

Следовательно.

Сумма напряжений о = о-}-о, даваемых форм)^ами_ (6.52) и (6.54), так же как и сумма перемещений и = и -{-а, опре

деляемых равенствами (6.53) и (6.56), представляет оконча тельное решение, при котором обе границы круглого диска свободны от нормального напряжения

Окончательные формулы имеют вид:

_	EaW U j r ) ■	а--	Л
" “	2/.6яа^/п2 Lф(«) ^	А2 — ¢2	;-2 •
■’т? =			о-—i
	aW
	2К
	" 42—«2

§8. Температурные напряжения в бесконечной пластинке C круговым отверстием при наличии подвода тепла

вдоль границы отверстия и потери тепла на торцовых поверхностях

Рассмотрим бесконечную пластинку с круговым отверстием. Пусть а — радиус отверстия, через границу которого по ступает равномерно распределенное количество тепла W. Полагая в уравнениях (6.57) радиус Ь неограниченно воз растающим, можно тотчас же написать решение этой задачи. Так как

	Um /<■, (тЬ) = О			Iim /i (тЬ) -*■ OO,
Ь->оо				Ь>00
то по уравнениям (6.47) и (6.49)
Ф (а)	“	K i (та)		’	<!/(«)“		Ki (та)	г '
В силу этого	равенство		(6.51) дает
		^ ^	W		КЛт г)
			'2\кЬ т а		Ki (та)
H формулы (6.57)		принимают вид:
_	E aW		Г	К1(тг) ,		а	I
^ ~	2Х В- а т 2		[	Ki (та)
__	E aW		г тгКр (тг) +			Ki (тг)		а_'\|	(6.58)
	2Х Oit arni'		L	К\ (та)			г J
									’
	(1 +	\|х)аИ;^ГЛ:т(тг)			а ]
	2'кот.ат’'-		[К Л т а)		г У

§ 9. Температурные напряжения в сплошной круглой пластинке, средняя часть которой сохраняет постоянную температуру T

Рассмотрим круглую пластинку радиуса Ь (рис. 14). Пусть внутри концентрического круга г = а поддерживается по стоянная температура вследствие наличия соответствующим образом распределенных источников тепла общей интенсив ностью W В круговом кольце а г - ^ b имеет место потеря тепла вследствие выхода его через торцовые сечения диска. Потерей тепла на цилиндрической поверхности г = 6 можно, как и прежде, пренебречь.

Определим	сначала температурное поле. При	О < г < д
Z = T = const.	Величина T зависит от количества тепла
поступающего	внутрь круга О ^ г ^ а , и от	количества

тепла, выходящего через поверхности круглой пластинки. Это количество тепла поступает в круговое кольцо W

вдоль окружности	г = а. Возникающее при этом в круговом
кольце а ^ г - ^ Ь	температурное поле можно определить

непосредственно по уравнению (6.51) в виде

^/ л

^2Хл Ьт"- аЦ (а)-X‘ (О-

Отсюда следует, что внутри круга температура будет равна:

	T = Z =			W	(6.59)
			2ХтГ0/712 д7ф (д) Х(^)*
Рис. 14.	Так	же как	и	температура,	напряже

	ния и	перемещения		в круговой пластинке
и в круговом		кольце	а - ^ г ^ Ь выражаются раз

личным образом.

Обратимся, прежде всего, к граничным условиям, кото рым должны удовлетворять напряжения и перемещения. Для

кругового кольца на внещней границе	г = Ь
°г г ,а = 0 .	(6.60)

так как внешняя граница должна быть свободной от нор мальных напряжений. На окружности г = а как о„., так и радиальное перемещение и должны принимать одинаковые значения, независимо от того, приближаемся мы к этой окружности изнутри или извне; следовательно, при г = а

Orri = ^rra

Iii==Ua.

(6.61)

Индекс i относится при этом к области, лежащей внутри круга, а индекс а — к области, лежащей вне круга. По уравнениям (6.52) и (6.53) получаем напряжения и переме щения в круговом кольце:

о		____ ф(г)
^ r r a -	2ког. /и?а-’ф (д)
^	2\ OCтЧЦ (а)
	(1 +	1^)«Ц7	гф(г).
	2>.Ья	(®)

Условие	о^^д= 0	при	г =	^	уже	выполнено,
^ф ) = 0.	а уравнения		(6.52)	и (6.53)			дают;
При г =	а уравнения		(6.52)	и (6.53)			дают;
			EaW			]
	“гго — 21 Ot							(6.62)
	Г		(1+^)а15^			[		(6.62)
	Г		(1+^)а15^			[
	“« -------- 2\Ь~т^а ■)
Соответственно этому по окружности г = а на внутрен
нюю область действует нормальное напряжение
				E aW				(6.63)
				2\Ь-кт~а^			'	(6.63)
				2\Ь-кт~а^			'
благодаря которому		внутри круга			г =	а создается однород
ное напряженное состояние

- _ EaW

^r r i — — 2Х OTt т^-а?

ивозникают перемещения

щ -

= г [

+ аг] = г [

(6.64)

оТ-].

Отсюда по формуле (6.59) при заданном значении темпера туры T внутри круга г = а получаем

Второе условие (6.61), а именно, что при г = а должно быть

U a = U i,

не выполняется, как это следует из формул (6.62) и (6.65). Если представить себе круговую пластинку разрезанной вдоль окружности г = а, то зазор между обоими краями разреза будет равен:

---------(6.66)

Для того чтобы уничтожить этот зазор, наложим на полу ченное решение такое решение, которое перемещает края

78				ПРИМЕРЫ к			ГЛАВЕ V				(гл. VI
разреза	г =	а друг		относительно друга						на величину
					Ьи = — ом.						(6.67)
Такое решение для				области а				г	имеет вид:
											(6.68)
Эти	выражения			получаются			из ранее			полученного	реше
ния (6.10),		если	в	него	подставить				Pf^ =	Q н	— /С.
Условие	О;.,.д= 0		при г =			Ь уже		выполнено.
При	г = а формула (6.68) дает
		-------+						!*)]■
Для внутренней			области круга				г =		а вследствие того,		что
					^rra =®гг1.
находим	по	уравнению			(6.68)
						=					(6.70)
		«» =			^		(Orri — K-O^ei) г.
											(6.71)
то при	г =	а
											(6.72)
Пользуясь		значениями			Мд	и м<		согласно уравнениям			(6.69)
и (6.72), получаем:

1 )(1 -1 ^ )]— - г X -

Если между краями разреза нет зазора, то долж пяться условие

3и-}"^а = 0.

Подставляя в это равенство выражения для 8й и 8й по урав нениям (6.60) и (6.73), получаем

2ХВт1/«2аф (а);I2t( a ) — /(«)! +

(6.74)

Таким

образом,

результате наложения решений пол)г-

чаются окончательные выражения для

напряжений а =

о-|-'о

и перемещений и =

и -\-й .

При этом следует принимать для

а ^ Г : ^ Ь

значения

а„

по уравнениям

(6.52)

и (6.63),

«90 и iTfi

по

уравнению

(6 .68);

для 0 < г ^ а

^!ачени^

о„.^,

по уравнениям

(6.64)

и (6.65), а^го

Оцв» и Ui

по уравнениям

(6.'^)

и ^6.71),

а величину

К, вхо

дящую

выражения

для

и и,

следует

принимать по

формуле

(6.74). Таким

образом,

для

оконча

тельные

значения

для • напряжений

перемещений

полу

чаем в

виде:

2Х"8лт^?4Г(а) ^

X (фСг) — ^ [2 ф ( а ) —

х (« )] [ - ^ —

l] ) '

2Х5лт?а24((а) { У-

“

'M'') +

(6.75)

+^ П 2 ф ( « ) - 7 .( ^ ) 1 [ ^ + 1 ] } .

^~ 2ХЬ^!ФаЦ (а) *{ ( Н " H-)

— ^ 12ф (в) — х(а)1 (1 - h И-)+ (I — P-)] }

H для
°гг1 —	2Хоят^*’<}'(в)
= 4 П д а - ) { ^ 1 2 + < ? ) - Х « » И - х 1 « ) Ь							(6.76)
							(6.76)
* ~ 2 \	- \| ( 1 — 1х)«1)(а) — -/Га) —
* ~ 2 \	Ъпт'^аЩа) {
-	-Й -12+	у		^ f^		И
	aWr	у
~	4А. 6ят2а’»Ил) ^						^
X { (1 + tf)7 (		«	)	[21>(а)—	/ (а)\ ^		) ‘
Нетрудно	показать,	что при		г = а	=	^rri	^
Кроме того, о^ув=			°9?г		а к		«п полу*
Если	D уравнениях		(Ь.75'> устремить		а к	нулю, г»^		^
чим напряжения и перемещения о круговом диске радиу								»
вызванные точечным		источником тепла,			интенсизностью			Vv.

помешенным в центре. Составим граничные условия, принимая

во внимание значения, к			кото[ым	стремятся	/(m r) и Kiffir)
при г-*-а (см. § 6 гл. VI). Имеем:
Iim ф(C ) =		[Ki imb) Д (т а ) —		{тЬ) Ki (та:} =		—
(Х^О				*		IttrOr
Iim X (C) =		Ki imb) JQ( т а ) + Д (тЬ) Ко ^ma) =			—	(тЬ) Iog а.
Теперь	находим:
=	2Х W i (т6) { + ('') +			— О 1'
^ » = 2 хЙ \| ^ { 7 -(0— ф ( г ) - ^ ^ ( ^					l) )
“	2ХSTTZJ {тЬ) { О +		(^)«\|»(г)+			(6.77)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 178 9 10 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги