книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

отображений ^). Наконец, в сложных задачах, для которых невозможно аналитическое решение, могут оказаться при­ годными численные и графические методы ^). В частности, укажем на способ замены дифференциального уравнения системой разностных уравнений и на их решение методом релаксации ^). Для одномерного нестационарного случая раз­ работаны особые расчетные формуляры. Особенно полезным является графический метод Е. Шмидта ‘).

1)Betz, КоЬег.

2)Dusinberre.

3)Southwell.

<) Jakob.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕРМОУПРУГОСТИ

§ 1. Напряженное и деформирэванное состояние

более подробного ознакомления отсылаем читателя к различ­ ным учебникам ’).

Введем для нормальных и касательных напряжений, дей­ ствующих. на боковых позерхностях бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда, ориентированного в напра­ влении координатных осей (рис. 1), следующие обозначения: °хх> ^xy — напряжения на элементе поверхности dy ^ dZ, Oyj., Оуу, Oyj— напряжения на элементе поверхности dZ • dX,

1) Timoshenko — Qoodier, а также Е. Т.реффц, Математиче­ ская теория упругости, ГТТИ, М. — Л., 1932.

Пусть деформация тела задана перемещениями и^, Uy, Ug, параллельными направлениям осей. Тогда удлинения и сдвиги будут соответственно равны:

так как согласно уравнениям (2.3) они являются функциями трех величин: Uy, Ug. Между ними существуют диффе­ ренциальные соотношения, которые называются условиями совместности и которые в дальнейшем будут часто приме-

обуслозлнвающие добавочные удлинения и сдвиги согласно формулам классической теории упругости. Напряжения Oj,; вызывают удлинения и сдвиги:

^ = °хх + ^vu

Полные удлинения складываются из удлинений, вызванных изменением температуры [равенства (2 .5)], и удлинений, об­ условленных напряжениями (равенства (2.6)).

Таким образом,

Ради полноты приведем соотношение между модулем сдвига G и модулем упругости E (модулем Юнга)

(2 .8>

и приняв во внимание, что согласно (2.2)

_ 1 га% , даЛ

получим:

При вычислении этой суммы было принято во вни

§ 3. Термоупругий потенциал перемещений

Само собой разумеется, что все написанные уравнения справедливы также и при Г = О и переходят в этом случае в HaBecTHbiejrQoTHoiueHHjLTeopHiLynpyroCTH-K этим уравнениям следует-добавить условия на поверхности тела, где напря­ ж ена или перемещения должны принимать заданные значе­ ния. В дальнейшем мы будем находить какое-либо основное решение дифференциальных уравнений (2.11) и затем путем наложения соответствующих решений этого уравнения при

T = O добиваться удовлетворения граничных условий. По­ следнее является основной задачей теории упругости. Труд­ ности этой задачи* во многих случаях непреодолимы.

Для отыскания основного решения уравнений (2.11) при­ мем, что перемещения можно выразить посредством выра­

Функцию Ф назовем термоупругим потенциалом перемеще­ ний; производные от функции Ф по координатам дают непо­ средственно перемещения.

Согласно (2.2) получим выражения для деформаций

а*Ф

31dk'

Напряжения получаются из уравнений (2.10) в виде

не являются самым общим решением уравнений теории упру­ гости. Кроме того, при решении уравнения (2.13) не учитыва­ лись граничные условия; если, как этого следует ожидать, полученное решение не удовлетворяет граничным условиям, то мы налагаем на него решение уравнений теории упругости, соответствующее 7 = 0 , с тем чтобы выполнить заданные условия на поверхности'.