книги / Прикладная теория ползучести и длительной прочности грунтов

-31 -

2.ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМА СВЯЗИ НАПРЯЖЕНИЙ С ДЕФОРМАЦИЯМИ

2.1.Линейные уравнения наследственной

ползучести

Деформации практически всех строительных конструкционных ма­

в момент наблюдения, например, за осадкой сооружения), но и исто­ рией нагружения строительного объекта. Влияние этой истории наг­ ружения можно учесть , если связь деформаций (е) с действующими напряжениями (6) записать в виде интегрального уравнения наследс­ твенной ползучести:

t

(2 .1 .1)

- 32 -

Вид функции ползучести K(t-v), а также ее механический смысл проще всего выяснить, рассматривая действие постоянной во времени нагрузки на образец грунта. Такие опыты легко реализуемые их на­ зывают экспериментами на простую ползучесть. В таком опыте наг­ рузка во времени не меняется» а деформация растет и интенсивность ее роста зависит от величины приложенного в опыте напряжения. Ес­ ли оно велико» то деформация развивается в течение всего опыта» при малых напряжениях скорость деформации во времени уменьшается»

При t-О иэ выражения (2.1.2) получим деформацию сразу после при­ ложения напряжения в о ,

Здесь величину Е называют "мгновенным” модулем упругости. Значе­ ние его можно получить ив опытов на растяжение для мерзлых грун­ тов или на сжатие. Дифференцируя уравнение (2.1.2) по t, найдем скорость деформации

во

e(t) - — K(t-v)

Е

а затем и выражение для K(t-t)

K(t-v) i(t)

(2.1.4)

Е б0

Отсюда видно, что функция K(t-t)-MOHOTOHHO убывающая функция. Та-

- 34 -

нулю. Это означает, что процесс ползучести, иными словами,рост деформации от постоянной нагрузки,происходит все время и неогра­ ничен.

Другим простейшим реологическим эффектом, происходящим в

нагруженных грунтах и конструкционных материалах, является релак­ сация (уменьшение) напряжений во времени. В этом процессе в самом начале его задается постоянная деформация е0 (или перемещение ) и

но кубики из пластилина, резины и бетона, помещенные между плита­ ми пресса. То есть каждый кубик сожмем подвижной плитой испыта­ тельной машины и,задавая фиксированное перемещение,будем контроли­ ровать изменение нагрузки (напряжения). Нагрузка будет уменьшать­ ся, а именно: для пластилина она сразу упадет до нуля, в резино­ вом и бетонном образцах она будет вначале (после сжатия) резко падать, а затем примет некоторое конечное значение.

Для описания эффекта релаксации необходимо решить интеграль­ ное уравнение (2.1.1) относительно б(т), оно известно и записыва­ ется в следующей форме:

t

(2 . 1 . 8 )

о

Здесь R(t-v) есть резольвента интегрального уравнения (2.1.1). Способы ее нахождения по известной функции K(t-v) описаны в спе­ циальной литературе. В теории ползучести R(t-v) называют ядром релаксации. Заметим, что по известному ядру релаксации R(t-v) можно всегда найти ядро ползучести K(t-v). Для этого нужно решить интегральное уравнение (2.1.8) относительно e(v), в результате получим уравнение (2.1.1). В дальнейшем будем использовать из­ вестные ядра ползучести и соответствующие им резольвенты, или применять приближенный способ для отыскания резольвенты ядра пол­ зучести.

- 35 -

тально доказано, что любой материал, деформируясь, отклоняется от этой прямой. Из уравнения (2.1.8) видно, что второй член позволя­ ет учесть это отклонение. Таким образом, форма (2.1.8) в отличие от закона Гука позволяет учесть релаксационные свойства материала даже при стандартных испытаниях, например, на растяжение, сжатие, кручение и т.д.

И если в основу линейной теории упругости заложен закон Гу­ ка, то теория линейной вязкоупругости строится на соотношениях (2.1.1) и (2.1.8), которые связывают напряжения и деформации с учетом фактора времени. Об общности этих уравнений говорит и тот факт, что они содержат в себе закон Гука как частный случай.

Рассмотрим простейший релаксационный процесс, когда заданная деформация е0 поддерживается постоянной в течении всего времени t. Тогда выражение (2.1.8) приобретает простой вид

(2.1.9)

Проведем исследование этого уравнения в последовательности, которая была принята выше для случая простой ползучести. После замены независимой переменной v на O-t-V в уравнении (2.1.9) найдем напряжение

t

то можно построить функцию R(t). Для нахождения длительного моду­ ля запишем уравнение (2.1.10) при t-м»:

называется длительным модулем упругости и должна совпадать с по­ лученной по формуле (2.1.6). Иными словами длительный модуль, по­ лученный по опытам на релаксацию,должен быть таким же, как и най­ денный из опытов на ползучесть. Этот вывод очень важен для приб­ лиженного определения интеграла от резольвенты,если известен ин­ теграл от ядра и наоборот: по известному интегралу от резольвенты можно найти интеграл от ядра. Приравняв левые части (2.1.6) и (2.1.13), найдем

-1

(2.1.14)

Это означает, что можно вычислить значения интеграла от резоль­ венты,не зная точного выражения функции R. А.П.Вронским была по­ лучена приближенная формула,аналогичная (2.1.14). В основе ее вы­

Эта приближенная формула позволяет получить уравнение релакса­ ции в конечном виде.

Получим еще одно соотношение, которое может быть полезным как при теоретических выводах, так и для суждения о примени­ мости линейной вязкоупругости. Из формулы (2.1.6) и (2.1.13)

Здесь А имеет размерность напряжения, а т<1-безразмерный коэффи­ циент < Параметр А есаь модуль деформации и при т-1 имеем закон Гука, а величина А совпадает с модулем упругости при сдвиге.

Урчбнечие деформирования (2.2.1) с учетом функции* (2,2.2) примет следующий Вид :

Здесь начальное напряжение релаксации То^Ат™ достигнуто по более сложной зависимости* чем в уравнении (2.1.9). Это означает, что нелинейность деформирования грунта учтена с начала нагружения. Получен этот эффект за счет введения эмпирических констант Аигп, вместо одной Е в выражении (2.1.9).

После замены независимой переменной на 0=t-v 'в уравнении (2.2.4) и деления его на т™ получим

- 40 -

графики, имеющие криволинейную форму. Следовательно, качественно

т

l+jK(0)d0

0

Обозначим выражение в квадратных скобках через А2

А

--------- = А2 00

l+jK(0)d0

О

Отсюда, с точностью до принятого выше допущения, а именно: А имеет смысл "мгновенного" модуля сдвига, А2 - будет иметь смысл длительного модуля сдвига.

Нелинейная функция (2.2.2) используется как самостоятельная для описания диаграмм деформирования, так и в уравнениях наследс­

мируется неограниченно и текучесть не наступает, что не соответс­ твует экспериментальным фактам.

Этого недостатка лишена дробно-линейная зависимость между