книги / Моделирование химико-технологических процессов

ВВЕД ЕН И Е, ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ И О П РЕДЕЛЕН И Я

Одной из основных задач химической технологии является создание новых высокоэффективных процессов и совершенствование уже дейст­ вующих. Решение такой задачи возможно только с помощью методов ма­ тематического моделирования и оптимизации химико-технологических процессов.

В пособии изложены методы физического и математического моде­ лирования. Наиболее подробно представлено математическое моделиро­ вание с использованием типовых моделей химической технологии: иде­ ального перемешивания; идеального вытеснения; ячеечной, ячеечной с рециркуляцией, диффузионной. Приведены основы статистического ана­ лиза и методы планирования эксперимента.

Цель пособия - показать на конкретных примерах способы создания математических моделей и их использования при решении инженерных и научных задач.

Основные понятия и определения

Под моделированием понимают процесс создания модели, ее иссле­ дование и распространение результатов исследования на оригинал. Ори­ гиналом называют интересующий нас объект, моделью - изучаемый нами объект. При этом модель является лишь аналогом оригинала и не более того.

Цель моделирования - определение оптимальных условий протека­ ния процесса.

Область применения моделирования: научные исследования; проек­ тирование новых и совершенствование действующих процессов, аппара­ тов и производств.

Применение моделирования позволяет осуществить:

-оптимальное проектирование новых и оптимизацию действующих процессов;

-ускорение переноса результатов исследований на производство;

-решение задач исследования и реализация процессов, которые дру­ гими методами реализовать не удается.

1. М ЕТО ДЫ М ОДЕЛИРОВАНИЯ И О БЛАСТЬ И Х ПРИ М ЕН ЕН И Я

Все методы моделирования базируются на подобии оригинала и его модели. Под подобием понимают условия, при которых возможно количе­ ственное распространение результатов эксперимента с модели на ориги­ нал. Подобие бывает физическим и математическим. В соответствии с этим в научных и инженерных исследованиях различают физическое и ма­ тематическое моделирования.

1.1. Физическое моделирование (ФМ)

Под физическим моделированием понимают метод исследования на моделях, имеющих одинаковую с оригиналом физическую природу и вос­ производящих весь комплекс свойств изучаемых явлений. Самым нагляд­ ным примером такой модели является лабораторная установка.

Физическое моделирование базируется на физическом подобии, кото­ рое подразумевает геометрическое подобие, подобие скоростей, сил, сред и т.д. Научной основой физического моделирования является теория по­ добия. В химической технологии теория подобия распространена чрезвы­ чайно широко и студентами химико-технологических специальностей изучается в курсе «Процессы и аппараты химической технологии».

Преимущества ФМ:

-полное воспроизводство процесса;

-наглядность процесса;

-возможность регистрации наблюдений без преобразующих уст­

ройств;

-изучение явлений, не поддающихся математическому описанию. Недостатки ФМ:

-для исследования каждого нового процесса необходимо создавать новую модель;

-изменение параметров оригинала часто требует физической пере­ делки или полной замены модели;

-высокая стоимость изготовления моделей сложных объектов;

-в ряде случаев имеются ограничения или оно вообще не применимо. Последний недостаток проявляется, например, для систем с проте­

канием химических реакций, так как результат их протекания находится в сложной зависимости от геометрических размеров аппаратов и кинетиче­ ских закономерностей процесса.

Рассмотрим два примера на применение теории подобия в физиче­ ском моделировании.

При строительстве оросительного канала требуется предсказать мес­ та наиболее вероятного отложения осадка. Для этого необходимо знать распределение скоростей потока в различных его сечениях. Канал являет­ ся крупным гидротехническим сооружением и поэтому перед строитель­ ством необходимо провести исследование его характеристик на модели. Параметры модели, при которых она будет подобной оригиналу, можно определить с помощью теории подобия. Чтобы выполнялись условия гео­ метрического и гидродинамического подобия между оригиналом и моде­ лью необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство критериев Рейнольдса в паре сходственных точек

где W\t2 - скорость потока; Ь\^- характерный размер и Uj 2- кинематиче­

ская вязкость жидкости (индекс 1 соответствует оригиналу, 2 - модели). При использовании одинаковых жидкостей получим

т.е., чтобы выполнялось подобие, отношение скоростей в оригинале и мо­ дели должно быть обратно пропорционально отношению их геометриче­ ских размеров.

Однако применение теории подобия не всегда бывает удачным. Рас­ смотрим второй пример, где требуется смоделировать распределение жид­ кости в оросителе насадочной колонны типа «плита». Главный показатель хорошей работы оросителя - равномерное распределение жидкости между различными патрубками. Предположим, что диаметр оригинала L\ =6, а модели L2 = 1,5 (м). В данном случае на движение жидкости кроме сил вязкости будет оказывать влияние и сила тяжести, характеризуемая крите­ рием Фруда. Поэтому условия подобия, кроме равенства критериев Рей­ нольдса, должны удовлетворять и равенству критериев Фруда в паре сход­ ственных точек.

С целью облегчить создание подобия модели и оригинала введем дополнительные условия: Oj = о 2 и gj = g2, тогда выражения (1.3) примут вид

Система (1.4) имеет единственное решение L\ = L2>что делает бес­ полезным моделирование.

Попробуем добиться подобия, меняя вязкость жидкости, то есть вве­ дя ограничения только на g\ = g2. В данном случае система (1.3) примет вид

Это значит, что для модели вчетверо меньшей оригинала должна быть использована жидкость с вязкостью в 8 раз меньшей, чем у воды. Найти такую жидкость практически невозможно.

Попробуем решить задачу, изменяя g. Для этого модель потребуется поставить в центрифугу. Убедившись, что замена жидкости ничего не да­ ет, оставим условие Uj = и 2 . Тогда из условия (1.3) получим

Решение системы имеет вид

т.е. если L\/L2 = 1 0 (для меньшего соотношения не найти центрифугу), то центрифуга должна создавать ускорение 1000 g j, что превышает ее технические возможности.

Таким образом, усложнение задачи путем ввода второго условия по­ добия привело к практической невозможности построения модели, подоб­ ной оригиналу. Когда критериев более двух, то подобия модели и ориги­ нала добиться еще сложнее. Этот недостаток в значительной мере ограни­ чивает применение теории подобия для моделирования процессов и аппа­ ратов химической технологии.

1.2.М атематическое моделирование (М М )

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Математической моделью называется

приближенное описание процесса или явления с помощью математиче­ ской символики.

Преимущества ММ:

-позволяет осуществить с помощью одного устройства решение це­ лого класса задач, имеющих одинаковое математическое описание;

-обеспечивает простоту перехода от одной задачи к другой, введе­ ние переменных параметров, возмущений и различных граничных усло­ вий;

-дает возможность моделирования по частям (по элементарным процессам);

-использует эффективное средство исследования процессов - ЭВМ, которое непрерывно совершенствуется;

-экономичнее физического моделирования как по затратам време­ ни, так и по стоимости.

Существенным недостатком математического моделирования явля­ ется трудоемкость детального описания свойств изучаемой сложной хи­ мической системы с помощью современного математического аппарата.

Классификация моделей по временно-пространственному признаку

Все химико-технологические процессы, исходя из временного и пространственного признаков, можно разделить на четыре класса:

-процессы неизменные во времени (стационарные);

-процессы переменные во времени (нестационарные);

-процессы с неизменными в пространстве параметрами;

-процессы с изменяющимися в пространстве параметрами. Поскольку математические модели являются отражением соответст­

вующих процессов, то для них характерны те же классы:

-модели, неизменные во времени, - статические модели;

-модели, переменные во времени, - динамические модели;

-модели, с неизменными в пространстве параметрами, - модели с сосредоточенными параметрами;

-модели, с изменяющимися в пространстве параметрами, - модели с распределенными параметрами.

Рассмотрим перечисленные классы моделей.

Статическая модель отражает работу объекта в стационарных усло­ виях. Соответственно ее математическое описание не включает время как переменную и состоит из алгебраических уравнений либо дифференци­ альных уравнений в случае объектов с распределенными параметрами. В качестве примера объекта, описываемого статической моделью, можно

привести аппарат идеального перемешивания объемом V с установившим­ ся режимом работы при непрерывной подаче реагентов А и В в количестве