книги / Моделирование химико-технологических процессов

Задача первого этапа - установление возможных или целесообраз­ ных границ области проведения эксперимента. Задача второго этапа - ус­ тановление наиболее оптимальных границ области проведения экспери­ мента.

Выбор общей области

Выбрать общую область - это, значит, выбрать области определения факторов, т.е. установить их максимально и минимально возможные зна­ чения. Выбор области определения факторов производится на основе тща­ тельного анализа априорной информации (априорной называется инфор­ мация, полученная в предыдущих исследованиях, т.е. до начала экспери­ мента). При этом должны учитываться ограничения нескольких типов.

Первый тип - принципиальные ограничения для значений факторов, которые не могут быть нарушены ни при каких обстоятельствах. Напри­ мер, если фактор - температура, то нижним пределом будет абсолютный нуль.

Второй тип - ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями, например, со стоимостью сырья, дефицитностью отдель­ ных компонентов, временем ведения процесса.

Третий тип - ограничения, накладываемые конкретными условиями проведения процесса, например, существующей аппаратурой, технологи­ ей, организацией. Так, температура протекания процесса не должна быть выше температуры плавления металла, из которогоизготовлен аппарат, или выше рабочей температуры используемого катализатора.

Процедура выбора локальной подобласти включает выбор основного (нулевого) уровня и выбор интервалов варьирования факторов.

Выбор основного уровня

Основным уровнем называется точка, расположенная в центре ло­ кальной подобласти фактора, т.е. точка, расположенная в центре иссле­ дуемого диапазона изменения фактора. Выбор этой точки осуществляется на основании анализа априорной информации. Как правило, основной уровень располагают в области наилучших условий протекания экспери­ мента, если таковые известны. Последовательность определения основно­ го уровня можно представить в виде блок-схемы, приведенной на рис. 6.2.

Верхний и нижний уровни варьирования представляют собой соот­ ветственно верхнюю и нижнюю границы локальной подобласти планиро­ вания эксперимента.

На выбор интервалов накладываются естественные ограничения сверху и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше той ошиб­ ки, с которой экспериментатор фиксирует уровень фактора. Иначе верх­ ний и нижний уровни окажутся неразличимы. С другой стороны, интервал не может быть настолько большим, чтобы граничные уровни оказались за пределами области определения. При выборе интервалов варьирования полезна следующая априорная информация: экспериментальная точность фиксации факторов; кривизна поверхности отклика и диапазон изменения параметра оптимизации. Часто эта информация бывает ориентировочной или даже ошибочной, но это единственная основа, на которой можно на­ чинать планировать эксперимент. В ходе эксперимента ее часто приходит­ ся корректировать.

6.3. Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбран­ ных для исследования уровнях. Если эксперимент проведен на 2 уровнях и при этом осуществлялись все возможные комбинации, то постановка опы­ тов по такому плану называется ПФЭ типа 2к Уровни факторов в этом случае представляют собой границы исследуемой области по соответст­ вующему технологическому параметру.

Например, изучается влияние на выход продукта 3 факторов: z\ -

Для математической обработки результатов удобнее перейти к без­ размерной системе координат х \, х2, , хп путем следующего преобразо­ вания:

из трех факторов на двух уровнях определяется как N = 2к = 23 = 8 . План ПФЭ в безразмерном виде с результатами эксперимента приведен в табл. 6.2, геометрическая интерпретация плана представлена на рис. 6.4.

Рис. 6.4. План полного трехфакторного эксперимента

Свойства матрицы планирования:

векторов-столбцов называется свойством ортогональности матрицы пла­ нирования. Это свойство существенно упрощает расчет коэффициентов регрессии, так как матрица коэффициентов нормальных уравнений {ХТХ)

становится диагональной и ее диагональные элементы равны числу опы­ тов в матрице планирования N.

Коэффициенты уравнения регрессии можно определить по методу наименьших квадратов.

Следовательно, коэффициент уравнения регрессии bj определяется скалярным произведением столбца Y на соответствующий столбец X, де­

Пользуясь планом, представленным в табл. 6.2, определим коэффи­ циенты линейного уравнения регрессии (6.3).

Например, для определения коэффициента Ь\ при х\ необходимо получить сумму произведений:

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с ко­ эффициентами взаимодействия

(6.11)

+ 623*2*3 + 6123*1*2*3,

то для определения недостающих коэффициентов парного и тройного взаимодействий необходимо расширить матрицу табл. 6 .2 до матрицы табл. 6.3.

Таблица 6.3

Матрица планирования ПФЭ типа 23 с учетом коэффициентов взаимодействия

Столбцы с х\2 по JC123 получены путем перемножения соответствую­

щих индексам столбцов. Например, столбец х\2 получен путем перемно­ жения столбца х 1 на столбец х2.

Определяются коэффициенты взаимодействия аналогично простым

коэффициентам по уравнению (6.10): Ь\2 = -0 ,5 ; Ь\3 = 0,25; Ь23 = 1,5;

6123 = 0 ,2 5 .

Если поставить параллельные опыты, можно определить дисперсию воспроизводимости 5в0С, проверить значимость коэффициентов и при на­

диагональной, коэффициенты уравнения регрессии не коррелированы ме­ жду собой. Поэтому значимость коэффициентов уравнения регрессии можно проверять для каждого коэффициента в отдельности по критерию Стьюдента, и исключение из уравнения регрессии незначимого коэффици­ ента не скажется на остальных коэффициентах. Диагональные элементы

матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты уравнения рег­ рессии определяются с одинаковой точностью:

% = 7 Г <*•»>

Например, в центре плана поставлено дополнительно три парал­ лельных опыта т = 3 и получены следующие значения параметра оптими­

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента:

следует исключить из уравнения. После их исключения уравнение регрес­ сии примет вид

где Z, - число значимых коэффициентов в уравнении регрессии, равное че­ тырем. Тогда F = 2/0,28 = 7,1. Критическое значение критерия Фишера для

р = 0,05; / i= 4 и / 2 = 2 равно F Kp = 19,3 (приложение 5). F < F Kp - урав­ нение адекватно.