книги / Механика твердого деформируемого тела
..pdf1 .6 . |
Изобразить деформированное состояние прямоугольного па |
|||||
раллелепипеда, испытывающего следующие относительные деформации: |
|
|||||
Ж = ' |
w |
<р“о Л ,3 ) ; |
2) |
~ W |
1р,геЛ - |
4 ) ; |
5) |
- дг |
ох |
(рис. 1 .5 ) . |
|
|
|
Решение, |
да |
- отрезок dx |
|
дх |
|
поворачивается так, что его конец, противоположный началу координат, перемещается параллельно оси у
Поскольку знак у с/х положительный, то прямой угол уменьшается.
1 .7 . |
Написать уравнение равновесия бесконечно малого паралле |
лепипеда, выделенного из тела, на которое действует сила притяжения |
|
от массы М , |
находящейся в точке £ , £ , £ (рис. 1 . 6 ) . |
Решение. Масса параллелепипеда dm —Jidw , гд е dif = - dxdydZ , Расстояние между массами dm и М
г = \/($ ~z)z + (.4 - у)2- * (Ъ - Z)z
Согласно закону Ньютона между массами действует сила притя жения (массы dm и М )
/2 |
|
|
где к - гравитационная постоянная. |
|
|
Проекции силы dF |
на оси координат будут следующими: |
|
dFx = |
diXC0S(r, х) = |
kl ^ C $ -x)dv; |
|
РМ |
РМ |
Щ - кг -pz ducos Съ у) = kz -ргС1 -у)^;
dF% - к2 dwcos(i*,z) = ks-'^p£($-%)dtr
Подставляя значения проекций dF на |
оси X |
, у » % в уравне |
ния равновесия и сокращая на элементарный |
объем |
du $ получаем |
|
дех |
|
|
|
|
. |
3 t |
|
|
k2M |
|
|
|
дх |
|
ау |
+ ~fz |
|
+ J > T r ( i - * > = 0 ; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3tU£ |
|
дби |
|
3zur |
* J ,J4A rJ - c^-y) =°> |
|
|
||||
|
дх |
+ 1у~~ |
|
âz |
|
|
||||||
|
&ХХ |
|
дх%и |
|
дбг |
|
k*M :t-z) = о |
|
|
|||
|
+ |
' |
- |
à |
* |
|
|
|||||
|
дх |
|
Зу |
* |
|
|
|
|||||
|
1 .8 , |
|
В некоторой |
части |
тела |
его внешняя поверхность |
свободна |
|||||
от |
нагрузок (р и с .1 *7 ). Используя условия на поверхности, |
показать |
||||||||||
что |
при осевом растяжении |
бруса п ере- |
лг |
|
|
|||||||
манного сечений помимо нормальных на |
|
|
|
|||||||||
пряжений в геометрическом |
|
сечении |
|
|
|
|||||||
( 0*2 ) , учитываемых в сопромате, не |
|
|
|
|||||||||
избежно должны быть в том же сечении |
|
|
|
|||||||||
и касательные |
напряжения |
( Vx? )т |
а |
|
|
|
||||||
в сечениях, параллельных оси бруса, |
|
|
|
|||||||||
присутствуют |
также |
и |
нормальные |
|
|
|
|
|||||
напряжения (<эх |
) . |
|
|
|
|
|
|
Р и с .1 .7 |
|
|
||
|
Установить |
свя зь , |
которая |
су |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
ществует вблизи |
наружной поверхно |
|
|
|
||||||||
сти бруса между нормальным напряжением на площадке поперечного се |
||||||||||||
чения и упомянутыми другими напряжениями, обычно игнорируемыми |
в |
|||||||||||
сопротивлении материалов* |
Считать, что |
поперечное сечение |
бруса |
|||||||||
имеет форму узкого |
прямоугольника |
(см . |
р и с .1 .7 ) . |
|
|
|||||||
Решение. Граничные условия можно записать так :
Рх9= 6xL * *ху™ * *ххл >
Ру* ~ * ^ут * Тухп > ►
Pt* ~ *zxô * % т *
В нашем случае
V 0;
Тогда |
|
|
|
|
|
|
6£ t |
= |
|
|
|
|
^ а = -Тжх0; |
|
|
||
* - |
~vxxJ> |
^хх= ~0^ Т |
* |
: - r lx An .> |
|
|
t |
= |
COSIX,9)i |
|
|
n |
= cos(y, i) |
= |
cos[270° * lx, 9)J |
=sin (x, i>).- |
|
Иногда |
|
|
|
|
|
|
Zzi “ |
|
cos(z,V) |
* ®г ty(x, V ; |
|
|
ft ' ex ( Jr f ' W t * - » - |
||||
1 .9 . |
В некоторой части тела его внешняя поверхность свободна |
||||
от нагрузок. Нормаль к указанной поверхности в данной точке имеет |
|||||
по отношению к координатным осям (X , у , I ) известные направляю |
|||||
щие косинусы |
£ ,т , п . Записать для этой точки тела поверхност |
||||
ные условия. Установить соотношения, которые существуют между нор- |
|||||
малышв я касательными напряжениями для точек, примыкающих к сво |
|||||
бодной от нагрузки внешней поверхности тела. |
|
||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
О — |
|
|
‘ |
|
О* * V 77 *■ хугп>
0 ~ Тгх1 * V я ’ « * « ;
|
6X~ |
-f- ^ х у т * VXZn) i |
||
|
|
~ ~ИГ |
t * ^y%n) * |
|
|
$ |
= ~ |
i r (tt x e + *xym )- |
|
I .I O . |
Для консольного |
выступа фундамента.(рис.I . 8 ) , имеющего |
||
треугольную форму и находящегося под равномерным давлением грунта |
||||
интенсивностью |
^ , |
найдены напряже |
||
ния: |
|
|
|
|
% - A (- a ^ § - - jr r p - * ch
еу~А(ган>Цг |
* |
ц1 " в)> |
|
_ |
. |
yi |
|
{'ху~1'ху~шА z 3- *yi |
> |
||
^ rz = |
^уг = |
D |
|
Найти постоянные |
А , В , С , исходя из условий на поверхности* |
||
Решение. Граничные условия на нижней грани ( у = 0) |
|||
Рх -°1 |
Ру- |
0 = 0 ; |
т = 1 |
иху
-у = A ( - a n f y T - x i . y i + B ) - i;
так как у = 0 , то |
а |
= AB , А= - - g - . |
Граничные условия на наклонной грани ( у = iyjb ■X ) следующие:
I — COS(x) Ф) - cos (90° + Ji) = - Sùnji J
т = cos(yj) - cos С ISO0fi) —- Sùrtfij
|
РхО~°> |
PyO*°l |
|
|||
|
|
|
|
|
и2 |
|
“ = Ч -ак^ж ■ x f r ÿT * C)<.-siaj»- A |
(-COSJ) |
|||||
0,A (-arcb)-JL g& , j f c ^ |
y |
ç 'C K -U n fi)- |
||||
- Лх Ё & |
ф |
XC' C°SJi) |
|
|||
Разделив все |
на COSfi |
, |
получим C |
- f i |
|
|
0- * -Jr-f ù l f r ‘■-‘W * *(-« * 4 |
* |
|||||
4 |
Iх |
T |
* в) |
C- COSJ) -, |
|
|
|
Xe * Z |
|
|
|
|
|
Разделив все на COSfi |
, получим |
В ~ fi ~ tofi . |
||||
I . I I . |
При чистом изгибе бруса |
(р и с .1 .9 ) |
перемещения выражают |
|||
ся следующими формулами: |
|
|
|
|
|
|
%l *juLxl -yl) |
|
№ |
. |
_ « |
||
|
lp |
1 |
|
fi |
f |
fi |
Требуется: i ; получить выражения для всех (линейных и угловых) :ставлякхцих деформаций; 2) составить уравнения изогнутой оси;
:«.писать уравнения, показывающие, что левый конец защемлен.
х
Решение |
JUX |
|
х |
|
|
||
|
£х л еу~ j) |
* |
SZ~ ~ J> |
Угловые |
деформации |
“ |
fyz ~ ?%£ ~ О |
Запишем |
уравнение изогйу ■ой оси: |
||
цz‘
-~ г р - ’
иусловие защемления левого конца бруса:
ди |
да |
_ |
ди |
п |
дг |
= дх |
~ |
ду |
=и‘ |
Отрезок dz (знаменатель) поворачивается так, что его конец, противоположный началу координат, перемещается параллельно о с и х (в числителе U ) . Знак "+" означает, что прямой угол хОХ
уменьшается. I . I 2 .
ние объема. Решение.
D = №t ху |
Ч^Тух |
'М * |
(£у ~ |
|
|
1!^ х г |
Щ х |
|
Относительное изменение объема равно су ш е трех относительных линейных деформаций по трем взаимно перпендикулярным направлениям, т . е .
А ■= С£х ~£0) * ( еу~^о} * |
~£0) - £х * * е'%“ ^£о* |
а так как
* £у * £%~ teg г
то А * 0«
1 .13. |
Два тела |
из одинакового |
материала |
испытывают однород |
||||
ное напряженное состояние, которое для одного из них определяет |
||||||||
ся тензором напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
0 |
|
0 |
|
|
|
Т1 |
- |
0 |
10 |
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
-1 5 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Составить |
дам второго тела, если и звестн о, что |
относи |
||||||
тельное изменение объема обоих тел |
одинаковое, а |
девиатор |
для вто |
|||||
рого тела |
|
|
2 |
2 |
- |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
1 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
-8 |
0 |
- |
3 |
|
|
Решение. Однородным называется такое |
напряженное |
состояние, |
|||||
при котором составляющие напряжения в любой точке тела одни и те |
|||||||
же. Если относительное изменение объема тел одинаково, |
то должны |
||||||
быть одинаковы и октаэдрические напряжения в |
тел ах, |
а |
значит, и |
||||
шаровые тензоры. |
|
|
|
|
|
|
|
Для первого |
тела |
|
|
|
|
|
|
|
(60)f = |
B I A J Q —Ti J 5 = |
5 кГо/cu2, |
|
|||
Следовательно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
ш1 = ш2 = |
5 |
О |
5 |
|
|
|
|
0 |
5 |
О |
, |
|
||
|
|
|
0 |
О |
5 |
|
|
а полный тензор для второго тела |
|
|
|
|
|
||
|
Т2 —Ш2 |
* D2 — |
7 |
2 |
|
|
|
|
2 |
6 |
|
|
|
||
|
|
|
-8 |
О |
1 - |
|
|
I . I 4 . |
Определить величину коэффициентов Ляме для стали ( £ = |
||||||
* 2 ,1 5 .Ю 6 кГс/Ы12 { / ' = 0 ,3 ) . |
|
|
|
|
|
||
й = —i |
----- = |
0,82В •106кГс/см2 |
|
2(1 |
+JU) |
’ |
‘ |
|
(1- 2ju)(1+ju) |
(1 - |
2ju) |
= 1№ ■106клфм1. |
||
1 *1 5 , |
Определить составляющие |
напряжения в |
точке |
М (р и сЛ .1 0 )* |
||
если ребра параллелепипеда» выделенного из этой |
точки» |
получат д е |
||||
формации: AQ = 0»02 см (удлинение).; йб |
= 0 .0 1 5 6 с и и |
i C 1 = |
||||
= 0 ,1 2 см |
(укорочение). |
|
|
|
|
|
Р и с .I .10
Грани МВНС и AKFD превратились в ромбы. Прямые углы у точек М и И , а также у точек А и F , лежащие в плоскости, параллельной хО% , уменьшились на 3 ; ; остальные углы остались без изменения,
Е = 2*106 кГс/см2 ,/ / = 0 ,3 .
Решение. Относительные линейные деформации:
&х = &а/а = 0,002; еу = -дб/б =
|
= |
- 0,0013; |
&г =-йС/с = - |
0,001, |
|
||
Относительная объемная деформация û= Sx + |
= |
||||||
* -0 ,0 0 0 3 . |
По условиям |
задачи |
f |
= jfyZ = |
yty |
^ |
= ° - Ищ |
ется только |
деформация |
, так как элементарные прямоугольники |
|||||
МВИС и AKFD искажаются. |
|
|
|
|
|
||
|
0,05° - i s |
- |
f 0,00037 |
(в |
радианах). |
||
|
Г - |
360° |
|
|
|
|
|
ются.
Коэффициенты Ляме будут следующими:
Л = a -iju )d *ju ) |
‘ uToAS?<M = 0’s' ioSKrclmt; |
||||||||
£ = : |
£ |
|
|
2-10° |
= Oj-106кгс/см2 |
||||
2(1 + ju ) |
2(1+0,25) |
|
|
|
|||||
По закону 1Ука напряжения |
|
|
|
|
|
||||
Sx -JL& * 2Qtx ~ “240 + |
3200 |
= 2960 |
Kit/см2 |
(растяж ение); |
|||||
0у=Л& * Ztey = |
-2 4 0 |
- |
2080 |
= -2 320 |
кГс/см2 |
(сж ати е); |
|||
б^= Лд* %■(*£■ - |
-240 |
- |
1600 |
= -1 8 4 0 |
кГс/см2 |
(сж ати е); |
|||
vxy “ zyt |
~ 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ztx = Gfax |
= 0,8*10® |
• |
0 ,0 0 0 8 7 = |
695 |
кП/см2 . |
||||
Направление |
|
показано |
на |
р и с .1 .1 0 . |
точке М ( р и с .1 .I I ) |
||||
I . I 6 . По заданному |
тензору |
деформаций в |
|||||||
упругого тела определить нормальное и касательное напряжения по площадке АВС в этой точке. Е = 10® кГо'см2 , JU = 0 , 3 5 .
Т = |
-0 ,0 0 0 0 |
2 8 |
О |
О |
о |
|
0 ,0 0 0 1 0 |
0 ,0 0 0 2 8 |
|
|
О |
|
0 ,0 0 0 2 8 |
0 ,0 0 0 2 0 |
|
Решение. |
Направляющие косину |
||
сы площадки АВС по отношению к
трем осям координат одинаковы. Из треугольника MCD
{_MD_ Q\fï/2 = |
1 |
n=C0Sd =CD а\/Т/2 |
у/Г |
Ри с.1 .1 1
т.е . С - т= п = I/ vT.
Или
С ~ Я72 = Я 2 = / ,
ЗЕ*= 1 -, t = 1/у/У