книги / Математика. Функции нескольких переменных

z

2x y ,

z

x .

x

y

z

0

x

z

0 .

y

Граница АС: y 0

, причем x

.

5;

5

Тогда z x2 4 .

Найдем z 2x .

Критическая точка: z 0 .

2x 0 , x 0

5; 5

Обе точки принадлежат промежутку

.

5;

5

Вычислим значения функции при x 1 и x

5

.

3

z 1 1 1 5 4 7 ;

5

5 3

5

2

5

67

z

5

4

.

3

27

3

3

3

67

5

20

zнаиб

, достигается на границе ABC в точке

;

.

27

3

9

а) z

3 xy

б) z

1 x2 y 2

2x 5y

2.

Найти частные производные и полный дифференциал функ-

ции z ln y2 e x .

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если z ex 2 y , где

dt

x sin2 t , y t3 , при t 0 .

du

1

4.

Найти производную

, если u x ctg z2

x , где x e

.

z

dz

z

5.

Найти частные производные

,

z , если z x cos 1

y2

,

u

v

где x u v , y u v .

6.

Найти производную

dy

функции

y y x , заданной урав-

dx

нением arctg(x y) x .

7.

Вычислить значения частных производных z

, z

функ-

x

y

ции z z x, y , заданной уравнением x3

y3 z3 3xyz 4 ,

в точ-

ке

M0 2;1;1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция

u

y

уравнению

x

2u

2u

2 2u

x2

2xy

y

y2 0 .

x2

x y

верхности S : x2 y2 z2 4x 6z 8 0

в точке M0 2;1; 1 .

точке М0 1;3 в направлении линии

y2 9x в сторону возрастания

аргумента x .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

ций

а) z arcsin x y ,

б) z ln 2 x y

x .

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z arctg x2 y2 .

3.

Вычислить

значение

производной

dz

,

если

dt

z ln ex e y , где x

1

,

y

1

, при t 1 .

t2

t3

dy

, если y zex z2 , где z 3

4.

Найти производную

x .

dx

5.

Найти частные производные

z

,

z , если z cos xy , где

u

v

x u v2 ,

y u2 v .

6.

Найти производную

dy

функции

y y x ,

заданной

dx

уравнением tg y xy .

7.

Вычислить значения частных производных z

,

z

функ-

x

y

ции

z z x, y , заданной уравнением x2

y2

z2 xy 2 ,

в точке

M0 1;0;1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция u ln

x

уравнению

y

x2

2u

y2

2u

0 .

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

2

1

;

9

верхности

S : z y

y 2 в точке M0 0;

.

2

4

10.

На поверхности S : 2x2 y2

z2 1 0 найти точки, в ко-

торых касательная плоскость параллельна плоскости 2x z 0 .

11.

Найти

градиент

и

производную

функции

z 5x2

3x y 1 в точке М0 2;1 в направлении, идущем от точ-

ки М0

к точке N 5;5 .

12. Исследовать на экстремум функцию z x3 8y3

6xy 5 .

13.

Найти наибольшее и

наименьшее значения

функции

z xy x 2y в области D : y x,

y 1, y x .

ций

а) z

y2 x2

б) z ln 1

x2 y2

x y .

2.

Найти частные производные и полный дифференциал функ-

ции z arcsin

xy .

3.

Вычислить

значение производной

dz

, если z yx

,

где

dt

x ln t 1 ,

t

y e2

, при t 2 .

4.

Найти

производную

dz

, если

z ln ex e y ,

где

dy

10.

На поверхности S : x2 y2

z2 4x 6z 1 0

найти точ-

ки, в

которых касательная

плоскость параллельна

плоскости

3x y 2z 0.

11. Найти градиент и производную функции z x2

y2 в точ-

ке М0 6; 8 в направлении линии

y

2

x2 в сторону убывания

9

аргумента x .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z 1 15x 2x2 xy 2y2 .

13.

Найти наибольшее

и

наименьшее значения функции

z x2 8y 2xy 4x в области

D : y 0, y x 2, x 1, x 0 .

Вариант 4

1.

Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

z ln 4 y2 x2

б) z arcsin x 2

а)

y .

2.

Найти частные производные и полный дифференциал функ-

ции z arccos x y2 .

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если

z ey 2 x 2 , где

dt

x sin t,

y = cos t, при t .

2

4.

Найти производную

dx

, если

x zy cos

z

, где y 2z .

dz

y

5.

Найти частные производные

z

,

z

, если z cos x2 y2 ,

u

v

где x u v , y u v .

6.

Найти производную

dy

функции y y x ,

заданной урав-

dx

нением ey x y2 .

7.

Вычислить значения частных производных

z ,

z функ-

x

y

ции z z x, y , заданной уравнением

ez x 2y z 4 , в точке

M0 1;1;0 .

8.

Проверить,

удовлетворяет

ли

функция

2u

2u

u ln

x 1 2 y 2 2 уравнению

0.

x2

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 z2 y 6 0 в точке M0 1; 1;2 .

10.

На поверхности

S : x2 y2 4x z 7 0 найти точки, в

которых

касательная

плоскость

параллельна

плоскости

6x z 1 0 .

Найти градиент и производную функции z arcsin

x

11.

в

x y

точке М0 5;5 в направлении линии

y2 5x в сторону убывания

аргумента x .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z 1 6x x2 xy y2 .

13.

Найти

наибольшее и наименьшее значения

функции

z 5x2 y2 3xy

в области D : y 0, y 1 x, y x 1 .