книги / Математика. Функции нескольких переменных

Вариант 5

1.

Найти и изобразить на чертеже область определения функ-

ций

а) z

; б) z

ln 4 x2 y2 .

2x

3y

1 x y

x2 y2 1

2.

Найти частные производные и полный дифференциал функ-

6. Найти производную

dy

функции y y x , заданной урав-

dx

нением xy arctg

x

.

y

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция u

xy

уравнению

x y

x 2u

y 2u

0 .

y x2

x

y2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : z x2

2x 3 в точке M0 1;0;2 .

10.

На поверхности S : 4x2 25 y2

4z2 5 0 найти точки, в

которых

касательная плоскость

параллельна

плоскости

4x 25y 8z 0 .

11.

Найти градиент и производную функции z xey в точке

М0 1;4

в направлении линии xy 4 в сторону убывания аргумен-

та x.

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z x3 y2 6xy 39x 18y 20 .

13.

Найти

наибольшее и

наименьшее значения

функции

z x2 2xy y2

4x в области

D : y 0, y x 1, x 3 .

а) z x2 y2 5 ;

б) z x y x y .

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z cos

2x2 y2 .

3.

Вычислить

значение

производной

dz

,

если

dt

z ln ey e x ,

где x

1

,

y t2 , при t 1 .

t

2

4.

Найти производную

dy

, если y z 2 x 1 , где

x e2 z .

dz

5.

Найти частные производные

z

,

z

, если z cos

x

, где

u

v

y

x u2 2v , y u v2 .

6.

Найти

производную

dy

функции

y y x ,

заданной

dx

уравнением x

xy y a .

7.

Вычислить значения частных производных z

,

z

функ-

x

y

ции z z x, y ,

заданной уравнением

z3 3xyz 3y z , в точке

M0 1;1;1 .

8.

Проверить, удовлетворяет ли функция u exy

уравнению

2u

2 2u

x2 x2 y

y2 0.

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 y2 z2

4z 2 0

в точке M0 2;1; 1 .

11.

Найти градиент и производную функции z x2

y2 xy

в точке

М0 3;1 в направлении линии 4x 3y 9 0 в сторону

возрастания аргумента x .

12. Исследовать на экстремум функцию z 2x3 y2

6xy 5.

13.

Найти наибольшее и

наименьшее значения

функции

z x2 y2 2x 2y 8 в области

D : y 0, y 1 x, x 0 .

а)

z arccos x y ;

б) z

2

.

6 x2 y2

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z arcsin 2x3 y .

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если

z xy ,

где

dt

x et , y ln t , при t 1.

du

4.

Найти производную

, если u

2x

z 1

, где z ln x .

dx

z

z

y

5.

Найти частные производные

,

,

если

z e2 x ,

где

u

v

6.

Найти производную

dy

функции

y y x ,

заданной

dx

уравнением x4 6x2 y2 9y4 5x2 15y2 100 0 .

7.

Вычислить значения частных производных z ,

z функ-

x

y

ции z z x, y , заданной уравнением cos2 x cos2

y cos2 z 1,5 , в

3

точке M0

;

;

.

4

4

4

8.

Проверить, удовлетворяет

ли функция

u sin2 x ay

2u

2u

уравнению a2

x2

y2 .

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 z2 5yz 3y 14 0 в точке

M0

1;2;3 .

мента x.

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

z 3x3 3y3 9xy 10 .

13.

Найти

наибольшее

и наименьшее значения

функции

z 2x3 xy2 y2

в области D : y 0, y 6, x 0, x 1 .

ций

б) z arcsin x y .

а)

z

9 x2 y2 ;

2.

Найти частные производные и полный дифференциал

функции z ln 3x2 y y2 .

3.

Вычислить значение производной

dz

,

если z ey x2 ,

где

dt

x sin 2t , y ctgt , при t .

2

4.

Найти производную

dz

, если z y2e3x 1

, где x sin2 y .

dy

z

z

y

5.

Найти частные производные

,

,

если z x2e 2 ,

где

u

v

x u v,

y u v.

6.

Найти

производную

dy

функции

y y x ,

заданной

dx

уравнением ln x e

y

x

a .

7.

Вычислить значения частных производных z ,

z функ-

x

y

ции

z z x, y ,

заданной уравнением

ez 1 z cos x cos y 2 , в

0;

точке M0

;1 .

2

8.

Проверить, удовлетворяет ли функция

u y

y

уравне-

x

2u

2 2u

нию

x2 x2

y

y2 0 .

верхности S : 4x2 9z2 36 в точке

M0 3;0;0 .

10. На поверхности S : x2 y2

4z2 4 найти точки, в кото-

11.

Найти

градиент

и

производную

функции

z x3 2x2 y xy2 1

в точке М0 1;2

в направлении, идущем от

точки M0

к точке N 4;6 .

12.

Исследовать

на

экстремум

функцию

13. Найти наибольшее и

наименьшее значения функции

z 3x 6y xy x2 y2 в области

D : y 0, y 1, x 0, y x 1.

а)

z ln x2

y2 2x

;

б)

z arcsin

x

.

y2

2.

Найти

частные

производные

и

полный дифференциал

функции z ye

x3 y3

.

3.

Вычислить значение производной

dz

, если z x2e y , где

dt

x cos 2t ,

y sin 2t , при t

.

2

4.

Найти производную

du

, если u y ln y z , где z =

1

.

dy

y

5.

Найти частные производные

z

,

z

,

если z xy yx , где

u

v

x 3u 3v ,

y u v .

6.

Найти

производную

dy

функции

y y x ,

заданной

dx

уравнением y cos(x y) .

7.

Вычислить значения частных производных z ,

z функ-

x

y

ции z z x, y ,

заданной уравнением

x2

y2

z2

6x 0 , в точке

M0 1;2;1 .

8.

Проверить,

удовлетворяет ли функция

u

1

x2

y2 z2

уравнению

2u

2u

2u

0.

x2

y2

z2

9.

Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по-

верхности S : x2 y2 z2 2yz y 4 0 в точке

M0 1;1;1 .

13. Найти наибольшее и наименьшее

значения функции

z x2 2y2 4xy 6x 1 в области D : x y 3,

y 0 , x 0 .