книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfМИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО
ОБРАЗОВАНИЯ РСФСР
Калининский Ордена Трудового Красного Знамени политехнический институт
Кафедра высшей математики доцент, к.т.Не Богатов Б.А.
СОСТАВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ПРИ РЕШЕНИИ ТЕХНИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Калтпа I
Введение |
|
стр |
|
||
|
|
|
|||
5 1 . Общие положения методики составления и |
|
||||
|
|
решения дифференциальных уравнений |
в |
|
|
|
|
прикладных задачах |
|
В |
|
§ 2 . |
Задачи( решение которых связано с |
сос |
|
||
|
|
тавлением дифференциальных уравнений |
|
||
|
|
первого порядка................................... . . |
. . ...................... |
6 |
|
2 .1 |
Уравнения с |
разделяющимися переменными................ |
« 6 |
||
2*2. Однородные и линейные уравнения.............. |
. . . . . . . . . |
83 |
|||
§ Э. Задачи, при решении которых необходи |
|
||||
|
|
мо составить |
дифференциальное уравне |
|
|
|
|
ние второго |
порядка............................................................... |
|
36 |
$ |
4 * |
Задачи, решение которых связано с |
состав |
|
|
|
|
лением систем дифференциальных уравнений................. |
44 |
||
$ |
5* Составление уравнений с частными производными.* 49 |
||||
Задачи для самостоятельного решения.................................. |
|
55 |
|||
Литература по составлению дифференциальных |
|
||||
уравнений. ; ......................................... |
|
|
57 |
Математические методы все шире и шире проникают
в повседневную инженерную, деятельность. В приложениях математики к технике особое место занимают дифферен циальные уравнения.. 8 своей практической работе инже нер (конструктор, механик, технолог) часто сталкивает ся с необходимостью решения задач с переменными величи нами. В некоторых случаях удается воспользоваться го товыми расчетами и формулами. Довольно часто к решению
задачи ни один из известных расчетов не подходит и поэ тому перед инженером возникает необходимость самостоя тельного составления дифференциального уравнения. Са мостоятельно составленное уравнение позволяет проанали зировать подобие рассматриваемой задачи уже известным решениям. Составление дифференциального уравнения связа но с глубоким анализом физического содержания задачи и, конечно, в результате более вероятным становится пра вильное решение поставленного вопроса. 8 противном слу чае приходится поступать интуитивно. Успех решения зада-*
чи в этом случае зависит от опыта и характера исследо вателя и потому связан с большим риском. Отсюда ясно, как важно научиться составлять математическое описание технической задачи.
3 настоящем пособии, предназначенном для студентов
вечернего и заочного |
обучения |
рассматриваются вопро |
сы составления дифференциальных |
уравнений. Подбор задач |
|
iгм г<у/л\ определялся |
в основном |
содержанием специаль- |
ноотей горного и механического факультетов. Кратко рас смотрена методика составления дифференциальных уравне ний с чаотными производными.
В конце пособия помещены задачи, предназначенные для самостоятельного решения с целью приобретения на выков в составлении дифференциальных уравнений.
§ 1. овш положения ?/■.'ГОДИКИ COCTABJEHMH и
РШ ЧИЯ ДИЖРЕНЦИАЛЬННХ УРАВНЕНИЙ В
ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ
\1оставление дифференциального уравнения по уоловию технической задачи состоит в определении математической зависимости между переменными величинами и их прираще ниями.
Любой процесс, характеризующийся переменными величи нами, представляет собой совокупность состояний! каждое из которых определяется постоянными величинами* В свяви с этим решение задачи с переменными величинами сводится:
-к определению отдельных моментов, элементарных актов процесса;
-к установлению общего закона развития процесса* Поясним подробнее сказанное. Отдельный момент или , ина че говоря, элементарный акт процесса - ето процесс, про
текающий за малый промежуток времени, а в общем случае в течение малого приращения аргумента. Под термином.ма
лый промежуток времени понимается такое время, в течение которого можно допустить линейный или иной известный характер изменения функции (например, пропорциональность скорости охлаждения тела разности температур тела и ох лаждающей среды, скорость движения пройденному расстоя нию). Продолжительность малого промежутка определяется возможностью использования фундаментального закона физики для написания соотношения между приращениями и перемен ными величинами. Например, составляя материальный ба ланс в элементарном объеме газа жидкости и твердого тела
пользуются законами сохранения вещества и энергии.
Составив соотношение мезду переменными величинами
и их приращениями для элементарного акта процесса .пе
реходят к дифференциальному уравнению устремляя прираще ние аргумента к нулю. Несмотря на то, что при анализе элементарного акта процесса используется вышеуказанный упрощенный подход , в результате интегрирования полу чается закон изменения переменных в данной задаче .иног да сравнительно слопсный. Таким образом,интегрирование составленных уравнений позволяет, объединив совокупность элементарных актов процесса, подучить зависимости, кото рым подчиняется данный процесс в целом*
Решение геометрических и физических задач обьяно
связано с необходимостью составления уравнений трех
нижеуказанных типов:
1) |
дифференциальных уравнений |
в дифференциалах |
|
|||
2) |
дифференциальных уравнений |
в производных ; |
|
|||
3) |
|
|
|
Q |
|
|
простейших интегральных уравнений ^дальнейшим преобра |
||||||
|
зованием их |
в дифференциальные. |
|
|
||
|
Уравнения |
первого |
типа получаются |
когда |
для элемен |
|
тарного акта процесса |
составляется соотношение |
меладу |
приращениями и переменными. Устремляя затем приращение аргумента к нулю, переходят к соотношению в дифференциа лах. Примером подобных задач, рассматриваемых в курсе
высшей математики, могут служить задачи определения давле
яидкости ния жидкости на пластину, работы на выкачивание*^ момен
та инерции, центра тяжести тела и др.
Дифференциальные уравнения второго типа получаются,
когда из условия задачи известны данные о скорости про
цесса или данные об угловом коэффициенте касательной ис
комой |
кривой. |
|
|
И, наконец, дифференциальные уравнения третьего |
|
типа |
получаются |
когда при решении задачи используется |
геометрический и механический смысл определенного интег
рала (площади, |
длины дуги, работы |
, объеш. тела и п р .). |
В этом случае |
уравнение содержит |
неизвестную функцию |
под знаком интеграла.
Таким образом, методика составления и решения диф
ференциального уравнения в прикладных задачах сводится к следующему:
1 ) . Подробный разбор условий задачи и составление чер тежа ^возможно более полно отражающего условие.
2 ) . Составление соотношения меаду переменными и их при ращениями для элементарного акта процесса* 3 ) . Составление дифференциального уравнения рассматривае мого процесса.
4 ) . Интегрирование составленного дифференциального урав нения и определение общего решения.
5 ) . Исследование решения.
6 ) . Определение по мере надобности вспомогательных пара
метров ( коэффициентов пропорциональности и др) на основе дополнительных условий задачи.
7 ) . Вывод закона рассматриваемого процесса и числовое определение искомых величин.
8 ) . Анализ ответа и проверка исходного положения задачи. "десь следует отметить," что умение составить диф
ференциальное уравнение во многом зависит от навыка ре-
шащего и от понимания им физического содержания за дачи. Последнее позволяет в ряде случаев сделать до пустимые упрощения полученных уравнений с тем, чтобы пренебрегая второстепенным определить основную законо мерность.
S 2. ЗАДАЧИ. РЕПЕНИЕ КОТОРЫХ СВЯЗАНО С СОСТАВЛЕНИЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2 .1 .Уравнения с разделяющимися переменными.
Задача 1 Температура торфяного брикета, вышедшего иэ пресса в течение 10 мин. понижается со100°С до 40°С. Температура окружающего воэдуха равна 20°С. Через сколько минут от начала охлаждения температура брикета П0НИ8ИТСЯ до 254).
Решение : Рассматривая элемен тарный акт процес са, воспользуемся законом Ньютона, сог ласно которому ско рость охлаждения тела пропорциональна раз~
ности температур те* да и окружающей среды. С изменением разности темпера тур меняется также и скорость охлаждения тела.
Скорость охлаждения тела выражается производной температуры по времени. Следовательно, диф^epeнциaльнoe уравнение охлаждения брикета имеет вид:
T Ï = i ( T - r' ) ,
где |
T |
- температура |
брикета; |
Тс - |
температура окру-* |
|||
жающего |
воздуха; |
^ |
- коэффициент пропорциональности* |
|||||
Разделяя переменные, получим |
|
|
|
|
||||
|
|
тdT-ъ - i d i |
|
|
( £ |
= 20) |
( 1) |
|
Интегрируя (1 ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
, |
получим |
|
fnjT-2oj = i t + 4 С |
|
|
|
it |
|
|||
ИЛИ |
т-20- c e |
(2) |
||||||
Постояннуп интегрирования С |
определяем ив |
условия: |
||||||
Т* |
100^ при |
t = 0 |
мин. |
С |
= 100 |
- 20 = |
80. |
Величину коэффициента пропорциональности найдем ив до
полнительных условий; |
Т = 40°С при |
t = 10 мин. |
|
|
40 - |
20 = 80 € |
|
Откуда |
4 = £ ô i0 ,2 5 = -0 ,* & i4 --0 ,f3 9 |
|
Следовательно, закон охлаждения торфяного брикета для
условии задачи имеет ввд n-Qf39t
т = г о { |
+го |
Таким образом, для решения простейших задач по охлавдению различных тел достаточно знать начальную температуру тела, р также его температуру через определенный проме жуток времени и температуру окружающей среды.
Задача 2. Найти кривую, у которой абсцисса центра тя жести плоской фигуры, ограниченной осями координат, этой
кривой и ординатой любой её точки, равна - |
абсциссы |
этой |
||
точки. |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение : |
|
|
||
Абсцисса центра тяжести |
||||
криволинейной |
трапеции, |
|||
ограниченной |
сверху |
|
||
|
|
|
снизу |
осью |
ОХ, слева |
дС = а |
И |
||
справа |
ОС= 6 |
опреде |
||
ляется |
интегралом |
|
||
Гв |
J |
|
|
|
ï x y J x |
|
|
|
( 1 )
I V *
Применительно к рассматриваемой задаче, формулу (1 ) запи шем в виде
|
|
Jxyc/jC |
JC, |
|
|
|
= |
(2) |
|
|
|
J У'* |
L |
|
где |
Хс= ^ о : |
по условию. На основании (2 ) имеем интег |
||
ральное уравнение |
|
|
||
|
|
х |
|
|
|
|
y z j y d x —J x ÿ d x |
( 3) |
|
|
|
|
|
|
Продифференцировав уравнение (3) |
по верхнему перемен |
|||
ному |
пределу, получим: |
|
а: |
Продифференцируем полученное выражение вторично: