книги / Составление дифференциальных уравнений при решении технических задач
..pdfЧастные |
решения |
системы |
(3 ) имеют вид |
|
|
||||
|
|
- f t |
|
|
|
|
|
|
|
X —U (l - в |
) |
, где |
Ci |
К |
°^ |
|
|||
y = 4 ( l - € |
) ~ c t |
,рде |
^ -fi(çfni-K V Bfm ^ ; ç |
^ q. |
|||||
Для получения траектории движения камня исключаем иэ |
|||||||||
решений |
время |
~Ь |
Из первого уравнения |
* _ п ^ _ |
% |
||||
Подставляя |
его |
во |
второе |
уравнение, |
Получим |
|
|||
u = z g £ - c t |
|
Откуда находим |
/ — |
ау. |
|
||||
* |
а |
|
|
|
|
|
ь |
а с |
|
Заменив |
t |
в |
решениях, |
получим траекторию движения |
|||||
камня |
|
г |
|
|
] |
|
|
|
|
|
х=а[/-£ |
|
|
|
|
||||
цт |
a y - é x |
= < f ‘ |
|
|
|
|
|
||
§5. СОСТАВЛЕНИЕ да-адРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Очень часто решая задачу, необходимо учитывать за висимость функции от нескольких независимых переменных* В этом случае составляют уравнение с частными производ ными. Для составления дифференциального уравнения с част ными производными обычно выделяют в теле (жидком, газооб разном, твердом) замкнутый элемент объема. Далее состав ляют уравнения равновесия сил, действующих на этот объем, либо пользуются уравнением баланса:
приращение = приход - убыль Последняя формула часто используется при составлении ма-
териального и теплового балансов и является выражением
закона сохранения вещества и энергии* |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Рассмотрим примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Задача 31 .Вывод |
уравнения |
неразрывности |
(сплошности). |
|
|||||||||||
|
В потоке |
жидкости выделим некоторый элементарный |
|||||||||||||
объем |
d V с |
поверхностью |
d e |
( элемент объема |
записали |
||||||||||
в виде дифференциала, так как |
&V -+ о |
) . Поток |
жидкос |
||||||||||||
ти черев |
поверхность d& |
определяется |
выражением |
|
|
||||||||||
jifî'ftd G |
|
, |
где |
|
- |
вектор |
|
скорости, |
а |
/7 |
-нор |
||||
маль к поверхности |
d 6 |
« Общее количество вытекающей |
и |
||||||||||||
втекающей |
в |
контрольный |
объем |
V |
жидкости |
выражается |
|||||||||
поверхностям |
интегралом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
d 6 |
fyd yd ï+ V jd xd ï ^ d x d ^ |
||||||||
|
|
|
|
e |
( frn, |
|
- e скалярное |
произведение векторов) |
|||||||
где |
, VJ |
|
|
- проекции |
вектора |
скорости на |
оси |
|
|||||||
X » |
ÿ |
* 2 |
• Раооттривая |
задачу, |
когда в |
объеме |
|
||||||||
со временем количество жидкости не меняется, |
можно ука |
||||||||||||||
занный поверхностный интеграл |
приравнять нулю, т .е , |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
v n d e ^ o |
|
|
а ) |
|
|
|
|
||||
Польэуяеь формулой связи поверхностных интегралов по замкнутому контуру с тройными но объему, соотношение (1 ) перепишем в виде [ 6 ] :
|
|
|
s f+ r ï’) ^ - 0 |
( 2 ) |
|
Так как d V |
4 0 |
то последнее |
равенство |
справедливо |
|
в том случае, |
если |
плотность не |
зависит от |
координат |
|
Это и есть уравнение* неразрывности потока жидкости в стационарных условиях.
Задача Э2. Вывести уравнение |
, характеризующее диД у- |
|||||||||||
зионный |
процесс удаления |
вещества |
А |
из вещества В , |
||||||||
находящегося в жидком состоянии. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
||
|
|
Выделим в |
объеме |
вещества |
В |
элементарный объем |
||||||
d Y |
|
Изменение |
содержания |
А |
8а |
счет |
диффузии в еди |
|||||
ницу времени можно выразить |
соотношением |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t g d V b t |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cL fs |
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
!7l - |
концентрация |
вещества |
A |
|
t - |
время. |
|||||
Изменение |
содержания |
А |
в |
некотором конечном |
объеме |
|||||||
V |
выразится |
тройным интеграломV |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
Указанное |
в (1 ) |
изменение |
вещества |
можно |
записать |
|||||||
несколько |
иначе |
, пользуясь определением потока вещест |
||||||||||
ва через |
поверхность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Согласно закону Фика, количество вещества, про- |
||||||||||
диффундировавшего через некоторую поверхность, пропор |
||||||||||||
ционально градиенту концентрации. |
|
|
|
|
||||||||
Таким |
образом, |
изменение количества |
вещества |
А |
в объе |
|||||||
ме |
V |
можно на |
основании закона Фика выразить интегралом |
|||||||||
|
|
|
<jj> f)nÿvadm c(G àt ; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
б' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
£> - |
коэффициент дихфузии. |
|
|
|
|
|
||||
Выражения (1) и (2 ) равны меаду собой
HI££с1у&Ъ $ %>Лmadпг d&at
V £
Преобразовывая правую часть уравнения (3 ) по формуле
Остроградского С 6 , стр 244]
tyÿîiatadmd<o = \\\dur$)ачшСтdV
уравнение баланса можно записать в виде
111$<*У* \[\dUr$fudmdV
или |
|
j |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l l [ dS -^ S fia d m]d v.O |
|
|
( 4 ) |
|||||||
Откуда |
< (m _J l i r g |
/uuj |
n l ! i 0 |
d v ^ 0 |
|
||||||
|
|
cLt |
|
|
в |
|
} |
|
|
(.')) |
|
Дивергенция вектора И{Х>У,%\ определяется |
выпадением |
|
|||||||||
/. n j X j J f . V j |
- |
|
2^4] |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(6, стр |
|
|
|
|
|
||
Уравнение (л) в простейших случаях можно упростить. |
|
||||||||||
Действительно |
полная |
производная |
|
равна: |
|
||||||
dm |
|
|
Ът+п dm |
|
|
|
|
|
|
||
dt^dt+y Ш; |
$ |
^ |
|
Полагая, |
что скорость |
||||||
перемещения вещества |
ничтожно мала, |
величины |
и |
||||||||
можно считать мало отличающимися от нуля. Тогда |
|
||||||||||
Э/72 , лр^ 9/77. |
и |
|
* В |
простейших |
задачах |
пола |
|||||
Ux |
2ix r |
Y |
“ |
|
|||||||
гают |
независимость |
коэффициента |
диффузии |
от |
координат, |
||||||
т ,е . |
dur % qicuL т = |
|
'/п |
|
|
|
|||||
Следовательно, уравнение (5 ) после упрощений можно перепи
сать в виде Ш - a/Qjfn. , Ъгт
Ъ Ь ~ * К |
Ц г + |
Иногда допустимо считать, что удаление вещества Л идет преимущественно в одном направлении, например по ОХ. Тогда уравнение принимает вид
eh t n |
( 6 ) |
дЬ
Пусть начальные и граничные условия для уравнения ( 6) имеют вид:
т--=т0 |
при |
t = 0 |
т = о |
при |
t = o o ; |
т = о |
при |
х = о |
7)jn_o |
при |
X=-fl, |
д х и |
|
|
Для упрощения граничных условий введем новую перемен-
пПг
'ную |
L = ~in |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
д с = |
л |
t e |
|
|
|
|
|
\и |
" |
д х г |
(7 ) |
|
|
Уравнение (7 ) решается совместно |
с условиями |
С = |
1 |
||||
при |
t = 0 , С - |
0 при |
t « оо |
С = 0 при |
X |
« О |
|
ипри Х~А.
Решение уравнения (7 ) можно найти методом Фурье, Пред ставив его в виде: С=*Р(х) -Jft) Тогда уравнение (7 ) преобразуется к виду
и> |
|
V * d x 2 |
или |
<P dx* |
t |
{ |
Jd |
(8) |
||
' d t |
db |
|||||||||
По |
условию |
^ |
не зависит |
от |
X |
, |
а |
у? не |
зави |
|
сит |
от |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
левая и правая части уравнения |
(8 ) равны |
||||||||
постоянной |
величине. Обозначим |
её |
через |
- К |
Тогда |
|||||
уравнение (8 ) |
можно представить |
системой уравнений |
|||||
|
/ |
|
|
|
|
|
|
|
<Рd x&= - к |
|
|
|
(9 ) |
|
|
|
± |
= - к к |
|
|
|
( 10) |
|
|
» • / ^ |
|
|
|
|
|
|
Общие |
решения уравнений (9 ) и |
(1 0 ) |
имеют |
вид |
|
||
|
<f = Ct |
КХ +Ct -Un КХ |
|
( п ) |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
/ = |
é * 4 |
|
|
|
( 12) |
|
Так как по дополнительному условию |
С = 0 |
при |
X = О, |
||||
то необходимо |
положить |
Cf « 0 . Следовательно, |
общее |
||||
решение |
уравнения (7 ) можно записать |
как |
|
|
|||
|
|
|
а п к х |
|
|
|
и з ) |
Для того, что бы выполнить условие |
дС л |
|
при |
||||
$ х ~ и |
|
||||||
Х=А , необходимо потребовать выполнения равенства |
|||||||
VôiKfl~V . Откуда можно |
определить |
К |
|
|
|||
ь( Я л - f ) X
—при п “ ЛК)о °м целом числе.
Условие С *=» 0 |
при |
выполняется автоматически. |
|||||
Постоянную |
Cv |
находим |
из условия |
С = |
1 при t * 0 |
||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С ч И п К Х * 1 |
|
( И ) |
|||
Разложим в |
ряд |
по |
синусам выражение |
(14) |
в промо утке |
||
M |
J |
/ ■ |
= |
} Л п |
(2n-i)Xx |
|
|
|
|
1 s.тк |
|
|
|||
Так как |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
решение |
имеет |
вид: |
|
|
|||||
m = m jj£ |
|
|
Х {2п-1) |
№ (я л -О * х |
||||||
|
|
|
|
|
~ Т Г ~ |
|||||
|
fl*t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ ДНЯ СЛКОЙТОПТОЬЧОГО РЕШЕНИЯ |
||||||||
1. |
Из точки, |
находящейся |
на высоте 18 м над уров |
|||||||
нем земли, |
брошено |
вертикально |
вверх |
тело |
со скоростью |
|||||
30 м/сек* |
Найти высоту |
на |
которой |
тело |
находится в |
|||||
момент |
t |
КОК |
функцию от времени. Найти также наиболь |
|||||||
шую высоту, до |
которой |
поднимается тело. |
|
|||||||
|
|
|
Ответ: |
S = Æ |
|
+ 3 0 t + f £ |
||||
|
|
|
|
|
tm vc * |
б3’ 9М |
|
|||
2. Цилиндрический резервуар с вертикальной осью |
||||||||||
имеет 6 м высоты и 4 м в диаметре. Во |
сколько времени |
|||||||||
горючее, заполняющее резервуар! вытечет из него через |
||||||||||
отверстие |
радиуса l / l 2 |
м, |
сделанйое в |
дне. |
||||||
|
|
|
Ответ: |
t |
= |
17,7мин. |
|
|
||
3 . |
|
Количество |
света, |
поглощающегося при прохождении |
||||||
через тонкий слой воды, пропорционально толщине слоя и |
||||||||||
количеству |
св ета , падающего |
На его поверхность. Если |
||||||||
при прохождении через слой |
толщиной 3 |
м поглощается по |
||||||||
ловина |
первоначального |
количества света, |
то какая часть |
|||||||
этого |
количества дойдет до глубины 30 м ? |
|
|
|
4 . |
Тело медленно погружается в жидкость |
Сопро |
тивление пропорционально скорости погружения. Найти |
|
||
закон |
движения тяжелой материальной точки, погружаю |
|
|
щейся в |
жидкость без начальной скорости. |
|
|
ЛИТЕРАТУРА ПО СОСТАВЛЕНИЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ*
УРАВНЕНИЙ
1.Пономарев К.|{. Составление и решение дифферен циальных уравнений инзйенерно-технических задач. "Учпедгиз" ,М Д962г
2. Гутер Р.С. , Ямпольский А .Р . Дифференциальные уравнения "Физматгиз" ,1962 г
3 . Батунер Л.М. ,Поэин М.Е. Математические методы в химической технологии. "Госхимиздат” Д963 р
4 . Очан Ю.С. Методы математической физики”Высшая школа", 1965 г .
Ô.Араманович И .Г. .Левин В.И. Уравнения математичес кой физики. "Наука” Д969 г
6. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное
исчисления, т .2 "Наука” , МД970
ЕАО106 i . Подп- к поч. 15- Î2-72. Ззк. i04-73 ♦ T. £50, Цеш 15 к оп.
Ротангмнг К Л И