книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Пермский национальный исследовательский политехнический университет»

Е.М. Набока, А.И. Квашнин, А.В. Горбунов

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета

2018

УДК 539.97:519.86 (075.8) Н13

Рецензенты:

канд. техн. наук, доцент В.С. Кошман (Пермский государственный аграрно-технологический

университет имени академика Д.Н. Прянишникова) канд. техн. наук, доцент А.И. Бурков

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет)

Набока, Е.М.

Н13 Основы теории подобия и моделирования физических процессов : учеб. пособие / Е.М. Набока, А.И. Квашнин, А.В. Горбунов. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн.

ун-та, 2018. – 105 с.

ISBN 978-5-398-02019-9

Изложены основные положения теории размерностей, подобия и моделирования с примерами их практического использования.

Предназначено для обучающихся по дисциплине «Теория подобия и моделирования физических процессов» ОПОП, направлению подготовки 13.04.03 «Энергетическое машиностроение», профилю магистратуры «Газотурбинные и паротурбинные установки и двигатели».

УДК 539.97:519.86 (075.8)

ПРЕДИСЛОВИЕ

В учебном пособии кратко изложены основные положения теории подобия и моделирования. Приведены примеры их использования для гидромеханических систем.

Содержание и изложение материала соответствует рабочей программе дисциплины «Теория подобия и моделирования физических процессов» основной профессиональной образовательной программы высшего образования – программы магистратуры «Газотурбинные и паротурбинные установки и двигатели» по направлению подготовки 13.04.03 «Энергетическое машиностроение».

Учебное пособие может быть полезным при изучении дисциплины «Гидравлика (гидромеханика)».

4

1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

1.1. Физическая величина

Физическая величина (ФВ) – это характеристика одного из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общая в качественном отношении многим физическим объектам, но в количественном отношении индивидуальна для каждого из объектов. Например, ФВ «длина трубопровода» – качественно общая для всех трубопроводов, количественно индивидуальна для каждого конкретного трубопровода.

Размер физической величины (размер величины) – это количе-

ственная определенность ФВ, присущая конкретному объекту.

Значение физической величины – это оценка размера ФВ в виде некоторого числа принятых для нее единиц.

Размер ФВ существует реально, значение ФВ зависит от принятых единиц.

Числовое значение ФВ (числовое значение величины, численное значение) – это отвлеченное число, входящее в значение величины. Для конкретной ФВ ее значение зависит от размера выбранной единицы.

Единица ФВ (единица величины, единица, единица измерения) – это ФВ фиксированного размера, которой условно присвоено числовое значение, равное 1, и применяется для количественного выражения однородных ФВ.

Единица ФВ – величина того же рода, что и сама ФВ.

В соответствии с международным стандартом ИСО 31/0 единицу ФВ принято обозначать символом самой ФВ, заключенным в квадратные скобки.

Значение ФВ может быть выражено равенством

где n – числовое значение ФВ; Q – единица ФВ.

5

Если величину Q в соотношении (1.1) выразить в другой еди-

значение ФВ ФВ

Из формулы (1.1) следует, что с изменением единицы ФВ меняется ее числовое значение:

L 2500 мм 250 см 2,5 м 2,5 10 3 км .

При этом значение (размер) ФВ остается неизменным.

1.2. Система физических величин

Система ФВ – это совокупность взаимосвязанных ФВ, образованная в соответствии с установленным правилом: одни величины принимаются за независимые или основные, а другие являются функциями от независимых величин и называются зависимыми или производными.

Таким образом, система ФВ состоит из основных и производных величин. Выбор основных ФВ является произвольным. На практике этот выбор ограничивают ФВ, характеризующими коренные свойства материального мира, – это длина, масса, время. Состав основных ФВ может быть дополнен силой тока, температурой, количеством вещества, силой света.

Производные ФВ определяются через основные с помощью определяющих уравнений. Они характеризуют основные физические

6

закономерности и связи и могут быть представлены в виде степенных одночленов.

Каждой основной ФВ системы присваивается символ в виде строчной буквы латинского или греческого алфавита: длина – L , масса – M , время – T , сила электрического тока – I , температура – θ , количество вещества – N , сила света – J .

Эти символы входят в название систем ФВ. Система величин механики: LMT . Международная система единиц СИ: LMTI NJ .

В настоящее время на практике применяются, в основном, три системы: СГС, МКГСС и СИ [15, 18].

1.3. Размерность физической величины

Размерность ФВ – это выражение производной ФВ через основные в форме одночлена, составленного из произведения символов основных ФВ в различных степенях. Она показывает, как производ-

ная величина связана с основными величинами.

Понятие размерности распространяется и на основные величины. Формула размерности основной величины совпадает с ее символом.

Размерность ФВ в соответствии с ИСО 31/0 следует обозначать знаком dim (от dimension).

Размерность основных физических величин в системе LMT : diml L, dimm M , dimt T .

Размерность производной ФВ может быть найдена путем подстановки в правую часть определяющего уравнения вместо обозначений основных ФВ их размерностей. В определяющих формулах можно произвести замену величин на характерные величины, отбросить знаки математических операторов. При отбрасывании знаков математических операторов необходимо соблюдать следующее правило:

7

Пример. Определяющее уравнение для скорости

dldt .

Размерность скорости

dim dimdimlt TL LT 1 .

Размерность любой производной механической величины в системе LMT может быть представлена следующим образом:

dim x L M T .

В системе СИ:

dim x L M T I J p N q .

В этих формулах , , ,... – показатели размерности физиче-

ских величин, которые могут принимать различные значения: целые или дробные, положительные или отрицательные.

Широкое использование получили безразмерные величины.

Безразмерная физическая величина (безразмерная величина) –

это ФВ, в размерность которой основные физические величины входят в степени, равной нулю.

Примеры безразмерных ФВ: КПД, относительная деформа-

ция, ..., т.е. любая величина, равная отношению двух однородных физических величин.

Безразмерными могут быть и иные комбинации размерных величин, например, так называемые критерии подобия.

Размерность единицы ФВ совпадает с размерностью самой ФВ. Пользуясь размерностью величины, можно установить, во

сколько раз изменится размер единицы данной производной ФВ при изменении размеров единиц величин, принятых за основные. Рассмотрим некоторую производную механическую величину, имеющую размерность:

dim x L M T .

8

Очевидно, что число раз n , в которое возрастет или умень-

шится размер новой единицы x по сравнению с прежней единицей

x , выразится соотношением

l , m , t – новые единицы тех же величин.

1.4. Практическое использование понятия «размерность» ФВ

1.Проверка правильности уравнений, полученных в ходе тео-

ретических выводов: размерность правой и размерность левой частей равенства, связывающего различные ФВ, должны быть одинаковыми. В противном случае при выводе допущена ошибка или

вуравнение входит неучтенный размерный коэффициент (см. приложение 2).

2.Установление функциональной связи между ФВ. Если число определяющих величин с независимыми размерностями равно числу основных единиц, то функциональная зависимость находится с точностью до постоянного множителя и имеет вид

ностями, равное числу основных физических величин; α, β, ..., ν –

показатели степени, подлежащие определению методом сравнения размерностей.

Примеры установления функциональных связей между физическими величинами приведены в приложении 4.

9

1.5. π-Теорема

Физические закономерности представляют собой функциональные зависимости между размерными величинами, характеризующими исследуемое явление. В соответствии с π-теоремой всякое физическое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами.

Пусть зависимость

отражает связь между размерной величиной q и размерными независящими одна от другой величинами l, m, t, , , ..., w .

Будем полагать, что величины l, m, t являются основными

в системе величин механики LMT и имеют независимые размерности.

Величины q, l, m, t, , ρ, ..., w запишем в относительных единицах, т.е. в долях от некоторых характерных величин q0 , l0 , m0 , t0 , 0 , ρ0 , ..., w0 . Тогда зависимость (1.2) может быть представлена в относительном виде:

Основные характерные величины, в отличие от производных характерных величин, могут быть выбраны произвольно.

Пусть

10