книги / Основы теории подобия и моделирования физических процессов

Входящие в это выражение комплексы являются безразмерными. Обозначим указанные комплексы:

С учетом соотношений (1.8) выражение (1.7) можно представить следующим образом:

πq f 1,1,1, π , πρ , ..., πw

или в более компактном виде

φ πq , π , πρ , ..., πw 0 .

Обобщение полученного результата на произвольное число величин, входящих в зависимость (1.2), приводит к π-теореме:

«Функциональная зависимость между n размерными величинами, из которых k величин имеют независимые размерности, может быть представлена в виде связи между n k безразмерными комплексами, каждый из которых является комбинацией из k 1 размерной величины».

11

Эта теорема является основной в теории размерностей. Следует заметить, что π-теорема входит в число трех теорем теории подобия (вторая теорема подобия). Она устанавливает число безразмерных комплексов, которые представляют собой критерии подобия и отвечает на вопрос, как обрабатывать результаты опытов, прово-

димых на моделях: их надо представлять в виде функциональных зависимостей между критериями подобия, т.е. в виде критериаль-

ного уравнения. И тогда результаты экспериментов могут быть обобщены на весь класс подобных систем.

1.6. Составление критериального уравнения

Порядок составления критериального уравнения рассмотрим на примере механической колебательной системы с одной степенью свободы, изображенной на рис. 1.1.

P(t) P0 p(t)

НУ : x(0) 0, x(0) 0

Рис. 1.1

Здесь приняты следующие обозначения:

m – масса колеблющегося объекта, m 1 кг; k – жесткость упругого элемента, k 1 Н/м;

b – коэффициент сопротивления демпфера, b 1 Н с/м;

12

x – перемещение объекта, x 1 м;

P t – внешнее воздействие в виде прямоугольного импульса,

P(t) 1 Н;

P0 – пиковое значение силового воздействия, P0 1 Н; τ – длительность импульса внешней силы, τ 1 с;

t – время, t 1 с.

Составим список параметров системы: m, b, k, x, P0 , t, τ . Бу-

дем полагать, что этот список, в рамках решаемой задачи, обладает свойством полноты. В качестве основных примем величины

m, k, x . Величины b, P0 , t, τ будут производными. Кратко список основных и производных величин представим в видеm, k, x , b, P0 , t, τ . В первой круглой скобке – основные величины, а во второй – производные.

Возможен другой выбор основных величин. При этом необходимо, чтобы они имели независимые между собой размерности в системе величин механики LMT (см. приложение 3).

Размерности рассматриваемых величин:

dim m M ; dim P0 LMT 2 ; dim x L; dim k MT 2 ; dimt T; dim τ T; dimb MT 1.

Количество безразмерных комплексов (критериев подобия) определяет π-теорема: из общего числа размерных величин, характеризующих процесс, необходимо вычесть число основных величин, имеющих независимые размерности. В нашем случае число критериев подобия равно четырем.

Для определения критериев нужно каждую из величин b, P0 , t, τ , принятых в качестве производных, поочередно разделить на произведение основных величин, возведенных в некоторые сте-

пени α, β, γ :

13

Далее для каждого соотношения (1.9)–(1.12) составляется уравнение размерностей и определяются показатели степеней α, β, γ, которые затем подставляются в исходное выражение (1.9),

(1.10), (1.11) или (1.12). Таким образом, получаются безразмерные комплексы – критерии подобия.

1. Определение критерия подобия π1 . Для формулы (1.9) со-

ставим уравнение размерностей. Так как, с одной стороны,

а с другой dim π1 L0M 0T 0 (величина безразмерная), то можно записать уравнение размерностей:

L0M 0T 0 L γ M1 α T 2β 1 .

Приравнивая показатели степеней при одинаковых величинах в левой и правой частях, получаем систему уравнений для их определения:

γ 0, 1 α β 0,

2β 1 0.

14

Отсюда: 12 , 12 , 0 . Подставляя эти значения в фор-

мулу (1.9), находим:

Величина mk имеет размерность коэффициента сопротивления b .

2. Определение критерия подобия π2 . Уравнение размерно-

стей, записанное для формулы (1.10), имеет вид

L0M 0T 0 L1 γ M1 α-βT 2 2β .

Отсюда находим систему уравнений для определения показателей степеней

1 0,

1 0,2 2 0.

Решая эти уравнения, получаем 0, 1, 1. Подставляя

найденные значения показателей степеней в соотношение (1.10), находим

(1.11) запишем уравнение размерностей

L0M 0T 0 L γ M α βT1 2β .

15

Система уравнений для определения показателей степеней

0,0, 1 2 0.

Решение уравнений дает: 12 , 12 , 0 . Подставляя полученные значения в (1.11), находим

4. Критерий подобия π4 находится по формуле (1.12) аналогично критерию π3 :

k

Критериальное уравнение выражает в общем виде зависимость между безразмерными комплексами π1, π2 , π3 , π4 :

φ π1, π2 , π3 , π4 0

или

Исходя из цели экспериментального исследования, критериальное уравнение можно представить в виде зависимости одного критерия подобия от других, например:

16

Следует заметить, что над критериями подобия можно выполнять операции умножения, деления, возведения в степень, извлечение корня, умножение на отвлеченное число, так как после указанных операций полученные критерии остаются безразмерными комплексами. Это обстоятельство можно использовать, чтобы придать критериям более понятный физический смысл.

Обратимся к найденным критериям.

Критерий π1 (1.13) содержит величину mk . В теории колебаний используется понятие критического коэффициента сопротив-

рассматривать как статическую деформацию упругого элемента под

ность импульса внешней силы.

Критериальное уравнение в новых критериях будет иметь вид

Результаты эксперимента можно представить в виде графика зависимости относительного перемещения объекта от относительного времени при постоянных значениях относительного коэффициента сопротивления демпфера и относительной длительности импульса силы (рис. 1.2).

x/x0

b / bкр const, / Tкр const

0

t / T0

Рис. 1.2

Такое представление результатов эксперимента позволяет обобщить их на весь класс подобных механических систем с одной степенью свободы, находящихся под действием прямоугольного импульса внешней силы при нулевых начальных условиях.

18

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ

2.1.Общие сведения о подобии и моделировании

Обратимся к подобию треугольников. У подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, а углы одинаковы. Если треугольники подобны, то размеры одного из них могут быть найдены путем умножения размеров другого на коэффициент пропорциональности, который называется масштабным коэффициентом.

Принцип, лежащий в основе геометрического подобия, может быть распространен на другие виды подобия (например, физическое подобие). Два объекта подобны, если по заданным параметрам одного можно получить параметры другого простым умножением на соот-

ветствующие масштабные коэффициенты. Первый объект принято называть моделью, а второй – моделируемым объектом (оригиналом).

Процесс определения параметров объекта с помощью его модели называется моделированием. Моделирование, в общем случае, предполагает: построение модели; изучение модели; перенос полученных сведений на моделируемый объект.

Моделирование используется тогда, когда непосредственное изучение объекта, т.е. эксперимент, является дорогим, сложным или невозможным. Во многих случаях моделирование – это единственный способ получения информации об объекте, например, на этапе проектирования.

2.2. Виды подобия и моделей

Уточним понятия подобия и модели.

Подобие – это взаимно однозначное соответствие между двумя объектами, при котором возможен переход от параметров одного объекта к параметрам другого.

Модель – объект, находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Под объектом понимают явление, процесс, систему, знаковое образование (формулу, уравнение).

19

Различают следующие виды подобия:

физическое – подобие между объектом и моделью, имеющими физическую природу;

структурное – подобие между структурой моделируемого объекта и структурой модели;

функциональное – подобие между моделируемым объектом и моделью, рассматриваемыми с точки зрения выполнения ими сходственных функций при соответствующих воздействиях;

математическое – подобие между величинами, входящими в математические выражения;

динамическое – подобие между последовательно изменяющимися состояниями моделируемого объекта и модели;

вероятностное – подобие между процессами вероятностного характера в моделируемом объекте и модели;

геометрическое – подобие между пространственными характеристиками моделируемого объекта и модели.

Рассмотренные виды подобия могут быть точными, приближенными, полными и неполными:

точное – подобие, при котором полностью выполняется взаимно однозначное соответствие между всеми элементами объекта и модели;

приближенное – подобие, допускающее нарушения взаимно однозначного соответствия между моделируемым объектом и моделью;

полное – подобие между всеми элементами объекта и модели; неполное – подобие между частью элементов объекта и модели. Вид модели определяется видом подобия между моделируе-

мым объектом и моделью:

физическая модель находится в отношении физического подобия к моделируемому объекту;

структурная модель находится в отношении структурного подобия к моделируемому объекту;

функциональная модель находится в отношении функционального подобия к моделируемому объекту;

20