книги / Начала инженерного творчества

Под собственно планированием эксперимента понимается процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

В рамках теории планирования эксперимента (ТПЭ) рассматривают две задачи:

1. Определение экстремальных условий, т.е. значений хj, определяющих экстремум функции y (х, b ). Такая постановка

характерна для численного решения задач многомерного поиска. Например, при проектировании органа управления летательным аппаратом задача конструктора найти такой набор конструктивных параметров при наличии определенных ограничений, который обеспечит максимальную его эффективность, минимальный вес, минимальные габариты и т.д.

2. Построение модели объекта. В дальнейшем мы будем рассматривать аппарат ТПЭ применительно к этой задаче.

3.3. Функция отклика. Факторы и требования к ним

Если математическая модель объекта неизвестна, его рассматривают как «черный ящик» (рис. 22). На вход объекта воздействуют факторы x1… xk, задаваемые в процессе исследо-

Объект исследования должен удовлетворять требованию воспроизводимости, т.е. многократно повторенные опыты должны давать результаты с разбросом значений, не превы-

121

шающих некоторую заданную величину. Объект должен быть управляемым (следует помнить, что нет абсолютно управляемых объектов). На реальный объект действуют как управляемые, так и неуправляемые факторы. Последние влияют на воспроизводимость результатов эксперимента и могут служить причиной ее нарушения.

Фактором называют независимую переменную величину, влияющую на функции отклика y1...yn. Каждый фактор имеет область определения – совокупность всех значений, которые может принимать фактор. Область определения всех факторов называется факторным пространством.

При исследовании процесса необходимо учитывать все существенные факторы. Если по какой-либо причине влияние некоторых факторов невозможно учесть в эксперименте, то эти факторы должны быть стабилизированы на определенных уровнях в течение всего эксперимента. Если число факторов велико, то необходимо отсеять те факторы, которые оказывают незначительное влияние на параметр оптимизации. Отсеивание несущественных факторов производят на основе априорного ранжирования или с помощью постановки так называемых отсеивающих экспериментов.

Ранжирование факторов означает расположение факторов в упорядоченный ряд, например в порядке убывания их влияния на функцию отклика.

Уровнями варьирования факторов называют значения факторов, которые они могут иметь при проведении эксперимента. Уровень варьирования каждого фактора не должен выходить за пределы области определения фактора. Факторы должны быть:

а) управляемыми; б) непосредственно воздействующими на объект исследо-

вания (трудно управлять фактором, который является функцией других факторов);

в) совместимыми, т.е. все комбинации уровней факторов должны быть осуществимы и безопасны;

122

г) независимыми, т.е. позволяющими экспериментатору устанавливать требуемые уровни любого фактора независимо от уровней других факторов.

Под математической моделью понимают вид функции

связывающей выходной параметр объекта с факторами. Выбор модели зависит от задачи исследования и предъявляемых требований к модели. Наиболее простой моделью является полином, линейный относительно неизвестных коэффициентов, которые определяются при обработке результатов эксперимента. Это обстоятельство позволило развиться аппарату теории планирования экспериментов именно для полиномиальных моделей. Для других моделей планирование требует более сложных специальных подходов.

Различают искомую функцию отклика, которая для двух факторов, например, имеет вид

и экспериментально полученную

в которой коэффициенты bi являются оценками коэффициентов искомой функции βi. Полином включает линейные относительно факторов слагаемые, эффекты взаимодействия и слагаемые второго и более высоких порядков.

Поскольку существуют ошибки воспроизводимости эксперимента, функцию отклика следует рассматривать как случайную величину, рассеивание возможных значений которой характеризуется дисперсией воспроизводимости. Основное требование, которое предъявляется к модели, заключается в способности модели «предсказывать» значение функции отклика с требуемой точностью для дальнейших опытов. Это оз-

123

начает, что предсказанные по модели значения функции отклика должны отличаться от фактических не более чем на некоторую наперед заданную величину. Модель, удовлетворяющая этому требованию, называется адекватной.

Прежде чем начать планирование эксперимента, необходимо выбрать область эксперимента (интервалы варьирования факторов, основной или нулевой уровень факторов) и определить дисперсию воспроизводимости для факторного пространства.

При выборе области эксперимента (интервалов варьирования факторов) рассматриваются ограничения трех типов:

1)принципиальные ограничения, которые не должны быть нарушены ни при каких обстоятельствах (как правило, ограничения, связанные с техникой безопасности проведения эксперимента);

2)ограничения, связанные с технико-экономическими соображениями (например, стоимость, время проведения эксперимента и т.п.);

3)ограничения, определяемые конкретными условиями проведения эксперимента (существующей аппаратурой, технологией, организацией работ и т.п.).

На выбор интервалов варьирования факторов накладываются ограничения как сверху, так и снизу. Интервал варьирования не может быть меньше ошибки, с которой измеряются уровни факторов в процессе эксперимента, а, как правило, больше её в несколько раз. С другой стороны, интервал варьирования должен иметь границы, не выходящие за область определения фактора с учетом установленных ограничений. Например, при измерении температуры в опыте с помощью термометра с точностью 0,5 °С интервал должен иметь величину не менее 5 °С.

Основному или нулевому уровню факторов соответствует центр области варьирования факторов. Обозначим начальную

124

точку для j-го фактора xoj , ее значение при известных значе-

Все величины в выражении (3.6) размерные.

Интервалом варьирования Ij называется половина разности между верхним и нижним значением фактора:

Для упрощения записи условий эксперимента и обработки экспериментальных данных, а также создания математического аппарата ТПЭ в рассмотрение вводят кодированные факторы. Переход от натуральной системы к кодированной осуществляется по формуле

где x j – значение фактора в кодированной системе координат.

Из выражений (3.7) и (3.8) следует, что в кодированной системе координат верхнему уровню фактора соответствует значение +1, а нижнему –1 ( x j – значение фактора в натуральной

системе координат).

3.4. Ошибки опытов. Дисперсия воспроизводимости

Кроме основных факторов, влияние которых на объект исследования изучается при проведении эксперимента, действуют случайные факторы. Неидеальные условия проведения опытов приводят к наличию двух групп погрешностей: систематических и случайных.

125

Систематические погрешности – это погрешности, вели-

чина которых одинакова во всех измерениях, проводящихся теми же методами и приборами. Систематические ошибки легко обнаружить при небольшом числе проверок с помощью известного значения измеряемой величины. Их можно устранить, например, калибровкой измерительного средства.

Случайные погрешности характеризуются тем, что их значение различно даже для измерений, выполненных в одинаковых условиях. К случайным погрешностям, например, можно отнести округление доли деления прибора экспериментатором, производящим измерение.

С целью учёта случайных погрешностей определяется ошибка воспроизводимости опытов, которая в зависимости от ресурсов, которыми располагает экспериментатор, может быть оценена различными путями:

1.Путем постановки параллельных (дублирующих) опытов в одинаковых условиях n раз.

2.Неравномерным дублированием опытов в различных точках плана.

3.Проведением по одному опыту в каждой точке плана эксперимента и опытов-дублей в центре плана при нулевых значениях всех факторов. При этом предполагается, что случайная погрешность проведения опытов и, соответственно,

дисперсия определения величины yi одинакова во всём факторном пространстве.

Например, при равномерном дублировании опытов среднее значение замеряемого параметра

где уi – значение параметра в i-м опыте; n – число опытов (дублей).

126

где sу – среднеквадратичное отклонение случайной величины y.

Параллельные опыты должны быть проанализированы на наличие грубых ошибок. Для исключения ошибочных опытов используются специальные методы математической статистики. В первом приближении при параллельных испытаниях можно считать ошибочными результаты, выходящие за пределы двух среднеквадратических отклонений,

Если число экспериментальных точек в плане эксперимента равно N и в каждой проводится по n параллельных опытов, то дисперсия параметра y определяется по формуле

Такой подход к определению дисперсии воспроизводимости справедлив, если выполняется условие однородности дисперсий в каждой j-й точке плана эксперимента. Задача проверки однородности дисперсий относится к задачам статистической проверки гипотез. Общая схема решения таких задач состоит в следующем.

1. Выбирается критерий проверки гипотезы – функция случайных аргументов с известным законом распределения. Это могут быть критерии Фишера F, Кохрена G или другие.

127

2. Выбирается уровень значимости критерия α – вероятность того, чтобы принять верную гипотезу неверной. Обычно уровень значимости принимается 1 %, 2 % или 5 % (α = 0,01; 0,02; 0,05). С увеличением величины α растет вероятность ошибки. В технике α часто принимается равным 0,05.

3.С помощью таблиц распределения критерия находится область допускаемых значений (предельное значение выбранного критерия).

4.По опытным данным вычисляется значение критерия

исравнивается с предельным значением выбранного критерия. Если найденное значение критерия, найденного по опытным данным, меньше предельного, то гипотеза принимается, в противном случае гипотеза считается неверной.

Для проверки гипотезы об однородности двух дисперсий используется критерий Фишера F, который представляет собой отношение максимальной дисперсии к минимальной для соответствующих чисел степеней свободы и уровней значимости

(см. прил. 2),

Если полученное расчётом по результатам испытаний значение критерия Фишера F меньше табличного значения Fт, то две дисперсии однородны.

Распределение критерия Фишера зависит от двух степеней свободы: f1 = n1 −1 – для n1 параллельных опытов, в которых

дисперсия оказалась максимальной, и f2 = n2 −1 – для n2 па-

раллельных опытов, в которых дисперсия оказалась минимальной.

При равномерном дублировании опытов (одинаковое число опытов в каждой точке плана эксперимента) однородность дисперсий проверяется с помощью критерия Кохрена G, который определяется как отношение максимальной дисперсии к сумме всех других дисперсий:

128

s2

G = N1max . (3.14)

∑ s2j

j −1

Дисперсии однородны, если расчётное значение критерия Кохрена Gp не превышает табличное значения критерия Gт. Значения Gт приведены в табл. 32.

Таблица 32

3.5.Полный факторный эксперимент (ПФЭ)

3.5.1.Матрица планирования эксперимента. Её свойства

ВПФЭ каждый фактор варьируется на двух уровнях. Число возможных комбинаций уровней факторов

где k – число факторов.

Таким образом, эксперимент, в котором реализуются все возможные комбинации уровней факторов, называют полным факторным экспериментом.

129

Условия эксперимента удобно представлять в виде таблицы, называемой матрицей планирования или планом эксперимента, который включает «собственно план» и вспомогательные столбцы, служащие для обработки уже проведённого эксперимента.

При большом числе опытов и факторов удобно пользоваться следующим правилом для составления матрицы планирования ПФЭ: в первом столбце х1 знаки «плюс» и «минус» меняются поочередно; во втором х2 – через два; в третьем – через четыре; в четвертом – через восемь и т.д. Матрица планирования эксперимента 23 c эффектами взаимодействия имеет вид, приведенный в табл. 33.

Таблица 33

Построенный таким образом план ПФЭ обладает свойствами:

• симметричности относительно центра эксперимента – сумма элементов каждого столбца равна нулю:

N

∑ xij = 0 ; (3.16)

i=1

130