книги / Решение электротехнических задач методом конечных элементов

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

L(e) 3Ri Rj

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

944.52 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Замена интегрирования по всей области уравнений (6.18)– (6.21) на сумму интегралов по конечным элементам дает:

k (e) U R

U I

U R

(e)

a k (e)

k (e)

0 ;

a k (ge) gI

(6.22)

k (e)

(e)

U R

U I

k (e)

U I

0 ;

a k (ge) gR

(6.23)

(e)

;

(6.24)

(e)

R g

(e)

(6.25)

(e)

где k (e)

B T

B rdr;

k (e)

N T

N rdr;

k (e)

N rdr;

L( e )

k (e) N T N r R0

; k (e)

N T rdr.

L( e )

При условии, что r Ni Ri

N j Rj

L1a L2b dr

a!b!

L(e) ,

a b 1 !

L( e )

локальные матрицы коэффициентов определяются следующим образом:


(e)			T				1			1	1 Rj			Ni Ri		N j Rj dr
k		B			B rdr		1
k		B			B rdr			L(e)	2		1
	L(e )							L(e)		1	1	Ri
		1			1	1 L(e) Ri Rj							RСр 1			1	;	(6.26)

			L(e)	2		1				2			(e)
			L(e)		1	1				2			L		1	1

k (e)			N T	N rdr

		L( e )
	Ni3 Ri Ni2 N j Rj
	2			2	Rj
L( e ) Ni		N j Ri Ni N j			Rj

	2			Ni N2 j r
	Ni	r		Ni N2 j r		dr
( e ) N j Ni r				N j r
L
Ni2 N j Ri				Ni N j2 Rj
					Rj		dr
		2		3
Ni N j			Ri N j

k G(e) N T

rdr i

rdr

L( e )

L( e ) N j r

Ni2 Ri Ni N j

L(e) 2Ri Rj

;

( e )

Ni N j Ri N j

Ri 2Rj

(e)

L(e)

k I

N rdr

2Ri

Ri 2Rj

;

L( e )

k (e) N

T N r R0

0 .

(6.27)

(6.28)

(6.29)

(6.30)

По результатам расчета МКЭ сопротивление токопроводящей жилы единичной длины переменному току можно определить по формуле

	2		R
R			C	J	2 rdr.	(6.31)

	2
		I	0
		I	0

Сопротивление токопроводящей жилы переменному току можно определить также с помощью выражения [9]

	R0 1 F(x) ,	(6.32)
R

где R0 – сопротивление токопроводящей жилы единичной длины

постоянному току, Ом/м, R0 1 1 2 ; x RC k ; k – коэффициент

вихревых токов, 1/м, k				а ; F(x) – функция, значения которой
от аргумента x приведены в табл. 6.1.
									Таблица 6.1
			Значения функции F(x)

x	F (x)	x	F (x)		x	F(x)	x	F(x)	x	F (x)
0,0	0	1,7	0,042		3,4	0,456	5,1	1,078	6,8	1,673
0,1	0	1,8	0,052		3,5	0,492	5,2	1,114	6,9	1,708
0,2	0	1,9	0,064		3,6	0,529	5,3	1,149	7,0	1,743
0,3	0	2,0	0,078		3,7	0,566	5,4	1,184	7,1	1,778
0,4	0	2,1	0,094		3,8	0,603	5,5	1,219	7,2	1,813
0,5	0	2,2	0,111		3,9	0,641	5,6	1,254	7,3	1,848
0,6	0,001	2,3	0,131		4,0	0,678	5,7	1,289	7,4	1,884
0,7	0,001	2,4	0,152		4,1	0,715	5,8	1,324	7,5	1,919
0,8	0,002	2,5	0,175		4,2	0,752	5,9	1,359	7,6	1,954
0,9	0,003	2,6	0,201		4,3	0,789	6,0	1,394	7,7	1,989
1,0	0,005	2,7	0,228		4,4	0,826	6,1	1,429	7,8	2,024
1,1	0,008	2,8	0,256		4,5	0,863	6,2	1,463	7,9	2,059
1,2	0,011	2,9	0,286		4,6	0,899	6,3	1,498	8,0	2,094
1,3	0,015	3,0	0,318		4,7	0,935	6,4	1,533	8,1	2,129
1,4	0,020	3,1	0,351		4,8	0,971	6,5	1,568	8,2	2,165
1,5	0,026	3,2	0,385		4,9	1,007	6,6	1,603	8,3	2,200
1,6	0,033	3,3	0,420		5,0	1,043	6,7	1,638	8,4	2,235

Задание

Дан одиночный проводник (см. рис. 6.1), по которому протекает ток частотой 200 Гц. Найти распределение магнитного потенциала, напряженности магнитного поля и плотности тока. Варианты заданий представлены в табл. 6.2.

					Таблица 6.2
		Варианты заданий

Номер	RC , мм	R0 , мм	I R , A	I I , A	10 6 , 1/(Ом м)
варианта	11				58
1	11	50	1500	1500	58
2	12	52	1750	875	58
3	13	54	2000	500	58
4	14	56	2250	450	58
5	15	58	2500	2500	58
6	16	60	2750	1375	58
7	17	62	3000	750	58
8	18	64	3250	650	58
9	19	66	3500	3500	58
10	20	68	3750	1875	58
11	21	70	4000	1000	35,4
12	22	72	4250	850	35,4
13	23	74	4500	4500	35,4
14	24	76	4750	2375	35,4
15	25	78	5000	1250	35,4
16	26	80	5250	1050	35,4
17	27	82	5500	5500	35,4
18	28	84	5750	2875	35,4
19	29	86	6000	1500	35,4
20	30	88	6250	1250	35,4
21	31	89	5500	5500	58
22	32	90	5750	2875	58
23	33	91	6000	1500	35,4
24	34	92	6250	1250	35,4

Содержание отчета:

1.Титульный лист.

2.Задание.

3.Постановка задачи.

4.Аналитические формулы.

5.Результаты вычислений:

Номер узла	r, мм	uR, В с/м	uI, В с/м

gR , gI , JSR , JSI

Номер	r , мм	J R , А/м2	J I , А/м2	J	, А/м2
Номер	r , мм	J R , А/м2	J I , А/м2	J	, А/м2
узла

Напряженность магнитного поля определяется по формуле

H 1 u .0 r

Номер элемента	r , мм	H R , А/м	H I , А/м	H	, А/м

6. Сопротивления токопроводящей жилы, вычисленные по формулам (6.31) и (6.32). Определить невязку между значениями сопротивлений.

7.	Графики uR f (r),	uI f (r),	J	f (r) ,	H	f (r) .
7.	Графики uR f (r),	uI f (r),	J	f (r) ,	H	f (r) .
8.	Код программы.
9.	Выводы.

7.Одномерная осесимметричная задача нестационарной теплопроводности

Процесс нестационарной теплопроводности в трехмерной постановке в цилиндрической системе координат описывается уравнением [1]

qV ,

(7.1)

r r

где r , , z

– координаты в цилиндрической системе координат;

– коэффициент теплопроводности; qV

– мощность внутреннего

источника тепла; c

– удельная теплоемкость;

– плотность среды;

– время.

Рассмотрим

задачу

охлаждения

изолированного

провода

(рис. 7.1). Будем считать, что температура изменяется только по одной пространственной координате – по радиусу. Тогда уравнение (7.1) в одномерной осесимметричной постановке запишется как

c	t	1	t		(7.2)
c		r	qV .		(7.2)
		r r	r
			Ra	Rb	r
		0
Рис. 7.1. Схема изолированного провода

Граничные условия: на оси rt r 0 0 ; на внешней поверхно-

сти

r R

) .

Здесь:

–

коэффициент теплоотдачи,

Вт/(м²·°С);

t0 – температура окружающей среды, °С.

Распределение температуры по радиусу в нулевой момент

времени определяется соотношением t(r,0) f (r) .

Применяя метод Галёркина к уравнению (7.2), получим

qV dV 0 ,

(7.3)

r r

где u – приближенное решение.

В результате преобразований уравнения (7.3) получим

c N T u rdr

rdr

(7.4)

N qV rdr Rb N

Неизвестная функция u

в уравнении (7.4) определяется соот-

ношением

(7.5)

u N U

N U

где U – вектор-столбец узловых

неизвестных;

N – матрица

функций формы.

Матрица N одномерного симплекс-элемемента имеет вид

N j

r R

(7.6)

(e)

N Ni

где L(e) – длина конечного элемента, L(e) Rj Ri ; Ri

динаты узлов конечного элемента.

Производная по пространственной координате r ся следующим образом:

u N U N U B U .

r r r

Здесь

и Rj – коор-

определяет-

(7.7)

N j

(e) 1

1 .

(7.8)

N j

Матрица B называется матрицей градиентов.

Производная по временной координате запишется как [3]

N U

(7.9)

Граничное условие третьего рода на поверхности определяется выражением

u	r Rb	(u	t	) (	N	U	t ) .	(7.10)

r		r Rb	0			r R	0
						b

С учетом выражений (7.5)–(7.10) уравнение (7.4) можно записать следующим образом:

b c N T N rdr

N T

rdr U

q rdr

r R

N T

t R

(7.11)

Переход от выражения (7.11) к сумме интегралов по элементам дает следующее выражение:

(e)

k (e)

f (e)

(e)

где k (e)

B T B rdr ; k (e) N

T N r R

; f (e)

L( e )

f (e) , (7.12)

t0 Rb N T r Rb ;

(e)	qV	T		(e)	T	N rdr .
f qV	qV	N	rdr ; m		c N	N rdr .
		L( e )			L( e )
	Параметры		,	, c	и qV постоянны в пределах конечного

элемента. Матрица m (e) называется локальной матрицей теплоем-

кости (демпфирования) [3]. С учетом того, что

r Ni Ri N j Rj и L1a L2bdx a!b! L(e) , e a b 1 !

локальные матрицы коэффициентов, теплоемкости и локальные век- тор-столбцы свободных членов определятся таким образом:

(e)

1 1 Rj

Ni Ri

N j Rj dr

B rdr

(e)

1 1

L( e )

1 L(e)

RСр 1

;

(7.13)

L(e)

(e)

m (e)

L( e )

c N T N rdr c

Ni N2 j r

( e )

N j Ni r

N j r

Ni3 Ri Ni2 N j Rj

Ni2 N j Ri Ni N j2 Rj

N j Ri Ni N j

Ni N j

N j

cL(e) 3Ri Rj

Ri Rj

;

(7.14)

Ri 3Rj

k (e) N T N

N j

r Rb

N j

r Rb

0 0		0 1	0	0	;
	0				;
1	0	1 1	0	1

L( e )

	(e)	qV				T
	f qV	qV			N rdr
				L( e )
Ni	2 Ri Ni N j Rj					q L(e)
	N R N		2 R	dr		V
N	N R N		2 R			6
i	j i	j	j

2Ri Rj ;Ri 2Rj

(7.15)

(7.16)

(e)

(7.17)

t0 Rb N

Rbt0 .

r Rb

Запишем выражение (7.12) в виде [3]

U G

K U

F ,

(7.18)

где M m (e)

–

глобальная

матрица

теплоемкости;

(e)

k (e) R k (e)

– глобальная матрица коэффициентов;

f (e) f (e)

–

глобальный

вектор-столбец свободных

(e)

членов; U G – глобальный вектор-столбец узловых неизвестных.

Частную производную по времени заменим конечно-разност- ным выражением [3]

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.202312.71 Mб3Решение некоторых многоэкстремальных задач методом сужающихся окрестностей..pdf
#
12.11.202321.38 Mб4Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ..pdf
#
19.11.202332.73 Mб17Решение практических задач при бурении и освоении скважин..pdf
#
12.11.202312.02 Mб0Решение технологических проблем действующего производства средствами автоматизации. Производство калийных удобрений.pdf
#
12.11.20235.01 Mб1Решение частных задач оптимизации для инженерных систем зданий..pdf
#
12.11.2023944.52 Кб1Решение электротехнических задач методом конечных элементов..pdf
#
12.11.2023963 Кб6Риторика и ораторское искусство..pdf
#
12.11.20238.54 Mб1Робот. Компьютер. Гибкое производство.pdf
#
19.11.202351.95 Mб0Рок в Союзе 60-е, 70-е, 80-е..pdf
#
12.11.202310.45 Mб2Роликовые и дисковые конвейеры и устройства..pdf
#
12.11.20231.53 Mб1Роль фаворитизма в социальном процессе..pdf