Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Неопределенный интеграл

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

883.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

I	=	1		d (2t )	=	1	arctg	2t	+C =	1	arctg	2tgx	+С.
		2		+(2t )2		2 3		3		2 3		3
1			3

Интеграл I1 можно получить несколько иначе. Разделим числитель и знаменатель подынтегральной функции на cos2 x :

cos2 x

3+sin2 x

+ sin2 x

cos2

cos2 x

Положим

t = tg x , тогда dt =

. Воспользуемся тем, что

cos2

=tg

x +1

. Получим:

= I1

cos2 x

3+sin2 x

3(t2 +1)+t2

3+4t2

Далее так же, как и выше, находим I1 и выполняем обратную замену.

3.Интегрирование произведения sinn x cosm x

1.Пусть в интеграле sinn x cosm x dx n – нечетное положи-

тельное число. Тогда применяют замену t =cosx . Если m – нечетное положительное, то применяют замену t = sin x .

При этом от нечетной степени отделяют первую степень. Оставшуюся четную степень выражают с помощью формулы

sin2 x +cos2 x =1 через дополнительную функцию. В результате получают табличные интегралы вида II.

Пример 7.3. Найдем неопределенные интегралы от произведения sinn x cosm x в случае, когда хотя бы одно из чисел n, m нечетное положительное.

а) I = sin3 xdx.

Под интегралом произведение нечетной положительной степени синуса на 1. Отделим первую степень. Четную степень

выразим с помощью формулы тригонометрической единицы:

sin3 xdx = sin2 x sinxdx = (1− cos2 x)sinxdx = sinxdx − cos2 xsinxdx .

Выполним замену переменной:

t = cosx;

dt = − sinxdx;

,получим: I = sinxdx + t2 sinx

= sinxdx + t2dt.

sinx

dx = −

sinx

Проинтегрируем и выполним обратную замену:

I = − cosx +

cos3

+ C.

б)

sin3 x

4 cosx

Имеем

sin3 x

dx =

sin2 x

sinxdx =

1− cos2 x

sinxdx =

4 cosx

t = cosx;

− t

(−dt )=

−

114

dt = − sinx dx

−t

+ t 4

dt = −

+ C =

4 t

sinxdx = −dt

= − 4(cosx)4 + 4 (cosx)4 + C = − 4 4 cos3 x + 4 4 cos11 x + C.

в) cos5 xdx.

Имеем

(

)

2 cosxdx

cos5

xdx = cos4

x cosxdx = 1− sin2 x

(

)

t = sin x;

− 2sin2 x + sin

4 x

cosxdx

dt = cosxdx;

= 1

dx =

cosx

cosxdx − 2 t2 cosx	dt	+ t4 cosx	dt	= sin x − 2t3		+ t5	+ C.
	cosx		cosx
					3	5
Выполним обратную замену. Получим					cos5 xdx = sinx −

−23sin3 x + 15sin5 x + C .

2.Пусть m и n – четные неотрицательные числа. Тогда используем формулы понижения степени и формулу синуса двойного угла:

cos2 x =	1+ cos2x	,	sin2 x =	1− cos2x	,	sinx cosx =	1sin2x.
	2			2			2

Пример 7.4. Найдем неопределенные интегралы от произведения sinn x cosm x в случае, когда оба числа n, m четные неотрицательные.

а) cos4 xdx .

Понизим показатель степени.

			4	xdx = (cos				2	x)		2	1		+cos2x 2
cos												dx =						dx =
cos												dx =		2				dx =
														2
=	1	(1+ 2cos2x +cos2 2x)dx.
=	4	(1+ 2cos2x +cos2 2x)dx.
Понизим показатель степени еще раз.
cos			4	xdx =		1							1+ cos4x
cos				xdx =		4	1+ 2cos2x +							2		dx =
						4								2
	1			3						1					3		1		1
=					+ 2cos2x				+			cos4x	dx =			x +		sin2x +		sin4x + C.
=	4			2	+ 2cos2x				+	2		cos4x	dx =		8	x +	4	sin2x +	32	sin4x + C.
	4			2						2					8		4		32

б) sin2 x cos4 xdx

Воспользуемся формулой синуса двойного угла и формулой понижения показателя степени.

	2		4	1		2	1+cos2x
sin		x cos		xdx =		sin2x		dx =
sin		x cos		xdx =	2	sin2x	2	dx =
					2		2

= 18 (sin2 2x +sin2 2x cos2x)dx = I1 + I2.

Найдеминтеграл I1 = 18 sin2 2xdx ,понизивпоказательстепени:

			1		1− cos4x						1							1								1
I1 =			8		2		dx	=						(1− cos4x)dx =								x −								sin4x + C1.
I1 =			8		2		dx	=		16				(1− cos4x)dx =					16			x −					64			sin4x + C1.
Найдем интеграл								I	2		=		1	sin2 2x cos2xdx							с помощью замены
переменной:									2				8
переменной:
					t = sin2x;							1			1	t3 + C								1
					t = sin2x;
I		=		dt = 2cos2xdx					=					t2dt =							=							sin3 2x				+ C		,
I		=		dt = 2cos2xdx					=		16			t2dt =							=		48					sin3 2x				+ C		,
	2					1 dt					16			16		3				2			48									2
				cos2xdx =		1 dt
						2																				1					1
Таким					образом,				sin2 x cos4 xdx = I								1	+ I			2		=			1			x −		1		sin4x +
Таким					образом,				sin2 x cos4 xdx = I									+ I					=		16				x −		64		sin4x +
																									16						64

+481 sin3 2x + C.

3.Пусть m и n – четные и хотя бы одно из этих чисел отрицательно. Тогда применяют подстановку t = tg x или t = ctg x. При

этом используются тригонометрические формулы

= tg2x + 1

= ctg2x + 1,

cos2 x

sin2

ctg2x

tg2x

cos2 x =

sin2 x =

tg2x + 1

ctg2x + 1

tg2x + 1

Пример 7.5. Найдем неопределенные интегралы от произведения sinn x cosm x в случае, когда оба числа n, m четные и хотя бы одно из них отрицательно.

а) sindx6 x .

Подынтегральное выражение содержит произведение

= −d

(ctg x)

функцию

=(1+ctg

. Поэтому

sin

выполним замену t = ctg x :

== −

−

(

)

(

ctg x

)

sin6

sin4 x

sin2 x

dx = −

1+ ctg x

t = ctg x

= − (1+ 2t2 + t4 )dt = −t −

2t3

− t5

+ C =

dt = −

sin2 x

= −ctg x −

2ctg3x −

1ctg5x + C.

б)

сtg4xdx

Имеем

сtg

xdx = − сtg

cos

x −

sin

сtg2x

t = ctg x

= − сtg

d (ctgx)=

= −

dt.

сtg

+ 1

= −

+ 1

sin

Интегрируем дробно-рациональную функцию:

dt =

− 1+

− t − arcctg t + C.

dt =

+ 1

Выполним обратную замену. Так как arcctg(ctg x)= x, то

сtg4xdx = − 13сtg3x − сtg x − x + C.

4. Интегрирование произведений синусов и косинусов различных аргументов

Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

sinax cosbx =

(sin(a + b)x + sin(a − b)x),

sinax cosbx =

(sin(a + b)x + sin(a − b)x),

cosax cosbx =

(cos(a + b)x + cos(a − b)x),

sinax sinbx =

1(cos(a − b)x − cos

(a + b)x).

Пример 7.6. Найти sin3x cos5x dx.

sin3x cos5x dx = 1 (sin8x − sin(−2x))dx =

1 (sin8x + sin2x)dx

= −

cos8x + 1cos2x + C.

Способы интегрирования тригонометрических функций за-

пишем в виде табл. 6.

Таблица 6

Способы интегрирования тригонометрических функций

Интеграл

Способ

интегрирования

t = tg

; dx =

dt;

Основная

1+ t2

sin x,

cosx

)

1− t2

тригонометрическая

sinx = 1+ t2 ;

cosx = 1+ t2 ;

(

подстановка

x = arctg

Продолжение табл. 6

Интеграл

Способ

интегрирования

R(sinx,

cosx)dx,

где

Подстановка

sinx dx = dt;

sin2 x = 1− t2;

R(− sinx,cosx)=

t = cosx

x = arccost.

= −R(sinx,cosx)

R(sinx,

cosx)dx,

где

Подстановка

cosdx = dt;

cos2 x = 1− t2;

R(sin x,− cosx)=

t = sin x

x = arcsint.

= −R(sinx,cosx)

R(sinx,

cosx)dx,

где

dx =

;

sinx =

;

Подстановка

+ t2

R(− sinx,− cosx)

1+ t2

t = tg x

cosx =

; x = arctgt.

= R(sinx,cosx)

1+ t2

sinn xcosm x dx

Подстановка

sinn xdx = sin2k +1 xdx = sin2k x sinxdx;

n – нечетное

sinxdx = −dt;

t = cosx

sin

x =

1− cos

)

= 1

− t

)

положительное число

(

sinn xcosm x dx

Подстановка

cosm xdx = cos2k +1 xdx = cos2k x cosxdx;

m – нечетное

t = sin x

cosxdx = dt;

)

cos

x =

1− sin

= 1

− t

положительное число

(

sin

xcos

x dx

Применение

cos

1+ cos2x

sin

x =

1− cos2x

формул пони-

m и n – четные

жения показа-

неотрицательные числа

теля степени

sinx cosx =

2sin2x.

sinn xcosm x dx

= d (tg x);

Подстановка

cos2 x

m и n – четные,

t = tg x

sin

tg2x

;

cos

x =

;

m отрицательное число

tg2x + 1

sinn xcosm x dx

= −d (ctg x);

Подстановка

sin2 x

m и n – четные,

t =ctg x

ctg2x

n отрицательное число

sin

;

cos

ctg2x + 1

Окончание табл. 6

Интеграл

Способ

интегрирования

sinax cosbx =

1(sin

(a + b)x + sin(a − b)x)

sinax cosbx dx

Применение

cosax cosbx = 12(cos(a + b)x + cos(a − b)x)

cosax cosbx dx

формул

sinax sinbx dx

тригонометрии

sinax sinbx =

1(cos

(a − b)x − cos(a + b)x)

Задание 7. Найдите неопределенные интегралы.

;

cosxdx ;

4sinx − 3cosx −

5cosx +

1+ cosx

;

2− sinx

;

4cosx + 3sinx

5+ 4sinx

2+ cosx

cos3 x

dx ;

sin5 xdx

;

sinx + sin3 x

dx;

sin2 x + sinx

2+ cosx

cos2x

10)

cos5 x

;

dx ;

11)

3+ sin x

5sin2 x − 3cos2 x + 4

12)

cos2 xdx

;

13)

;

sin

4sin

+ 9cos

x + 4sinxcosx

14)

cossin4 xxdx ;

15)

sin3 x

cosx dx;

16)

cossin

6 xxdx ;

17)

sin5 x cos3 x dx ;

18)

cos2 xsin4 x dx;

19)

cos6 4x dx ;

20)

;

21) sin

2 x dx ;

sin

cos

22)

tg7x dx ;

23)

ctg6x dx ;

24) sinxsin3x dx;

25)

sin

cos

dx ;

26)

cos2x cos3x dx;

27)

cosxcos3xcos5x dx;

28) cosx cos2xsin3x dx.

§3. Интегрирование простейших иррациональностей

В этом параграфе мы будем интегрировать функции, содержащие иррациональности (радикалы). Методом подстановки будем сводить такие интегралы к табличным или интегралам от дробно-рациональной функции.

1. Дробно-линейная подстановка

	ax +b n1			ax +b n2			ax +b nk
Интегралы типа R x,			m1			m2			mk	dx,
				,			,…,
	cx +d			cx +d			cx +d

где a,b,c,d – действительные,		m1, m2,..., mk			– целые,			n1, n2,..., nk –

натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функ-

ции путем подстановки			ax + b	= tr ,	где r –			наименьшее общее
			cx + d
кратное знаменателей дробей m1				, m2	,…,	mk	.
кратное знаменателей дробей m1				, m2	,…,		.
			n	n		n
			1	2		k
Действительно, из			подстановки			ax + b		= tr следует, что
						cx + d
b − dtr	и dx =	−drtr−1 (ctr − a)− (b − dtr )crtr−1						dt , т.е. x и dx выра-
x = ctr − a
x = ctr − a			(ctr − a)2

жаются через рациональные функции отt . При этом и каждая сте-

пень дроби ax + b выражается через рациональную функцию от t.
	cx + d
	Частные случаи
	1. Пусть c = 0, d = 1. Рассматриваемый интеграл принимает
	m1	m2				mk
вид	R x,(ax + b)n1	,(ax + b)n2	,…,(ax + b)				dx			и рационализиру-
вид	R x,(ax + b)n1	,(ax + b)n2	,…,(ax + b)			nk	dx			и рационализиру-
								r
				r	, dx =			r		r−1
ется с помощью подстановки			ax + b = t						t	dt , где r – наи-
ется с помощью подстановки			ax + b = t					a	t	dt , где r – наи-
меньшее общее кратное знаменателей дробей								m1		, m2 ,…,	mk .
								n		n	n
								1		2	k

2. Пусть c = 0, d = 1, a = 1, b = 0. Рассматриваемый интеграл

	m1	m2		mk
принимает вид R x,x n1		,x n2	,…,x nk dx и рационализируется

с помощью

подстановки x =tr , dx = rtr−1dt ,

где r –

наименьшее

общее кратное знаменателей дробей

m1 ,

,…, mk .

Замечание. Число r – наименьшее общее кратное знаменате-

лей дробей

m1 ,

,…,

, или НОК (n , n ,…, n ),

представляет

собой общий знаменатель дробей m1

, m2 ,…,

mk .

Пример 8.1. Найдем неопределенные интегралы, содержа-

щие иррациональности.

а)

x + x

Интеграл содержит

x = x12 , поэтому выполним замену

x =t2, dx = 2t dt.

Получим интеграл от рациональной функции

2tdt

= 2

= 2ln

1+t

+C.

t +t2

1+t

= 2ln

+C.

Выполним обратную замену:

x + x

б)

x + 3

Подынтегральная функция содержит

x = x12

x = x 13,

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей

1, т.е.

НОК (2,3),

есть 6.

Поэтому выполним замену x =t6,dx =6t5dt.

При этом

x =

=t3,

3 x = 3 t6 =t2.

Получим интеграл от ра-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 138 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20239.34 Mб4Нелинейные задачи динамики цилиндрических композитных оболочек..pdf
#
19.11.202329.17 Mб0Нелинейные колебания механических систем..pdf
#
12.11.202310.11 Mб5Нелинейные металлоксидные полупроводники..pdf
#
12.11.202310.59 Mб3Нелинейные эффекты в волоконной оптике..pdf
#
12.11.202318.2 Mб4Немецкий язык (летательные аппараты)..pdf
#
12.11.2023883.83 Кб1Неопределенный интеграл..pdf
#
19.11.202339.06 Mб0Неорганическая химия..pdf
#
12.11.202313.36 Mб6Непараметрическая статистика..pdf
#
12.11.202319.67 Mб2Неразрушающий контроль и диагностика горно-шахтного и нефтегазового оборудования..pdf
#
12.11.20232.5 Mб4Неразрушающий контроль и техническая диагностика транспортных сооружений. Диагностика железобетонных мостовых конструкций и их элементов.pdf
#
12.11.202321.37 Mб8Неразрушающий контроль параметров тонких проводящих пленок электромагнитными методами..pdf