книги / Ресурс и надежность композитных систем

найти его количественные характеристики надёжности P(t) f(t), λ(t) для t = 1050 час.

Задача 2.46. Время безотказной работы устройства подчиняется закону

его работы t = 105 час. Требуется вычислить количественные характеристики надежности такого устройства. (Значение гамма-функции Г(1,625) = 0,8964).

Задача 2.47. Вероятность безотказной работы узла электропитания в течение t = 160 час равна 0,98. Время исправной работы подчиненно закону Вейбулла с параметром α = 2,9. Необходимо определить интенсивность отказов, частоту отказов гироскопов для t = 160 час и среднюю наработку до первого отказа. (Г(1,3448) = 0,8918).

Задача 2.48. Определить вероятность безотказной работы, частоту отказов и интенсивность отказов изделия за 250 часов работы, если его надёжность подчиняется нормальному закону распределения с параметрами

Tcp = 1500 час, σ = 800 час.

Задача 2.49. Время безотказной работы гальванической батареи постоянного тока имеет нормальное распределение с математическим ожиданием Tcp = 35 час, и среднеквадратическим отклонением σ = 5 час. Определить какова вероятность безотказной работы батареи в течение 30 часов. Когда необходимо заменить батарею, чтоб гарантировать, что вероятность появления отказа до момента замены не превысит 5%.

3. Системы с последовательным соединением элементов

Решение типовых задач

Пример 3.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов типового устройства равна λ1 = 0,16∙10-3 1/час =const. Интенсивности отказов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и определяются следующими формулами: λ2 = 0,23∙10-4 ∙ t 1/час, λ3 = 0,06∙10- 6∙t2,6 1/час. Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 час.

Решение.

21

Для t = 100 час имеем:

Пример 3.2. Система состоит из трёх блоков, среднее время безотказной работы которых равно: = 160 час; 320 час; 600

час. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы.

Решение.

здесь λi – интенсивность отказов i – ого блока. Далее имеем:

здесь – интенсивность отказов системы. Далее получим:

Пример 3.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср = 0,32∙10-6 1/час. Требуется определить

Рс(t), qc(t), fc(t), mtc для t = 50 час.

Здесь Рс(t) – безотказность работы системы в течение времени t; qc(t) – вероятность отказа системы в течение времени t;

fc(t) – частота отказов или плотность вероятности времени Т безотказной работы системы;

mtc – среднее время безотказной работы системы.

Решение.

Найдем интенсивность отказов системы:

Далее:

22

Из известных зависимостей получим:

Пример 3.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них, в течение времени t = 100 час равны: Р1(100) = 0,95; Р2(100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон распределения надежности. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы.

Решение.

Найдем вероятность безотказной работы изделия:

интенсивность отказов изделия рассчитывается по формуле:

откуда

тогда

Пример 3.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна Р(t)=0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы равна:

23

воспользуемся более простой формулой:

Тогда

Пример 3.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна Pc(t)=0,95. Система состоит из n = 120 равно надёжных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента.

Решение.

Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет

Так как Р(t) близка к единице, то вычисление Р(t) удобно выполнить по приближенной формуле . В наше случае

тогда:

Пример 3.7. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λср =0,32∙10-6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 час.

Решение.

Интенсивность отказов системы будет равна:

Тогда имеем:

24

Задачи для самостоятельно решения

Задача 3.1.Аппаратура связи состоит из 2000 элементов, средняя интенсивность отказов которых= 0,33 ∙ 10-5 1/час. Необходимо определить

вероятность безотказной работы аппаратуры в течение t = 200 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.2. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 200 000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =

0,2∙10-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течение t = 24 час и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.3.Система управления состоит из 6000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,16∙10-6 1/час. Необходимо определить

вероятность безотказной работы в течение t = 50 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.4. Прибор состоит из n = 5 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая

равна: P1(t) =0,98; P2(t) =0,99; P3(t) =0,998; P4(t) =0,975; P5(t) =0,985.

Необходимо определить вероятность безотказной работы прибора.

Задача 3.5. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно mt1=83 час; mt2=220 час; mt3=280 час; mt4=400 час; mt5=700 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача 3.6. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P1(50) = =0,98;

P2(50) = 0,99; P3(50) = 0,998; P4(50) = 0,975; P5(50) = 0,985. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

Задача 3.7.Аппаратура связи состоит из 3000 элементов, средняя интенсивность отказов которых = 0,35 ∙ 10-5 1/час. Необходимо

определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течение t = 220 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.8. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 250 000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =

0,24∙10-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной работы электронной машины в течение t = 48 час и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.9.Система управления состоит из 7000 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,17∙10-6 1/час. Необходимо определить

вероятность безотказной работы в течение t = 60 час и среднее время безотказной работы.

25

Задача 3.10. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно mt1=85 час; mt2=210 час; mt3=270 час; mt4=4100 час; mt5=600 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача 3.11. Прибор состоит из шести блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 50 час равна: P1(50) = =0,98;

P2(50) = 0,97; P3(50) = 0,992; P4(50) = 0,975; P5(50) = 0,985; P6(50) = 0,988 .

Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

Задача 3.12.Аппаратура связи состоит из 900 элементов, средняя интенсивность отказов которых = 0,23 ∙ 10-5 1/час. Необходимо

определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течение t = 20 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

Задача 3.13. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 400 000 элементов, средняя интенсивность отказов которых = 0,3∙10-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной

работы электронной машины в течение t = 30 час и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.14.Система управления состоит из 7500 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,19∙10-6 1/час. Необходимо определить

вероятность безотказной работы в течение t = 55 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.15. Прибор состоит из n = 7 узлов. Надежность узлов характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая

равна: P1(t) =0,98; P2(t) =0,99; P3(t) =0,998; P4(t) =0,975; P5(t) =0,985; P6(t) =0,975; P7(t) =0,985. Необходимо определить вероятность безотказной

работы прибора.

Задача 3.16. Система состоит из семи приборов, среднее время безотказной работы которых равно mt1=83 час; mt2=220 час; mt3=280 час; mt4=400 час; mt5=700 час; mt6=400 час; mt7=700 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача 3.17. Прибор состоит из восьми блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 60 час равна: P1(50) = 0,98;

P2(50) = 0,99; P3(50) = 0,998; P4(50) = 0,975; P5(50) = 0,985; P6(50) = 0,99;

P7(50) = 0,998; P8(50) = 0,975. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

определить вероятность безотказной работы аппаратуры в течение t = 320 час и среднее время безотказной работы аппаратуры.

26

Задача 3.19. Невосстанавливаемая в процессе работы электронная машина состоит из 350 000 элементов, средняя интенсивность отказов которых = 0,34∙10-6 1/час. Требуется определить вероятность безотказной

работы электронной машины в течение t = 36 час и среднее время безотказной работы электронной машины.

Задача 3.20.Система управления состоит из 7700 элементов, средняя интенсивность отказов которых =0,13∙10-6 1/час. Необходимо определить

вероятность безотказной работы в течение t = 80 час и среднее время безотказной работы.

Задача 3.21. Система состоит из десяти приборов, среднее время безотказной работы которых равно mt1=85 час; mt2=210 час; mt3=270 час; mt4=4100 час; mt5=600 час; mt6=85 час; mt7=210 час; mt8=270 час; mt9=4100 час; mt10=600 час. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы.

Задача 3.22. Прибор состоит из шести блоков. Вероятность безотказной работы каждого блока в течение времени t = 150 час равна: P1(50) = =0,98;

P2(50) = 0,99; P3(50) = 0,972; P4(50) = 0,915; P5(50) = 0,955; P6(50) = 0,899 .

Справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы прибора.

4. Надежность систем с параллельным соединением элементов

Примеры решения задач

Пример 4.1. Устройство состоит из 3-х параллельно соединенных элементов вероятности безотказной работы которых равны р1 = 0,90, р2 = 0,92, р3 = 0,89. Определить вероятность безотказной работы устройства, при условии, что отказы элементов статистически независимы

Решение.

Р = 1- (1 – 0,9)(1 – 0,92)(1 – 0,89) = 0,999

Пример 4.2. Предохранительное устройство, обеспечивающее безопасность работы системы под давлением, состоит из трех дублирующих друг друга клапанов. Надежность каждого из них р = 0,9. Клапаны независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

Решение.

Р=1-(1-0,9)3=0,999.

27

Пример 4.3. Два одинаковых вентилятора в системе очистки отходящих газов работают параллельно, причем если один из них выходит из строя, то другой способен работать при полной системной нагрузке без изменения своих надежностных характеристик. Требуется найти безотказность системы в течение 400 ч при условии, что интенсивности отказов двигателей вентиляторов постоянны и равны ч-1, отказы двигателей статистически независимы и оба вентилятора начинают работать в момент времени t = 0. Определить интенсивность отказов системы, частоту отказов и среднюю наработку до отказа.

Решение.

Вероятность безотказной работы системы:

Интенсивность отказов системы:

Частота отказов:

Средняя наработка на отказ системы:

Tc = 1/ ×3/2 = 1,5/0,0005 = 3000 ч.

Пример 4.4. Устройство состоит из 5 параллельно соединенных элементов, обладающих интенсивностью отказов ч. Определить интенсивность отказов устройства в течение 1000 часов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы и частоту отказов.

Решение.

Интенсивность отказов системы из 5 параллельно работающих элементов :

28

Среднее время безотказной работы :

Tc = 1/ (ч)

Вероятность безотказной работы:

P(t) = 1 – (1 – e-0,001•1000)5 = 0,899.

Частота отказов:

Пример 4.5. Система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов с интенсивностями отказов равными

ч. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 500 ч и среднее время работы до отказа.

Решение.

T0 = (1/ n)- (1/( ( n+1×1/∑ i T0 = (1/ )- [(1/( ( (0.005+0.003)]ч)

Задачи для самостоятельного решения

Задача 4.1. Система состоит из 4-х параллельно соединенных элементов обладающих интенсивностью отказов 0 = 0,002 1/час. Определить интенсивность отказов устройства в течение 5000 часов, вероятность безотказной работы, частоту отказов и среднее время безотказной работы.

Задача 4.2. Система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов, вероятности безотказной работы которых в течение 500 часов 0,95; 0,92; 0,88. Справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Определить вероятность безотказной работы системы, интенсивности отказов элементов и среднюю наработку системы до отказа

29

Задача 4.3. Устройство состоит из 3 параллельно соединенных элементов, обладающих интенсивностью отказов 0 = 0,0017 1/ч. Определить интенсивность отказов устройства в течение 500 часов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы и частоту отказов.

Задача 4.4. Система состоит из 4-х параллельно соединенных элементов с интенсивностями отказов равными 1 = 0,002; 2 = 0,003; 3 = 0,0035; 4 =0,0015 1/ч. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 800 ч и среднее время работы до отказа.

Задача 4.5. Техническое устройство состоит из пяти дублирующих друг друга блоков. Надежность каждого из них р = 0,95. Блоки независимы в смысле надежности. Найти надежность устройства.

Задача 4.6. Датчик контроля состоит из 3-х параллельно соединенных

сенсоров обладающих интенсивностью отказов 0 = 0,0018 1/час. Определить интенсивность отказов датчика в течение 6000 часов, вероятность безотказной работы, частоту отказов и среднее время

соединенных деталей, вероятности безотказной работы которых в течение 600 часов 0,95; 0,92; 0,91; 0,88. Справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Определить вероятность безотказной работы автомата, интенсивности отказов деталей и среднюю наработку автомата до отказа

Задача 4.8. Устройство состоит из 5 параллельно соединенных

элементов, обладающих интенсивностью отказов 0 = 0,0021 1/ч. Определить интенсивность отказов устройства в течение 700 часов, среднее время безотказной работы, вероятность безотказной работы и частоту отказов.

Задача 4.9. Система состоит из 3-х параллельно соединенных элементов с интенсивностями отказов равными 1 = 0,003, 2 = 0,002, 3 = 0,0035 1/ч. Определить вероятность безотказной работы системы в течение 800 ч и среднее время работы до отказа.

Задача 4.10. Электронное устройство состоит из шести дублирующих друг друга микросхем. Надежность каждой из них р = 0,96. Микросхемы работают независимо друг от друга. Найти надежность устройства.

Задача 4.11. Система управления имеет 5-ть параллельно соединенных элементов обладающих интенсивностью отказов 0 = 0,0019 1/час. Определить интенсивность отказов устройства в течение 4500 часов, вероятность безотказной работы, частоту отказов и среднее время безотказной работы.

Задача 4.12. Автомат оповещения состоит из 5-и параллельно соединенных элементов, вероятности безотказной работы которых в течение 550 часов 0,95; 0,92; 0,89; 0,93; 0,88. Справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Определить вероятность безотказной работы автомата, интенсивности отказов элементов и среднюю наработку автомата до отказа.

30