книги / Некоторые главы математического программирования

При t = 1 имеем:

При t = 2 имеем:

При t = 3 имеем:

При t = 4 имеем:

При t = 5 имеем:

При t = 6 имеем:

При t = 7 имеем:

31

Таблица 5

Первая строка табл. 5 заполнена. Для заполнения второй строки табл. 5 используем формулу (2.4.2).

При k = 2 получаем:

Вторую строку табл. 5 получим, придавая параметру t значения 0, 1, …, 7 и используя значения функций r(t) и u(t) из табл. 4, а значения F1(t+1) – из первой строки табл. 5.

При t = 0 имеем:

32

при t 5 оптимальной будет политика замены оборудования. Заполняем вторую строку табл. 5. Политику сохранения и заме-

ны будем разграничивать в табл. 5 жирной линией.

Для получения третьей строки табл. 5 используем равенство

(2.4.2) при k = 3:

Вычисляем F3 (t) для t = 0, 1, 2, …, 7, значения F2 (t 1) возьмем из второйстрокитабл. 5. Аналогичнорассчитываем F4 (t) , F5 (t) , F6 (t).

33

Наконец, при k = 7 будем иметь:

При t = 0, 1, …, 7 имеем:

При t 4 политика замены сохранится. Заполняем последнюю строку табл. 5.

Данные табл. 5 используем для решения поставленной задачи. Второй этап: безусловная оптимизация.

Пусть в начале планового периода имеем оборудование возрас-

том 3 года, т.е. t0 = 3.

Разработаем политику замен на семилетний период, доставляющую максимальную суммарную прибыль за этот период. Не-

34

обходимая информация содержится в табл. 5. Максимальная прибыль, которую можно получить за 7 лет при условии, что в начале периода имелось оборудование возрастом 3 года, находится в табл. 5 на пересечении столбца t = 3 и строки F7(t); она составля-

ет 106 у.е.

Значение максимальной прибыли F7(3) записано слева от жирной ломаной линии, т.е. находится в области политики сохранения. Это значит, что для достижения в течение 7 лет максимальной прибыли в начале первого года оборудование надо сохранить.

Проработав на нем один год, мы за 6 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возрастом 4 года. Из табл. 5 имеем: F6(4) = 90. Это значение располагается в области политики сохранения, т.е. во втором году планового периода надо сохранить оборудование.

Проработав на нем год, за 5 лет до конца планового периода будем иметь оборудование возрастом 5 лет. Определяем, что F5(5) = 75. Это значение попадает в область замен. Заменяем оборудование на новое.

Проработаем на нем в течение третьего года планового периода. Оно постареет на год. На четвертом году планового периода возраст оборудования будет 1 год. Находим: F4(1) = 68. Это значение находится в области сохранения. Продолжив подобные рассуждения, установим, что значения F3(2) = 48, F2(3) = 31, F1(4) = 15 расположены в области сохранения. Таким образом, заменив оборудование возрастом 5 лет на новое на третьем году планового периода, мы будем работать на нем до конца планового периода.

Разработанную политику изобразим цепочкой:

Итак, получена оптимальная стратегия замены оборудования:

Х* = (С, С, З, С, С, С, С),

где С – сохранение; З – замена.

35

Эта стратегия обеспечивает максимальную прибыль за 7 лет при условии, что в начале имелось оборудование возрастом 3 года:

Fmax = F7(3) = 106 у.е.

Табл. 5 содержит много ценной информации и для решения других задач. В нашем примере задача о замене оборудования упрощена. На практике может встретиться случай, когда остаточная стоимость оборудования s(t) зависит от времени, или случай, когда принимается решение заменить оборудование не новым, а уже проработавшим некоторое время и т.д.

36

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Задача 1. Используя графический метод, найти решение задачи нелинейного программирования.

1.1.F 2x1 3x2 extr;

x12 x22 16;

x1 0, x2 0.

1.2.F x1 5 2 x2 4 2 extr;

5x1 4x2 20,3x1 2x2 30; x1 0, x2 0.

1.3. F x1 1 2 x2 1 2 extr;

x1x2 4,x1 6,x2 5;

x1 0, x2 0.

1.4. F 2x1 3x2 extr;

x1x2 3,x1 4,x2 5;

x1 0, x2 0.

1.5.F x1 6 2 x2 2 2 extr;

2x1 5x2 20,

2x1 x2 10;

x1 0, x2 0.

37

x1 0, x2 0.

1.7.F x1 2x2 extr;

x12 x22 16;

x1 0, x2 0.

1.8.F x1 1 2 x2 1 2 extr;

5x1 4x2 20,3x1 2x2 30;

x1 0, x2 0.

1.9. F x1 2 2 x2 1 2 extr;

x1x2 5,x1 5,x2 6;

x1 0, x2 0.

1.10. F 3x1 2x2 extr;

x1x2 2,x1 6,x2 7;

x1 0, x2 0.

1.11.F x1 2 2 x2 1 2 extr;

2x1 5x2 20,

2x1 x2 10; x1 0, x2 0.

38

1.12. F x1 1 2 x2 1 2 extr;

x1 x2 25,

x1 4,5,x2 4,5; x1 0, x2 0.

1.13.F x1 2x2 extr;

x12 x22 25;

x1 0, x2 0.

1.14.F x1 3 2 x2 4 2 extr;

3x1 8x2 24,4x1 7x2 28;

x1 0, x2 0.

1.15. F x1 1 2 x2 2 2 extr;

x1x2 6,x1 4,x2 5;

x1 0, x2 0.

1.16. F 2x1 x2 extr;

x1x2 5,x1 5,x2 4;

x1 0, x2 0.

1.17.F x1 1 2 x2 1 2 extr;

3x1 5x2 15,5x1 3x2 15; x1 0, x2 0.

39

x1 0, x2 0.

1.19.F 2x1 x2 extr;

x12 x22 4;

x1 0, x2 0.

1.20.F x1 3 2 x2 1 2 extr;

3x1 8x2 24,4x1 7x2 28;

x1 0, x2 0.

1.21. F x1 1 2 x2 1 2 extr;

x1x2 3,x1 5,x2 4;

x1 0, x2 0.

1.22. F 2x1 x2 extr;

x1x2 4,x1 7,x2 5;

x1 0, x2 0.

1.23.F x1 2 2 x2 6 2 extr;

3x1 5x2 15,5x1 3x2 15; x1 0, x2 0.

40