книги из ГПНТБ / Применение методов статистического моделирования в автоматизированном химическом производстве

4) Составление матрицы исходных данных

Матрица исходных данных составляется с учетом функции отклика и выбранных факторов. Строки матрицы представ­ ляют собой фиксированные замеры выбранных факторов, при­ чем первая строка матрицы совпадает с первым по времени замером, а последняя — с окончанием наблюдения.

5) Группировка исходных данных

Предварительно обработанная информация о процессе группируется по классу точности приборов.

Группировка проводится следующим образом. Первая строка матрицы исходных данных сравнивается со всеми по­ следующими строками, причем сравнение идет по столбцам в пределах ошибки прибора. Таким образом, в каждую группу входят лишь те строки, все столбцы которых лежат в преде­ лах: первая строка матрицы ± ошибка прибора. Пусть, на­ пример, имеется следующая информация о процессе (табл. 1):

11

Следуя описанной методике, получим группы (табл. 2 и 3):

Строки, не вошедшие ни в одну из этих групп, переносятся без изменения в таблицу исходных данных, туда же вносятся и средние значения образованных групп (табл. 4).

При группировании представляется возможным проверить гипотезу об адекватности представления процесса полученной математической модели по /"-критерию.

12

По описанной выше методике вся информация по иссле­ дуемому процессу дегидрирования этилбензола в стирол была сгруппирована в 25 групп. При этом в качестве влияющих факторов были взяты следующие 11 параметров (табл. 5):

хп Подача пара в испаритель

Вкачестве выходной функции отклика были выбраны вы­ ход стирола на разложенный этилбензол (у\) и выход на про­ пущенный этилбензол (г/г) -

Одним из эффективных методов определения линейной (или нелинейной) зависимости исследуемой величины от не­ скольких других является метод наименьших квадратов, кото­ рый заключается в следующем.

Рассмотрим зависимость между двумя величинами х и у (в целях упрощения мы будем определять линейную зависи­ мость величины у от одной величины х, хотя все рассуждения могут быть легко перенесены на многомерный случай, а зави­ симость может носить, например, квадратичный характер). В нашем распоряжении имеется таблица N результатов измере­ ний значений величины х и соответствующих значений у.

Будем рассматривать х и у как прямоугольные координа­ ты точек на плоскости. Предположим, что точки с соответству­ ющими координатами, взятыми из нашей таблицы, лежат на некоторой прямой линии. Естественно в этом случае предпо-

13

дожить, что между х и у существует линейная зависимость, то есть что у есть линейная функция от х, выражающаяся фор­ мулой

Формула (1) может быть представлена в следующем виде:

Разумеется, наша гипотеза о строго линейной зависимости между величинами у и х носит приближенный характер: на самом деле, данные, приведенные в таблице, имеют лишь тен­ денцию группироваться около некоторой прямой линии.

Следовательно, подставляя в формулу (2) вместо х и у табличные значения Х\У\, х2у2, ■■■, xn Ух, получим систему ра­ венств:

— отличные от нуля погрешности.

Требуется подобрать коэффициенты а и b таким образом, чтобы сумма квадратов погрешностей была минимальной, то

измерения, а коэффициенты а и b — неизвестные, подлежащие определению.

Таким образом, и можно рассматривать как функцию от двух переменных а и ft.

Подберем коэффициент а и ft так, чтобы и была минималь­

14

Берем частные производные и, разделив их на 2, получим

(ахх + b — у 1)х1+ (ах2+ b - y 2) x 2+ ...+(axN+ b — yN) x N= 0;

(ах1+ Ь — У1) + (ах2+ b — у2) + + (ахм ^ — Уы) ~ 0-

Производя несложные преобразования, окончательно по­ лучаем систему уравнений

i == 1 i = 1 /

Решая систему (9), находим коэффициенты а и Ь. Мы при­ вели лишь самый элементарный, хотя и весьма часто встре­ чающийся случай применения метода наименьших квадратов. В общем случае имеются результаты N независимых опытов,

полученную на опыте зависимость. Метод наименьших квад­ ратов основан на требовании обращения в минимум квадра­

J=1

х пи), аь ...,а5)]2должна быть сведена к минимуму. Здесь х ^ —

значение k-то фактора в /-м наблюдении, a y(i) — значение функции влияния факторов также в /-м наблюдении. Величи­ на aj, . . ., as, при которой достигается минимизация величи­ ны и, определяется из системы s уравнений:

Метод наименьших квадратов описан в ряде руководств по обработке наблюдений и математической статистике, напри­ мер в работе [5], и является весьма распространенным. Его основным недостатком является трудность отбора наиболее значимых факторов (существенно влияющих на выходное значение у). Действительно, если известно, что на величину у оказывают совокупное влияние п факторов х и . . . , х п, пред­ ставляет большой интерес не только построение математиче­ ской модели зависимости у = ц>(хи . . .,хп), но и оценка степени значимости каждого из факторов в отдельности. Заметим, что

15

отбор факторов предшествует построению математической мо­ дели зависимости. Сначала исследователь должен выделить, пользуясь методами математической статистики, наиболее влияющие на выходное значение процесса факторы, а затем построить математическую модель зависимости выходного значения у от у^ке отобранных факторов. В работе [6] описана модификация метода наименьших квадратов, позволяющая со­ четать отбор факторов с построением математической модели, которая приводится ниже.

Изложим еще одну распространенную за рубежом модель оценки зависимостей, так называемую модель Брандона, пос­ ле чего перейдем к разработанному способу отбора факторов.

Трудность стабилизации параметров, невозможность точ­ ного замера некоторых из них и ряд других обстоятельств, за­ висящих от производственных условий, проведения экспери­ мента, заставляют отказаться от обычной практики нахожде­ ния зависимостей и искать другой, более приемлемый метод их определения.

В зарубежной литературе [7, 8] излагается метод множест­ венной нелинейной корреляции. Ставится задача определить зависимость одного основного параметра системы от других параметров (хь х2, х3, ..., х п), то есть найти функцию

у — F (хх, х 2, х 3,...,хп).

Предполагается, что функция F является произведением некоторых функций отдельных параметров

причем каждая из / г (х() принимается для простоты расчета линейной

f l (xi) = al + bl x t.

Возможно использование и более сложной, нелинейной за­ висимости. Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов ah bt \iK (i= 1, 2,. . ., п).

Исходными данными для такого расчета служит таблица экспериментальных данных, как и в методе наименьших квад­ ратов. Расчет начинается с построения графика зависимости у от X]. На этом графике получается корреляционное поле точек, из которых методом средних или методом наименьших квадратов [7] выявляется наибрлее вероятная линия репрес­ сии

hЫ = а1+ ь1 х х

иопределяются коэффициенты а\ и Ь\. После этого рассчи­ тываются значения нового приведенного параметра

16

и строится график зависимости у\ от хг, по которому опреде­ ляется уравнение линии репрессии /2(^2)- Затем рассчитыва­ ются значения следующего приведенного параметра:

/з ( х 2)

и по графику зависимости г/г от Хз находится уравнение линии репрессии /3(*з). Такой расчет продолжается до тех пор, пока не будут определены все функции /г (xj) и коэффициент К.

Недостатки модели Брандона — трудность определения остаточной дисперсии погрешности оценки с помощью функ­ ции y = F ( x и, как следствие, невозможность прове­ дения отбора значимых факторов.

Переходим к описанию метода отбора значимых факторов и построения математической модели на основе данных отбо­ ра. Математические основы этого метода изложены в работах

[6], [И].

Одной из важных задач расчета динамики производствен­ ного процесса является проблема оптимизации производствен­ ного процесса— установления комбинации значений, влияю­ щих на процесс факторов, которые оптимизируют значение выходной функции процесса. Будем считать, что, помимо пе­ ременных технологических параметров, на значение функции процесса оказывает влияние большое количество не поддаю­ щихся учету случайных факторов.

Примем следующую математическую запись исследуемого технологического процесса:

(а, а2), причем параметры А можно без ограниче­ ния общности свести к (0, а2).

Пусть имеется таблица N наблюдений исследуемого техно­ логического процесса:

W {1) х 1(1)...х „ (1)

W (N)x<N)...xn{N)

Здесь нижний индекс означает номер параметра, а верх­ ний— номер наблюдения. Обозначив //-мерный вектор W

значком W, а //-мерные векторы наблюдений параметров

x L— через x h имеем:

Здесь (а, Ь) — скалярное произведение векторов а и Ь. Отсюда можно определить параметры случайной величи­

ны А/:

18

Таким образом, оценивая изменения дисперсии о2 от /= 1 до }= п, можно отобрать все значимые параметры xt.

Предлагаемая методика отбора параметров хг проста в применении и выгодно отличается от способа отбора парамет­ ров при обычном методе наименьших квадратов тем, что нуж­

но только один раз ортогонализировать систему векторов х/, а не обращать п раз матрицу соответственно для 1, 2 параметров. Вычислительные формулы существенно упроща­ ются и легко программируются на ЭВМ.

После получения коэффициентов A t переход к итоговым осуществляется по формуле

В исследуемом примере процесса дегидрирования этил­ бензола в стирол на основании F-анализа ряда остаточных

в качестве фактора была выбрана активность катализатора — величина, обратная параметру).

В табл. 6 приведены данные измерений по группам для уже отобранных факторов (здесь х9 — активность катализа­ тора, остальные факторы взяты на основании отбора).

Отбор наиболее влияющих факторов может быть также приведен на основе анализа индексов корреляции. Заметим, однако, что статистический анализ в этом случае становится весьма трудоемким. Индекс корреляции представляет собой отношение среднеквадратичных отклонений

20