Главы 8-9

8.5. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ КРИВОЙ И ГРАННОЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

КОМПЛЕКСНЫЕ СЕЧЕНИЯ

Линия пересечения кривой и гранной поверхностей в общем случае – пространственная многозвенная замкнутая линия. Каждое звено представляет собой линию сечения кривой поверхности плоскостью соответствующей грани. Границы звена определяются точками пересечения ребер этой грани с кривой поверхностью.

Если все ребра гранной поверхности пронизывают поверхность вращения, то такое пересечение называется проницание или просечка и дает две линии пересечения: на входе и на выходе.

Если хотя бы одно ребро не пересекается с кривой поверхностью, то такое пересечение называется врубкой, и оно образует только одну линию пересечения.

Рассмотрим этапы построения линии пересечения.

1.Краткий анализ задачи:

•определение характера пересечения (просечка или врубка), а следовательно, и число линий пересечения (две или одна);

•определение общей плоскости симметрии (если она есть) для данного пересечения фигур;

• определение наличия на чертеже вырожденной проекции одной из поверхностей (проекция на которой ребра многогранника спроецированы в точки, т.е. ребра являются проецирующими). Данная проекция обладает собирательным свойством, т.е. линия пересечения проецируется на вырожденную проекцию поверхности.

2.Построение проекций линии пересечения:

•определение плоскости симметрии и характера линии каждого

звена;

•построение точек 1-й группы – точек на ребрах, которые ограничивают соответствующие звенья, а также точек, в которых контурные линии кривой поверхности пересекают гранную поверхность;

•построение точек 2-й группы – вершин линий сечения каждого звена и их экстремальные точки;

•построение точек 3-й группы – дополнительных промежуточных

точек.

3.Обводка чертежа с учѐтом видимости.

Комплексное сечение строится, как и любое сечение, методом замены плоскостей проекций (пп. 5.2, 6.5, 6.6).

Рассмотрим пример пересечения сферы с призмой.

169

Этапы построения:

• Построим недостающую проекцию. Одно ребро призмы не пересекается со сферой, следовательно пересечение – врубка, и оно образует только одну линию пересечения, состоящую из трех звеньев.

• Обозначим плоскости общей симметрии и ребра призмы. Вырожденная проекция многогранника находится на плоскости П1.

170

• Через грань ас проведем вспомогательную секущую плоскость. В сечении сферы этой плоскостью получаем окружность, которая проецируется на П2 в виде окружности, на П3 – в виде отрезка. Отмечаем на плоскости П1 точки 1 группы – 1, 2, 3 и строим недостающие проекции на плоскостях П2 и П3. Точки 2 группы совпадают с точками 1 группы.

•Через грань ав проведем вспомогательную секущую плоскость .

Всечении сферы этой плоскостью получаем окружность, которая про-

ецируется на П2 и П3 в виде эллипса. Отмечаем на плоскости П1 точки 1 группы – 5, 6, 7, точки 2 группы – 8 и точки 3 группы – 9 и строим недостающие проекции этих точек на плоскостях П2 и П3.

171

•Через грань св проведем вспомогательную секущую плоскость .

Всечении сферы этой плоскостью получаем окружность, которая про-

ецируется на П2 и П3 в виде эллипса. Отмечаем на плоскости П1 точки 1 группы – 7, 10, 3 (построена ранее), точки 2 группы – 11 и точки 3 группы – 12 и строим недостающие проекции этих точек на плоскостях про-

екций П2 и П3.

172

• Линия пересечения сферы и призмы в тонких линиях.

• Обводка чертежа.

– Обводка на плоскости П1.

173

– Обводка на плоскости П2.

– Обводка на плоскости П3.

174

– Окончательная обводка и таблица точек 1 группы.

Рассмотрим решение задач по изучаемой теме.

Задача.

Построить комплексное сечение А-А и трехкартинный чертеж линии пересечения конуса с призмой.

175

Решение.

1. Этапы построения линии пересечения:

•Построим недостающую проекцию. Одно ребро призмы не пересекается с конусом, следовательно пересечение – врубка, и оно образует только одну линию пересечения, состоящую из трех звеньев.

•Обозначим плоскость общей симметрии α и ребра призмы а, в, с. Вырожденная проекция многогранника находится на плоскости П2.

•Через грань ав проведем вспомогательную секущую плоскость. В сечении конуса этой плоскостью получаем окружность, которая проеци-

руется на П1 в виде окружности, на П3 – в виде отрезка. Отмечаем на плоскости П2 точки 1 группы – 1, 2, 3, 3' и строим недостающие проекции на П1 и П3. Точки 2 группы совпадают с точками 1 группы.

•Через грань ас проведем вспомогательную секущую плоскость. В сечении конуса этой плоскостью получаем гиперболу. Отмечаем на

плоскости П2 точки 1 группы – 2, 4, 5, 4', 5' точка 2 группы – 2 и точки 3 группы – 6, 6' и строим недостающие проекции этих точек на П1 и П3.

•Через грань св проведем вспомогательную секущую плоскость. В сечении конуса этой плоскостью получаем параболу. Отмечаем на плос-

176

кости П2 точки 1 группы – 8, 5, 5' (построена ранее), точка 2 группы – 8 и точки 3 группы – 7, 7' и строим недостающие проекции этих точек на плоскостях П1 и П3.

•Обводим чертеж.

2.Этапы построения комплексного сечения:

•Строим сечение конуса – эллипс, методом концентрических окружностей: О– центр эллипса, АВ– большая ось, СD –малая ось;

•Строим сечение призмы – прямоугольник FEF'E' с учетом смещения сечения одной фигуры относительно сечения другой.

•Контуры (внешние) комплексного сечения обводим сплошной основной линией. Контуры сечения отдельных фигур внутри комплексного сечения обводим тонкой линией. Наносим штриховку.

177

8.6. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ. КОМПЛЕКСНЫЕ СЕЧЕНИЯ

Построение чертежа пересекающихся поверхностей рекомендуется начинать с задания осей вращения (для конуса и цилиндра) и центра (для сферы) на всех трѐх видах (с учетом размеров поверхностей и их взаимного положения). Особое внимание следует уделить выполнению координирующих размеров ∆ Х, ∆ Y, ∆ Z, которые определяют взаимное положение поверхностей вращения (рис.8.17).

Рис. 8.17. Построение трехкартинного чертежа

8.6.1. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ

Линия пересечения поверхностей вращения строится посредством использования вспомогательных секущих поверхностей (ВСП).

Вспомогательные секущие поверхности выбираются так, чтобы они, пересекаясь с данными поверхностями, давали простые для построения линии, например прямые и окружности.

Из общей схемы построения линии пересечения поверхностей выделяют два основных метода - метод секущих плоскостей и метод секу-

щих сфер.

В общем случае решение задачи по построению линии пересечения двух поверхностей может быть сведено к рассмотренным ранее задачам по определению:

1.Точек пересечения линии с поверхностью;

2.Линии пересечения плоскости и поверхности;

178