Методические указания
К пунктам 1 – 6.
Одна и та же линия может быть “короткой” для частоты 50 Гц и “длинной” для более высоких частот. Условие отнесения линии к той или иной категории определяется соотношением , где– длина линии,и– соответственно длина волны и ее фазовая скорость. При выполнении этого условия линия относится к разряду «длинных», в противном случае – к разряду «коротких». Так, линия длиной 50 км очень коротка по сравнению с длиной волны промышленной частоты (при частоте 50 Гц в воздушной линии длина волны составляет около 6000 км). Поэтому все опыты на модели линии в данной работе проводятся на повышенных частотах: например, 500 Гц в первых опытах и несколько килогерц при дальнейших опытах.
Как известно из курса, основные уравнения линии как четырехполюсника имеют вид:
; (15.1)
, (15.2)
где и– напряжения соответственно в начале и в конце линии;
и – токи в начале и в конце линии;
ZС = – характеристическое или волновое сопротивление линии – один из ее вторичных параметров;
= – постоянная распространения линии – другой ее вторичный параметр;
Z0 = R0 + jL0 – комплекс полного сопротивления линии на единицу ее длины;
Y0 = G0 + jC0 – комплекс полной проводимости линии на единицу длины;
R0, L0, G0, C0 – первичные параметры длинной линии: активное сопротивление проводов, индуктивность линии, активная проводимость утечки изоляции и емкость между проводами линии – все на единицу длины.
Из основных уравнений вытекает простой способ определения параметров линии из опытов холостого хода и короткого замыкания (ХХ и КЗ).
При ХХ ;
;
.
Отсюда входное сопротивление линии при холостом ходе
. (15.3)
При КЗ ;
;
.
Отсюда входное сопротивление линии при коротком замыкании
. (15.4)
Из (15.3) и (15.4) имеем:
. (15.5)
Разумеется, в формулу (15.5) необходимо подставить комплексы ZXX и ZКЗ, а для их определения при опыте надо измерить не только величину напряжения и тока, но и угол сдвига между ними, что может быть сделано с помощью вольтметра, амперметра и ваттметра или фазометра с обязательным учетом направления сдвига, т.е. знака угла.
Постоянная распространения также определяется на основе соотношений (15.3) и (15.5). Разделив (15.4) на (15.5), имеем:
,
откуда
. (15.6)
Применяя известную формулу
,
окончательно получаем:
. (15.7)
Поскольку ZКЗ и ZXX – комплексы, – также комплексное число:
.
Напомним, что вещественная часть постоянной распространения определяет затухание волны по величине, а мнимая часть – сдвиг по фазе (то и другое на единицу длины). По найденным значениям вторичных параметров иопределяют первичные:,,и.
При расчетах по уравнениям (15.1) и (15.2) и других вычислениях, связанных с длинными линиями, приходится иметь дело с гиперболическими функциями комплексного аргумента. Для их численного определения можно воспользоваться соотношениями:
; (15.8)
. (15.9)
Если линия включена на согласованную нагрузку, т.е. на сопротивление, равное волновому, то отношение модулей напряжений и токов в начале и в конце линии равно
.
Натуральный логарифм этой величины представляет затухание, выраженное в неперах:
. (15.10)
Один непер, таким образом, соответствует затуханию по напряжению или току в е = 2,718281828… раз, а по мощности – враз.
Фазовая скорость движения волны, как известно, связана с мнимой частью постоянной распространения соотношением
(15.11)
В случае линии без искажений (в частном случае – линии без потерь)
; (15.12)
. (15.13)
При расчетах следует обратить внимание на то, что фазовая скорость не может превышать скорость света. Последнее является необходимым условием корректности результатов измерения и определения .
К пункту 7.
При выполнении расчетов в первом приближении можно считать исследуемую линию линией без потерь ().
В этом случае уравнения (15.1) и (15.2) принимают вид:
; (15.14)
, (15.15)
где – длина волны.
Входное сопротивление линии, нагруженной на сопротивление , в общем случае равно
, (15.16)
а в случае линии без потерь
. (15.17)
При холостом ходе и при коротком замыкании отсюда получаем для линии без потерь вместо формул (15.3) и (15.4) следующие соотношения:
; (15.18)
. (15.19)
Из (15.18) и (15.19) видно, что при определенных соотношениях между длиной линии и длиной волны ZXXиZКЗобращаются в нуль или бесконечность. Частоты, при которых это происходит, называются резонансными.
В отличие от цепи с сосредоточенными параметрами линия имеет бесчисленное множество резонансных частот.
Если плавно увеличивать частоту с нуля, то, как показывает анализ (15.18) и (15.19), первый резонанс наступит тогда, когда длина линии составит четверть волны, то есть .
Обозначим частоту этого первого резонанса как f0. Как видно из формул (15.18) и (15.19), в этом случаеZXX = 0иZКЗ = .
Очевидно, что
. (15.20)
Остальные частоты резонансов кратны f0, и им соответствуют соотношения=/2,= 3/4,=и т.д.
Из табл. 15.4 ясно, как чередуются резонансы.
Таблица 15.4. Резонансы в длинной однородной линии без потерь
Частота |
f0 |
2f0 |
3f0 |
4f0 |
5f0 |
… |
/ |
1/4 |
1/2 |
3/4 |
1 |
5/4 |
… |
ZXX |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
… |
ZКЗ |
∞ |
0 |
∞ |
0 |
∞ |
… |
В линии с потерями сопротивления ZХХ иZКЗпри резонансах, конечно, не равны 0 или. Можно показать, что в этом случае они принимают значения соответственно:
; (15.21)
. (15.22)
К пункту 8.
Резонансы тесно связаны с явлением стоячих волн в линии, которые наиболее ярко выражены в линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании или при чисто реактивной нагрузке, поскольку в этих случаях потребляемая в конце линии мощность равна нулю.
При холостом ходе в конце линии всегда находится узел тока и пучность напряжения, при коротком замыкании – наоборот (в узле ток или напряжение тождественно равны нулю, а пучность тока или напряжения соответствует их максимальному значению).
Типичные кривые распределения напряжения и тока вдоль линии при стоячих волнах показаны на рис.15.2. Из этих кривых ясно видно, почему входные сопротивления при резонансах именно таковы, как в табл. 15.4:Рис.15.2. Стоячие волны в линии без потерь при холостом ходе и коротком замыкании
если на линии укладывается целое число полуволн, значит, при холостом ходе и в начале линии, как и в конце, находится узел тока и пучность напряжения, т.е. входное сопротивление при холостом ходе бесконечно большое; при коротком замыкании, наоборот, и в начале и в конце линии имеют место узел напряжения и пучность тока, следовательно, входное сопротивление равно нулю. Если же на линии укладывается нечетное число четвертей волны (/4, 3/4, 5/4 и т.д.), тогда узлу напряжения или тока в конце линии соответствует пучность в начале и наоборот, так что при коротком замыкании входное сопротивление бесконечно и при холостом ходе равно нулю (если говорить о линии без потерь).