Выведем уравнение, описывающее исходный временной ряд, путём применения функции Фурье, стандартный вид которой записывается следующим образом:
.
Дополним исходную таблицу дополнительными вычислениями со значениями переменной t1, проходящей полный круг (2π) с шагом 2π/12.
Определим значения
коэффициентов a0,
a1
и b1,
входящих в первое гармоническое уравнение
(k
= 1), по следующим формулам:
,
,
.
Вычислим значения
столбца y1,
опираясь на выражение, указанное выше.
Также найдём значение ошибки, определяемое
по формуле:
,
где
.
Приближение можно считать достаточным,
если соблюдается условие: E
< 5%.
Рисунок
18 – Таблица первой гармоники
По найденным значениям получаем величину ошибки E1 = 7,64%.
Так как E1 > 5%, то делаем вывод, что первого приближения в нашем случае недостаточно для выделения уравнения временного ряда.
Построим график распределения найденных значений y1.
Рисунок
19 – График первой гармоники
Попробуем уменьшить процент ошибки продолжением определения гармоники 2-го уровня.
Формулы остаются
теми же, однако T заменяется
на 2*T. А y2=y1+
.
Рисунок
20 – Вторая гармоника
К сожалению, процент ошибки увеличился, но не увеличилось наше унывание – попробуем продолжать решать гармонические уравнения, стремясь уменьшить ошибку.
Рисунок
21 – Третья гармоника
Рисунок
22 – Четвёртая гармоника
Как видно из результатов – процент ошибки E только растёт. После четвёртой гармоники E4=10.6% > 5%.
Попробуем вернуться к началу и изучать гармонику с периодом колебаний равным 10.
Рисунок
23 – Первая гармоника с периодом колебаний
10
Рисунок
24 - Вторая гармоника с периодом колебаний
10
К сожалению, и здесь процент ошибки растёт. К тому же гораздо быстрее, чем в первом варианте с периодом колебаний 12. Вторая гармоника выдала E2=33.5%.
Возможно, что в наших данных содержатся аномалии, которые влияют на нашу обработку данных.
Попробуем проанализировать данные с помощью метода и избавиться от аномалий.
Для исходных данных рассчитываем среднее квадратичное отклонение, это сигма:
σ = 0,6707.
λi = |yi-1-yi|/ σ
У нас количество измерений = 25, для этого количества критическое значение лямбды является 1,25. Все значения лямбд сравниваются и отмечаются.
Рисунок
25 – Поиск аномалий
Было найдено несколько аномалий. Избавляемся от них – работаем с данными (y значениями), при этом мы можем избавляться от одиночных аномалий путём приравнивания соседних значений и разделения их на 2, если аномалия одиночная. В случае групп аномалий – находим самую большую и только её приравниваем к среднему значению соседних.
Новые значения заменяем, старые переносим из предыдущей таблицы.
В результате 4-х итераций аномалии так и остались, от них не получилось избавиться.
Рисунок
26 – Попытка устранения аномалий
Было решено отбросить последние 7 значений, поскольку они содержат аномалию и работать с оставшимися.
Рисунок
27 – Новая таблица данных
По аналогии с предыдущими данными, была проделана обработка информации
Рисунок
28 – «Дублеты» рядов новой таблицы
Амплитуда равна 12.
Рисунок
29 – Нахождение амплитуды для новой
таблицы
Рисунок
30 – Первая гармоника для новой таблицы
Рисунок
31 – Вторая гармоника для новой таблицы
Рисунок
32 – Третья гармоника для новой таблицы
К сожалению, процент растёт и становится только хуже.
Вывод:
Самая первая гармоника оказалась лучшим результатом, максимально приближённым к ожидаемому результату, но всё равно не соответствующая ему.
Уравнение: ,
Где
,
,
,
При этой гармонике средняя ошибка аппроксимации E = 7,64%, что свидетельствует о плохом подборе модели (уравнения) к исходным данным.
Метод Фурье не даёт ожидаемых результатов. К сожалению, не удалось приблизиться к значению ошибки меньше 5%, что может быть вызвано недостаточным количеством данных, нехваткой времени для использования других методов обработки данных, аномалиями – которые в свою очередь могли возникнуть от многих факторов, т.к. очень много факторов могут влиять на температуру поверхности океана в каждом году.
В результате задания был выделен тренд временного ряда и проведен его анализ, также было выполнено приближение к исходному ряду путём задания гармонического уравнения.