МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ АЭРОКОСМИЧЕСКОГО ПРИБОРОСТРОЕНИЯ»

ИНСТИТУТ НЕПРЕРЫВНОГО И ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ

КАФЕДРА 41

ОЦЕНКА

ПРЕПОДАВАТЕЛЬ

канд. физ-мат наук, доцент				Е. А. Яковлева
должность, уч. степень, звание		подпись, дата		инициалы, фамилия

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ОБРАБОТКИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

по дисциплине: СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

РАБОТУ ВЫПОЛНИЛ

СТУДЕНТ ГР. №	Z9411				Р. С. Кафка
	номер группы		подпись, дата		инициалы, фамилия
Студенческий билет №	2019/3603

Шифр ИНДО

Санкт-Петербург 2023

1. Исходные данные для задания 2 и 3.

m=1

n=4

2. Выполнения задания 2.

   1. В программной среде Excel заполняется столбец исходных данных рис. 1. Имеются следующие выборочные данные (выборка 10%-ная, механическая) о выпуске продукции и сумме прибыли, млн. руб.:

Рисунок 1 – Данные о выпуске продукции и сумме прибыли

2. Выполняется сортировка столбца C - прибыль ряда в порядке возрастания. В результате получен новый интервальный ранжированный ряд рис.2.

Рисунок 2 – Сортировка данных по прибыли

3. Определяются частоты и частости нового ряда. Для этого используется данные об объеме совокупности исследуемых предприятий N = 25. Дискретный вариационный ряд разбивается на интервалы, число которых подсчитывается по формуле Стержесса

в которой квадратные скобки означают округление числа 5,91, тогда k = 5. Длина частичного интервала определяется по формуле

Размах =

Среднее значение = сумма x / кол-во измерений (25). Воспользовался функцией Excel «СРЗНАЧ()» чтобы найти его.

Медиану нашли по значению по середине таблицы. При этом на середине лежало 2 числа: 16,2 и 16,3. В этом случае их сложил и разделил на 2.

Мода – в результатах встречается 3 раза повторяющиеся значения по 2 раза (3 дублета).

Рисунок 3 – Данные, полученные из таблицы

Тогда границы интервалов будут такими:

x0= =10

x1=

x2=

x3=

x4=

x5=

Подсчитывается количество предприятий, принадлежащих каждому из интервалов. Вычисляется накопленная частота и процентное отношение частоты к общему объему всей совокупности N = 30 или частость.

Рисунок 3 – Статистический ряд распределения предприятий

Значения были найдены следующим образом:

Частность: Кол-во предприятий (n) / общее количество предприятий (N) * 100%

Середина интервала: (Начало интервала + Конец интервала) / 2

По данной таблице построил следующие графики (рис.4-6)

Рисунок 4 – Кривая ненормированной плотности распределения

Рисунок 5 – Кумулятивная кривая накопленных частот

Рисунок 6 – Гистограмма

4. Используя χ2-критерий Пирсона, при уровне значимости α=0,05 проверил гипотезу о том, что случайная величина X – сумма прибыли – распределена по нормальному закону.

Сначала рассчитаем среднее значение сгруппированного ряда, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Среднее значение сгруппированного ряда =

Дисперсия = ;

Среднее квадратичное отклонение =

Результат расчётов представлен на рисунке 7.

Рисунок 7 – Расчёт среднего значения сгруппированного ряда, дисперсии и сигмы

Затем была создана новая таблица, в которую перенесли из предыдущей номера групп и количество элементов(предприятий) в каждой группе.

Опираясь на данные сведения, вычислим следующие характеристики:

- , где и σ = 2,638;

- функция Гаусса: ;

- , где N = 30 и h = 3;

- .

Получим таблицу, представленную на рисунке 8.

Рисунок 8 – Таблица для проверки распределения по нормальному закону

Сравним полученные результаты с теоретическими, используя критерий Пирсона:

.

По таблице критических точек распределения χ² по уровню значимости α = 0,05 и числу степеней свободы k = 5 - 2 - 1 = 2, находим χ²_кр = 6.

Так как:

χ²_набл = 2,61094,

χ²_кр = 6,

χ²_набл ^< χ²_кр

• то выходит, что наша гипотеза о нормальном распределении выполняется с данными результатами.

5. Установил наличие и характер корреляционной связи между стоимостью произведённой продукции (X) и суммой прибыли на одно предприятие (y). Построил диаграмму рассеяния и линию регрессии.

Используя изначальные данные для 2-го задания – отсортировал значения по выпуске продукции и обозначил их за «x», прибыль обозначил за «y».

С помощью стандартной надстройки Excel «Пакет анализа» построил точечную диаграмму по x и y, построил линейную линию тренда, включил показ уравнения на диаграмме и поместил на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R²). Результат представлен на рисунке 9.

Рисунок 9 – Поле корреляции

Получилось выборочное уравнение регрессии: y=0,0539x+12,589. R²=0.1393.

Коэффициент детерминации показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

Коэффициент детерминации получился довольно слабым. Для того чтобы улучшить результаты удалим сильно отдалённые результаты от линии тренда – так называемые «выбросы», которые портят график. В результате получилась таблица, представленная на рисунке 10.

Рисунок 10 – Поле корреляции после удаления выбросов

Теперь выборочное уравнение регрессии: y = 0,1116x+8,2421. Коэффициент детерминации R²=0,8821.

a = 8,2421

b = 0,1116

Коэффициент детерминации объясняет 88,21% переменных, объясняемые рассматриваемым уравнением.

6. Рассчитал линейный коэффициент корреляции.

Линейный коэффициент корреляции:

Таким образом, линейная связь между выпуском продукции и величиной прибыли весьма сильная, т.к. .

Благодаря вычислительным возможностям функции Анализ данных, в программе были найдены предсказанные значения и остатки (y- ). На основе этих сведений были построены следующие графики:

Рисунок 11 - Распределение заданных значений y и предсказанных значений

Рисунок 12 - Распределение остаточных значений (y- )

Охарактеризуем статистическую надежность результатов регрессионного анализа с использованием F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05.

Найдём расчетное значение критерия:

.

Сравнив это значение с табличным получается, что:

Следовательно, уравнение регрессии является статистически значимым, надежным.

Рисунок 13 – Вывод итогов регрессии

Коэффициент a является достоверным, если он лежит в промежутке (7,02036992, 9,463765431).

Коэффициент b является достоверным, если он лежит в промежутке (0,094770888, 0,128372743).

Найдём расчетную величину средней ошибки аппроксимации E по формуле .

Значение очень малое, что свидетельствует о хорошо проработанной модели уравнения.

Рисунок 14 – Вывод остатка

Вывод:

В заключение следует отметить, что задача по анализу данных о прибыли выборки из 30 предприятий с помощью программы Excel и статистических методов была выполнена. Данные были отсортированы, определены частоты и интервалы, рассчитаны различные статистические показатели, такие как диапазон, среднее, медиана и мода.

Гипотеза о нормальном распределении данных была проверена с помощью χ2-критерия Пирсона, и она была признана удовлетворительной при уровне значимости α = 0,05. χ²_набл ^< χ²_кр

Также были рассчитаны среднее значение, дисперсия и стандартное отклонение сгруппированных данных. , .

Корреляция между стоимостью продукции и прибылью также была определена как положительная и сильная, т.к. график растёт и коэффициент корреляции r=0,939 что указывает на сильную связь между этими двумя переменными, т.к. 0,939 > 0,7.

Уравнение регрессии: y = 0,1116x+8,2421.

Расчётный F-критерия Фишера оказался больше табличного значения , что свидетельствует о том, что уравнение регрессии является статистически значимым, надежным.

Ошибка аппроксимации E = 2,93%, что свидетельствует о хорошо проработанной модели уравнения.

В целом, задача была успешно решена, поскольку был проведен тщательный анализ данных о прибыли по выборке предприятий.

3. Задание 3.

Вариант 3 - Месяц 3 - Годы 1986-2010

Рисунок 15 – Данные о температуре поверхности океана

1. Выделение и анализ тренда временного ряда.

   1. с помощью метода наименьших квадратов рассчитать линейное уравнение трендовой составляющей

Т(t) = a0 +a1

где t – время.

Задача - построить график распределения температуры на основе исходных данных. Мы наложим линию регрессии на отмеченные значения и выразим уравнение построенной линии.

Рисунок 15 – График распределения температуры

Как видно из приведенного выше рисунка, анализ ряда этим методом не дает удовлетворительных результатов.

2. вычислить коэффициент корреляции (r), его стандартную ошибку (σr), коэффициент детерминации (R²=r² ), который показывает вклад тренда в описание дисперсии исходного ряда.

Будем копировать значения из таблицы – первый ряд без последнего результата, второй ряд рядом – без первого результата. Далее первый ряд без последних двух результатов, второй ряд рядом – без первых двух результатов и так далее. В результате чего получится несколько «дублетов» таких рядов без первых и последних значений.

Для каждых из этих «дублетов» рядов определяем коэффициент корреляции с помощью стандартного пакета анализа в Excel.

Рисунок 16 – Дублеты рядов

В результате было найдено 12 коэффициентов корреляции. Заносим их в один столбец, строим график и ищем вершины (максимумы) для определения наиболее подходящего значения амплитуды.

В данном случае наиболее подходящий период колебаний равен 12.

Рисунок 17 – Определение периода колебаний